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12 [2025广州]关于$x$的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
12. C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号来判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，代入计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，代入判别式得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) = 1 - 4k^2 - 8 = -4k^2 -7$
由平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$\Delta = -4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$。
当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题，核心是正确计算根的判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号来判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，代入计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，代入判别式得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) = 1 - 4k^2 - 8 = -4k^2 -7$
由平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$\Delta = -4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$。
当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题，核心是正确计算根的判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13 [2025 雅安]已知关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2+6x+3=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
B
）A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
答案
13. B
解析
【分析】
要确定参数m的取值范围，需结合两个核心条件：①原方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。分别列出两个条件对应的不等式，联立求解即可得到m的取值范围，注意不要漏掉二次项系数的限制条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-3)x^2+6x+3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥0$
计算得：$36 - 12(m-3) ≥0$
展开化简：$72 -12m ≥0$
解得：$m≤6$
综上，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程参数取值范围的常考题型，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，仅通过判别式求解导致错选，解题时需先确认二次项系数的限制条件，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
要确定参数m的取值范围，需结合两个核心条件：①原方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。分别列出两个条件对应的不等式，联立求解即可得到m的取值范围，注意不要漏掉二次项系数的限制条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-3)x^2+6x+3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥0$
计算得：$36 - 12(m-3) ≥0$
展开化简：$72 -12m ≥0$
解得：$m≤6$
综上，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程参数取值范围的常考题型，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，仅通过判别式求解导致错选，解题时需先确认二次项系数的限制条件，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
14 若直线$y=x-a$不经过第二象限，则关于$x$的方程$ax^2 - 2x + 1 = 0$的实数根的个数是（
A.0或1
B.0或2
C.1或2
D.0或1或2
D
）A.0或1
B.0或2
C.1或2
D.0或1或2
答案
14. D
解析
【分析】
解题时首先根据一次函数的图象性质，由直线不经过第二象限求出参数a的取值范围；再对a的取值分类讨论：当a=0时，方程为一元一次方程，直接判断实根个数；当a＞0时，方程为一元二次方程，借助根的判别式判断不同a取值下的实根个数，最后汇总所有可能的实根个数即可。
【解析】
∵ 直线$y=x-a$的斜率为$1＞0$，且不经过第二象限，
∴ 直线与y轴的交点纵坐标非正，即当$x=0$时，$y=-a≤0$，解得$a≥0$。
接下来分情况讨论方程$ax^2 - 2x + 1 = 0$的实根个数：
1. 当$a=0$时，方程化为$-2x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{2}$，有1个实数根；
2. 当$a＞0$时，方程是一元二次方程，根的判别式$\Delta=(-2)^2 - 4· a·1=4-4a$：
若$0＜a＜1$，则$\Delta＞0$，方程有2个不相等的实数根；
若$a=1$，则$\Delta=0$，方程有2个相等的实数根（即1个实数根）；
若$a＞1$，则$\Delta＜0$，方程没有实数根。
综上，该方程的实数根个数可能为0、1或2。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，根的判别式，分类讨论
【点评】
本题综合了一次函数图象性质与方程根的判定问题，解题关键是先确定参数a的取值范围，再按一次方程、二次方程分类讨论，易错点是容易遗漏a=0时方程为一次方程的情况，以及a＞1时无实根的情况，需要全面考虑参数的所有可能取值。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据一次函数的图象性质，由直线不经过第二象限求出参数a的取值范围；再对a的取值分类讨论：当a=0时，方程为一元一次方程，直接判断实根个数；当a＞0时，方程为一元二次方程，借助根的判别式判断不同a取值下的实根个数，最后汇总所有可能的实根个数即可。
【解析】
∵ 直线$y=x-a$的斜率为$1＞0$，且不经过第二象限，
∴ 直线与y轴的交点纵坐标非正，即当$x=0$时，$y=-a≤0$，解得$a≥0$。
接下来分情况讨论方程$ax^2 - 2x + 1 = 0$的实根个数：
1. 当$a=0$时，方程化为$-2x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{2}$，有1个实数根；
2. 当$a＞0$时，方程是一元二次方程，根的判别式$\Delta=(-2)^2 - 4· a·1=4-4a$：
若$0＜a＜1$，则$\Delta＞0$，方程有2个不相等的实数根；
若$a=1$，则$\Delta=0$，方程有2个相等的实数根（即1个实数根）；
若$a＞1$，则$\Delta＜0$，方程没有实数根。
综上，该方程的实数根个数可能为0、1或2。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，根的判别式，分类讨论
【点评】
本题综合了一次函数图象性质与方程根的判定问题，解题关键是先确定参数a的取值范围，再按一次方程、二次方程分类讨论，易错点是容易遗漏a=0时方程为一次方程的情况，以及a＞1时无实根的情况，需要全面考虑参数的所有可能取值。
【难度系数】
0.6
15（易错题）[2025广元]若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，则$a=$
$-1$
。答案
15. $-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个相等的实数根，根据根的判别式的性质，此时判别式Δ=0。我们先根据一元二次方程的定义排除不符合的a值，再利用判别式列方程求解，最后验证结果是否符合前提条件即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1)=0$
提取公因式$(a-1)$得：
$(a-1)(a-1 + 2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合前提$a≠1$，舍去$a=1$
∴ $a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，因式分解解方程
【点评】
本题是易错题，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，直接解得$a=\pm1$后未排除$a=1$的情况，解题时要注意先明确方程的类型，再结合根的情况列式计算，最后验证结果是否符合前提条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确两个核心条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个相等的实数根，根据根的判别式的性质，此时判别式Δ=0。我们先根据一元二次方程的定义排除不符合的a值，再利用判别式列方程求解，最后验证结果是否符合前提条件即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
又
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1)=0$
提取公因式$(a-1)$得：
$(a-1)(a-1 + 2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合前提$a≠1$，舍去$a=1$
∴ $a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，因式分解解方程
【点评】
本题是易错题，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，直接解得$a=\pm1$后未排除$a=1$的情况，解题时要注意先明确方程的类型，再结合根的情况列式计算，最后验证结果是否符合前提条件。
【难度系数】
0.6
16 新考向 开放性问题 已知$x^2 + bx + c = 0$是一元二次方程.现给出下列四组条件:①$b=2$,$c=1$;②$b=3$,$c=1$;③$b=3$,$c=-1$;④$b=2$,$c=2$.
请选择其中一组$b,c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
请选择其中一组$b,c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
答案
16. $\because$ 这个方程有两个不相等的实数根, $\therefore b^2-4c＞0$, 即 $b^2＞4c$. $\therefore$ ②③均可. 若选②解方程, 则这个方程为 $x^2+3x+1=0$, $\therefore x=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$, 即 $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}$. 若选③解方程, 则这个方程为 $x^2+3x-1=0$, $\therefore x=\dfrac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$, 即 $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。本题中方程$x^2+bx+c=0$的二次项系数为1，因此$\Delta=b^2-4c$，先根据$\Delta＞0$推导得出$b^2＞4c$的筛选条件，再逐一验证四组$b、c$的值，选出符合条件的一组，最后代入求根公式求解方程即可。
【解析】
一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，需满足判别式$\Delta=b^2-4c＞0$，即$b^2＞4c$。
分别验证四组条件：
①当$b=2,c=1$时，$b^2=4$，$4c=4$，$b^2=4c$，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
②当$b=3,c=1$时，$b^2=9$，$4c=4$，$b^2＞4c$，$\Delta=5＞0$，符合要求；
③当$b=3,c=-1$时，$b^2=9$，$4c=-4$，$b^2＞4c$，$\Delta=13＞0$，符合要求；
④当$b=2,c=2$时，$b^2=4$，$4c=8$，$b^2＜4c$，$\Delta=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
可选②或③进行求解，示例如下：
若选②：方程为$x^2+3x+1=0$，$a=1,b=3,c=1$，$\Delta=3^2-4×1×1=5$，
由求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
若选③：方程为$x^2+3x-1=0$，$a=1,b=3,c=-1$，$\Delta=3^2-4×1×(-1)=13$，
由求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
可选择②，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；或选择③，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$（写出一种即可）
【知识点】
根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题为开放性试题，既考查了一元二次方程根的判别式的应用，也考查了用公式法解方程的运算能力，只需先根据条件筛选符合要求的参数，再规范计算即可得分。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。本题中方程$x^2+bx+c=0$的二次项系数为1，因此$\Delta=b^2-4c$，先根据$\Delta＞0$推导得出$b^2＞4c$的筛选条件，再逐一验证四组$b、c$的值，选出符合条件的一组，最后代入求根公式求解方程即可。
【解析】
一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，需满足判别式$\Delta=b^2-4c＞0$，即$b^2＞4c$。
分别验证四组条件：
①当$b=2,c=1$时，$b^2=4$，$4c=4$，$b^2=4c$，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
②当$b=3,c=1$时，$b^2=9$，$4c=4$，$b^2＞4c$，$\Delta=5＞0$，符合要求；
③当$b=3,c=-1$时，$b^2=9$，$4c=-4$，$b^2＞4c$，$\Delta=13＞0$，符合要求；
④当$b=2,c=2$时，$b^2=4$，$4c=8$，$b^2＜4c$，$\Delta=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
可选②或③进行求解，示例如下：
若选②：方程为$x^2+3x+1=0$，$a=1,b=3,c=1$，$\Delta=3^2-4×1×1=5$，
由求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
若选③：方程为$x^2+3x-1=0$，$a=1,b=3,c=-1$，$\Delta=3^2-4×1×(-1)=13$，
由求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
可选择②，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；或选择③，方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$（写出一种即可）
【知识点】
根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题为开放性试题，既考查了一元二次方程根的判别式的应用，也考查了用公式法解方程的运算能力，只需先根据条件筛选符合要求的参数，再规范计算即可得分。
【难度系数】
0.7
17 新考向 新定义题 定义:若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$b=a+c$,则称该方程为“和谐方程”.
(1) 有下列方程:① $x^2+2x+1=0$;② $x^2-2x+1=0$;③ $x^2+x=0$.其中,属于“和谐方程”的是
(2) 求证:“和谐方程”总有实数根.
(3) 已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”.若该方程有两个相等的实数根,求$a,c$之间的数量关系.
(1) 有下列方程:① $x^2+2x+1=0$;② $x^2-2x+1=0$;③ $x^2+x=0$.其中,属于“和谐方程”的是
①③
(填序号).(2) 求证:“和谐方程”总有实数根.
(3) 已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”.若该方程有两个相等的实数根,求$a,c$之间的数量关系.
答案
17. (1) ①③
(2) $\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 为“和谐方程”, $\therefore b=a+c$. $\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$. $\therefore$ “和谐方程”总有实数根
(3) $\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 为“和谐方程”, $\therefore b=a+c$. $\because$ 方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 有两个相等的实数根, $\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2=0$. $\therefore a=c$
(2) $\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 为“和谐方程”, $\therefore b=a+c$. $\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$. $\therefore$ “和谐方程”总有实数根
(3) $\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 为“和谐方程”, $\therefore b=a+c$. $\because$ 方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 有两个相等的实数根, $\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2=0$. $\therefore a=c$
解析
【分析】
(1) 首先明确“和谐方程”的定义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$b=a+c$。只需分别提取3个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，逐一验证是否满足$b=a+c$即可判断。
(2) 要证明一元二次方程总有实数根，本质是证明根的判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。结合“和谐方程”$b=a+c$的条件，将$b$替换为$a+c$后代入判别式化简，利用平方的非负性即可证明判别式非负。
(3) 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。同样代入$b=a+c$化简等式，即可得到$a$、$c$的数量关系。
【解析】
(1) 逐个验证方程：
① 方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1,b=2,c=1$，$a+c=1+1=2=b$，符合“和谐方程”定义；
② 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$a+c=1+1=2≠b$，不符合定义；
③ 方程$x^2+x=0$中，$a=1,b=1,c=0$，$a+c=1+0=1=b$，符合“和谐方程”定义；
因此属于“和谐方程”的是①③。
(2) 证明：$\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”，$\therefore b=a+c$。
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=(a-c)^2$，
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (a-c)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
$\therefore$ “和谐方程”总有实数根。
(3) 解：$\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”，$\therefore b=a+c$。
$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=b^2-4ac=0$，
将$b=a+c$代入得：$(a+c)^2-4ac=0$，
化简得：$(a-c)^2=0$，$\therefore a=c$。
【答案】
(1) ①③
(2) 证明如上，“和谐方程”总有实数根；
(3) $a=c$
【知识点】
新定义问题，一元二次方程根的判别式，完全平方公式
【点评】
本题以新定义为载体考察一元二次方程相关知识，解题核心是准确理解新定义的条件，将陌生的“和谐方程”转化为熟悉的系数关系$b=a+c$，再结合根的判别式的性质解题，侧重考察基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确“和谐方程”的定义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$b=a+c$。只需分别提取3个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，逐一验证是否满足$b=a+c$即可判断。
(2) 要证明一元二次方程总有实数根，本质是证明根的判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。结合“和谐方程”$b=a+c$的条件，将$b$替换为$a+c$后代入判别式化简，利用平方的非负性即可证明判别式非负。
(3) 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。同样代入$b=a+c$化简等式，即可得到$a$、$c$的数量关系。
【解析】
(1) 逐个验证方程：
① 方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1,b=2,c=1$，$a+c=1+1=2=b$，符合“和谐方程”定义；
② 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$a+c=1+1=2≠b$，不符合定义；
③ 方程$x^2+x=0$中，$a=1,b=1,c=0$，$a+c=1+0=1=b$，符合“和谐方程”定义；
因此属于“和谐方程”的是①③。
(2) 证明：$\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”，$\therefore b=a+c$。
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=(a-c)^2$，
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (a-c)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
$\therefore$ “和谐方程”总有实数根。
(3) 解：$\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”，$\therefore b=a+c$。
$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=b^2-4ac=0$，
将$b=a+c$代入得：$(a+c)^2-4ac=0$，
化简得：$(a-c)^2=0$，$\therefore a=c$。
【答案】
(1) ①③
(2) 证明如上，“和谐方程”总有实数根；
(3) $a=c$
【知识点】
新定义问题，一元二次方程根的判别式，完全平方公式
【点评】
本题以新定义为载体考察一元二次方程相关知识，解题核心是准确理解新定义的条件，将陌生的“和谐方程”转化为熟悉的系数关系$b=a+c$，再结合根的判别式的性质解题，侧重考察基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
18 [2025深圳罗湖期末]如图，某草莓园购买了39 m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15 m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区(矩形ABCD)，且$EF ⊥$墙面CD.
(1) 若矩形自由采摘区的面积为$120\ \mathrm{m}^2$，请你求出AB和BC的长.
(2) 为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为$130\ \mathrm{m}^2$，这一想法能实现吗？请说明理由.
(1) 若矩形自由采摘区的面积为$120\ \mathrm{m}^2$，请你求出AB和BC的长.
(2) 为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为$130\ \mathrm{m}^2$，这一想法能实现吗？请说明理由.
答案
18. (1) 设 $AD = x\ \mathrm{m}$, 则 $AB = (39 - 3x)\ \mathrm{m}$. 根据题意, 得 $x(39-3x)=120$, 整理, 得 $x^2-13x+40=0$, 解得 $x_1=5,x_2=8$. 当 $x=5$ 时, $39-3x=39-3×5=24＞15$, 不符合题意, 舍去; 当 $x=8$ 时, $39-3x=39-3×8=15=15$, 符合题意. $\therefore AB$ 的长为 $15\ \mathrm{m},BC$ 的长为 $8\ \mathrm{m}$
(2) 这一想法不能实现 理由:假设这一想法能实现, 设 $AD=y\ \mathrm{m}$, 则 $AB=(39-3y)\ \mathrm{m}$. 根据题意, 得 $y(39-3y)=130$, 整理, 得 $3y^2-39y+130=0$, $\because \Delta=(-39)^2-4×3×130=-39＜0$, $\therefore$ 原方程没有实数根. $\therefore$ 假设不成立, 即这一想法不能实现.
(2) 这一想法不能实现 理由:假设这一想法能实现, 设 $AD=y\ \mathrm{m}$, 则 $AB=(39-3y)\ \mathrm{m}$. 根据题意, 得 $y(39-3y)=130$, 整理, 得 $3y^2-39y+130=0$, $\because \Delta=(-39)^2-4×3×130=-39＜0$, $\therefore$ 原方程没有实数根. $\therefore$ 假设不成立, 即这一想法不能实现.
解析
【分析】
本题是一元二次方程在实际几何围建问题中的应用，解题思路如下：
1. 先分析铁栅栏的组成：靠墙一侧CD不需要铁栅栏，中间的EF与AD、BC长度相等，因此垂直于墙的边共有3条（AD、BC、EF），平行于墙的边只有AB 1条，总铁栅栏长39m。
2. 第一问求边长时，设垂直于墙的边长为x，可表示出AB的长度为39-3x，再结合矩形面积=长×宽列方程求解，求解后注意墙长最大为15m，即AB的长度不能超过15m，需要舍去不符合实际的解。
3. 第二问判断面积能否达到130㎡，同样先列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则想法不能实现。
【解析】
(1) 设 $AD = x\ \mathrm{m}$，则 $BC = AD = x\ \mathrm{m}$，$AB = (39 - 3x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$x(39-3x)=120$
整理得：$x^2-13x+40=0$
解得：$x_1=5,x_2=8$。
当 $x=5$ 时，$AB=39-3×5=24\ \mathrm{m}$，$24＞15$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当 $x=8$ 时，$AB=39-3×8=15\ \mathrm{m}$，$15=15$，符合墙长要求。
因此$BC=8\ \mathrm{m}$，$AB=15\ \mathrm{m}$。
(2) 这一想法不能实现，理由如下：
假设面积能达到$130\ \mathrm{m}^2$，设 $AD=y\ \mathrm{m}$，则 $AB=(39-3y)\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$y(39-3y)=130$
整理得：$3y^2-39y+130=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-39)^2-4×3×130=1521-1560=-39＜0$
因此原一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，假设不成立，该想法不能实现。
【答案】
(1) $AB$的长为$15\ \mathrm{m}$，$BC$的长为$8\ \mathrm{m}$；
(2) 这一想法不能实现。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围建场景考查一元二次方程的相关知识，解题时需注意结合实际限制条件（如本题的墙长约束）对方程的解进行检验，判断是否存在符合要求的解时可借助根的判别式快速判断，解题时需细心避免忽略实际条件导致错解。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在实际几何围建问题中的应用，解题思路如下：
1. 先分析铁栅栏的组成：靠墙一侧CD不需要铁栅栏，中间的EF与AD、BC长度相等，因此垂直于墙的边共有3条（AD、BC、EF），平行于墙的边只有AB 1条，总铁栅栏长39m。
2. 第一问求边长时，设垂直于墙的边长为x，可表示出AB的长度为39-3x，再结合矩形面积=长×宽列方程求解，求解后注意墙长最大为15m，即AB的长度不能超过15m，需要舍去不符合实际的解。
3. 第二问判断面积能否达到130㎡，同样先列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则想法不能实现。
【解析】
(1) 设 $AD = x\ \mathrm{m}$，则 $BC = AD = x\ \mathrm{m}$，$AB = (39 - 3x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$x(39-3x)=120$
整理得：$x^2-13x+40=0$
解得：$x_1=5,x_2=8$。
当 $x=5$ 时，$AB=39-3×5=24\ \mathrm{m}$，$24＞15$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当 $x=8$ 时，$AB=39-3×8=15\ \mathrm{m}$，$15=15$，符合墙长要求。
因此$BC=8\ \mathrm{m}$，$AB=15\ \mathrm{m}$。
(2) 这一想法不能实现，理由如下：
假设面积能达到$130\ \mathrm{m}^2$，设 $AD=y\ \mathrm{m}$，则 $AB=(39-3y)\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$y(39-3y)=130$
整理得：$3y^2-39y+130=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-39)^2-4×3×130=1521-1560=-39＜0$
因此原一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，假设不成立，该想法不能实现。
【答案】
(1) $AB$的长为$15\ \mathrm{m}$，$BC$的长为$8\ \mathrm{m}$；
(2) 这一想法不能实现。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围建场景考查一元二次方程的相关知识，解题时需注意结合实际限制条件（如本题的墙长约束）对方程的解进行检验，判断是否存在符合要求的解时可借助根的判别式快速判断，解题时需细心避免忽略实际条件导致错解。
【难度系数】
0.7
