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7.(2024·南京)任意两个奇数的平方差总能
（
A.被3整除
B.被5整除
C.被6整除
D.被8整除
（
D
）A.被3整除
B.被5整除
C.被6整除
D.被8整除
答案
7.D
解析
【分析】
要判断任意两个奇数的平方差的整除性，有两种常用思路：①特殊值排除法：对于选择题，可以先举简单的奇数例子计算平方差，逐一排除不符合的选项；②严谨推导法：先将任意奇数用含整数的代数式表示（奇数可表示为2k+1，k为整数），再利用平方差公式对两个奇数的平方差因式分解、化简，最后分析化简结果的因数特征，判断整除性。
【解析】
方法一（特殊值排除法）：
取两个奇数1和3，计算平方差：$3^2-1^2=9-1=8$。
8不能被3整除，排除A；
8不能被5整除，排除B；
8不能被6整除，排除C；
只有D选项符合要求。
方法二（严谨推导法）：
设两个任意奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m、n$均为整数），则它们的平方差为：
$\begin{aligned}(2m+1)^2-(2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=2(m-n)·2(m+n+1)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
因为$(m-n)+(m+n+1)=2m+1$，结果为奇数，说明$(m-n)$和$(m+n+1)$中必有一个是奇数、一个是偶数，因此$(m-n)(m+n+1)$是2的倍数。
所以$4×2=8$，即两个奇数的平方差是8的倍数，总能被8整除。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；奇数的代数表示；整除判定
【点评】
本题是平方差公式的典型应用题型，既可以用特殊值法快速解答选择题，也可以通过代数推导验证结论，能很好地考查学生的整式运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断任意两个奇数的平方差的整除性，有两种常用思路：①特殊值排除法：对于选择题，可以先举简单的奇数例子计算平方差，逐一排除不符合的选项；②严谨推导法：先将任意奇数用含整数的代数式表示（奇数可表示为2k+1，k为整数），再利用平方差公式对两个奇数的平方差因式分解、化简，最后分析化简结果的因数特征，判断整除性。
【解析】
方法一（特殊值排除法）：
取两个奇数1和3，计算平方差：$3^2-1^2=9-1=8$。
8不能被3整除，排除A；
8不能被5整除，排除B；
8不能被6整除，排除C；
只有D选项符合要求。
方法二（严谨推导法）：
设两个任意奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m、n$均为整数），则它们的平方差为：
$\begin{aligned}(2m+1)^2-(2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=2(m-n)·2(m+n+1)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
因为$(m-n)+(m+n+1)=2m+1$，结果为奇数，说明$(m-n)$和$(m+n+1)$中必有一个是奇数、一个是偶数，因此$(m-n)(m+n+1)$是2的倍数。
所以$4×2=8$，即两个奇数的平方差是8的倍数，总能被8整除。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；奇数的代数表示；整除判定
【点评】
本题是平方差公式的典型应用题型，既可以用特殊值法快速解答选择题，也可以通过代数推导验证结论，能很好地考查学生的整式运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
8.(逆向思维)(2024·凉山州)已知$a^2 - b^2 =12$，且$a - b = -2$，则$a + b =$
$-6$
.答案
8.$-6$
解析
【分析】
看到已知条件中的$a^2 - b^2$，首先回忆平方差公式，平方差公式可以逆用，即$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$。题目已经给出$a^2 - b^2$和$a-b$的数值，将已知数值代入逆用的平方差公式，即可求出$a+b$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$
已知$a^2 - b^2=12$，$a-b=-2$，将其代入上式：
$12 = -2 × (a+b)$
等式两边同时除以$-2$，解得：
$a+b = 12÷(-2) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的逆向应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，直接代入计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
看到已知条件中的$a^2 - b^2$，首先回忆平方差公式，平方差公式可以逆用，即$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$。题目已经给出$a^2 - b^2$和$a-b$的数值，将已知数值代入逆用的平方差公式，即可求出$a+b$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$
已知$a^2 - b^2=12$，$a-b=-2$，将其代入上式：
$12 = -2 × (a+b)$
等式两边同时除以$-2$，解得：
$a+b = 12÷(-2) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的逆向应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，直接代入计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
9.(归纳推理)观察下列各式:$1×3=2^{2}-1,3×$$5=4^{2}-1,5×7=6^{2}-1,7×9=8^{2}-1······$请你把发现的规律用含字母$n$($n$为正整数)的式子表示第$n$个等式:
$(2n-1)(2n+1)=(2n)^2-1$
.答案
9.$(2n-1)(2n+1)=(2n)^2-1$
解析
【分析】
解决这类数字规律探究题，可分别分析等式左右两边的特征：①先看左边的两个乘数：均为相邻的奇数，第1个等式的两个乘数是第1、2个奇数，第2个等式是第2、3个奇数，以此类推，第n个等式的两个乘数就是第n、n+1个奇数，我们知道第k个奇数可以表示为2k-1，据此可写出左边的代数式；②再看右边：均为两个奇数中间的偶数的平方减1，第n个等式里的中间偶数正好是2n，可写出右边的代数式，最后结合平方差公式验证等式成立即可。
【解析】
步骤1：分析等式左边的规律
第1个等式左边：$1×3$，其中$1=2×1-1$，$3=2×1+1$；
第2个等式左边：$3×5$，其中$3=2×2-1$，$5=2×2+1$；
第3个等式左边：$5×7$，其中$5=2×3-1$，$7=2×3+1$；
……
由此可得，第n个等式的左边为：$(2n-1)(2n+1)$。
步骤2：分析等式右边的规律
第1个等式右边：$2^2-1=(2×1)^2-1$；
第2个等式右边：$4^2-1=(2×2)^2-1$；
第3个等式右边：$6^2-1=(2×3)^2-1$；
……
由此可得，第n个等式的右边为：$(2n)^2-1$。
步骤3：验证等式成立
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将左边展开：
$(2n-1)(2n+1)=(2n)^2 - 1^2 = (2n)^2 -1$，与右边相等，规律成立。
【答案】
$(2n-1)(2n+1)=(2n)^2-1$
【知识点】
数字规律探究，平方差公式
【点评】
本题考查从特殊实例归纳一般规律的能力，解题时需拆分等式的左右部分分别找对应规律，得出规律后可通过代数运算验证规律的正确性，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决这类数字规律探究题，可分别分析等式左右两边的特征：①先看左边的两个乘数：均为相邻的奇数，第1个等式的两个乘数是第1、2个奇数，第2个等式是第2、3个奇数，以此类推，第n个等式的两个乘数就是第n、n+1个奇数，我们知道第k个奇数可以表示为2k-1，据此可写出左边的代数式；②再看右边：均为两个奇数中间的偶数的平方减1，第n个等式里的中间偶数正好是2n，可写出右边的代数式，最后结合平方差公式验证等式成立即可。
【解析】
步骤1：分析等式左边的规律
第1个等式左边：$1×3$，其中$1=2×1-1$，$3=2×1+1$；
第2个等式左边：$3×5$，其中$3=2×2-1$，$5=2×2+1$；
第3个等式左边：$5×7$，其中$5=2×3-1$，$7=2×3+1$；
……
由此可得，第n个等式的左边为：$(2n-1)(2n+1)$。
步骤2：分析等式右边的规律
第1个等式右边：$2^2-1=(2×1)^2-1$；
第2个等式右边：$4^2-1=(2×2)^2-1$；
第3个等式右边：$6^2-1=(2×3)^2-1$；
……
由此可得，第n个等式的右边为：$(2n)^2-1$。
步骤3：验证等式成立
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将左边展开：
$(2n-1)(2n+1)=(2n)^2 - 1^2 = (2n)^2 -1$，与右边相等，规律成立。
【答案】
$(2n-1)(2n+1)=(2n)^2-1$
【知识点】
数字规律探究，平方差公式
【点评】
本题考查从特殊实例归纳一般规律的能力，解题时需拆分等式的左右部分分别找对应规律，得出规律后可通过代数运算验证规律的正确性，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
10.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
。答案
10.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
解析
【分析】
我们可以通过数形结合的思路推导公式：首先分别计算两个图形的面积，由于阴影部分仅发生位置平移，面积大小不变，因此两个图形的总面积相等，联立两个面积表达式即可得到对应的数学公式。第一步先识别图甲的形状，用长方形面积公式写出甲的面积；第二步将图乙的面积转化为正方形面积差的形式；最后令两个面积相等整理得到公式。
【解析】
1. 计算图甲的面积：
图甲是长为$(a+b)$、宽为$(a-b)$的长方形，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S_甲=(a+b)(a-b)$
2. 计算图乙的面积：
图乙可以看作边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形，根据正方形面积公式$S=边长^2$，可得：
$S_乙=a^2 - b^2$
3. 联立面积关系：
因为阴影部分仅平移位置，面积不变，因此两个图形的总面积相等，即$S_甲=S_乙$，因此有：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
【答案】
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
平方差公式的几何意义、整式乘法、数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形面积的等量关系推导代数公式，直观展现了平方差公式的几何背景，是数形结合思想在整式乘法学习中的典型应用，能帮助学生更深刻地理解平方差公式的内涵。
【难度系数】
0.7
我们可以通过数形结合的思路推导公式：首先分别计算两个图形的面积，由于阴影部分仅发生位置平移，面积大小不变，因此两个图形的总面积相等，联立两个面积表达式即可得到对应的数学公式。第一步先识别图甲的形状，用长方形面积公式写出甲的面积；第二步将图乙的面积转化为正方形面积差的形式；最后令两个面积相等整理得到公式。
【解析】
1. 计算图甲的面积：
图甲是长为$(a+b)$、宽为$(a-b)$的长方形，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S_甲=(a+b)(a-b)$
2. 计算图乙的面积：
图乙可以看作边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形，根据正方形面积公式$S=边长^2$，可得：
$S_乙=a^2 - b^2$
3. 联立面积关系：
因为阴影部分仅平移位置，面积不变，因此两个图形的总面积相等，即$S_甲=S_乙$，因此有：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
【答案】
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
平方差公式的几何意义、整式乘法、数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形面积的等量关系推导代数公式，直观展现了平方差公式的几何背景，是数形结合思想在整式乘法学习中的典型应用，能帮助学生更深刻地理解平方差公式的内涵。
【难度系数】
0.7
11.(运算能力)计算：
(1)$(2a+2b)(a-b)-(3a+4b)(3a-4b)$；
(2)$(3a+2b)(9a^2+4b^2)(3a-2b)$；
(3)$\frac{997 × 999 + 1}{998}$。
(1)$(2a+2b)(a-b)-(3a+4b)(3a-4b)$；
(2)$(3a+2b)(9a^2+4b^2)(3a-2b)$；
(3)$\frac{997 × 999 + 1}{998}$。
答案
11.(1)原式=$2(a^2-b^2)-9a^2+16b^2=-7a^2+14b^2$
(2)原式=$(9a^2-4b^2)(9a^2+4b^2)=81a^4-16b^4$
(3)原式=$\dfrac{(998-1)×(998+1)+1}{998}=\dfrac{998^2-1+1}{998}=998$
(2)原式=$(9a^2-4b^2)(9a^2+4b^2)=81a^4-16b^4$
(3)原式=$\dfrac{(998-1)×(998+1)+1}{998}=\dfrac{998^2-1+1}{998}=998$
解析
【分析】
这三道题均围绕平方差公式展开求解，解题思路如下：
(1) 先观察第一个乘积项，可提取公因式2得到2(a+b)(a-b)，符合平方差公式结构，直接套用公式计算；第二个乘积项本身就是平方差公式的标准形式，直接套用后去括号、合并同类项即可。
(2) 观察三个因式，发现(3a+2b)和(3a-2b)满足平方差公式的结构，利用乘法交换律先计算这两个的乘积，得到的结果再和(9a²+4b²)再次套用平方差公式即可。
(3) 分子中997和999分别是998-1和998+1，将二者变形后套用平方差公式计算分子，可避免复杂的多位数乘法，再化简即可得到结果。
【解析】
(1) 先对第一个因式提公因式，再分别套用平方差公式：
原式$=2(a+b)(a-b)-[(3a)^2-(4b)^2]$
$=2(a^2-b^2)-(9a^2-16b^2)$
$=2a^2-2b^2-9a^2+16b^2$
$=-7a^2+14b^2$
(2) 利用乘法交换律调整运算顺序，连续两次套用平方差公式：
原式$=(3a+2b)(3a-2b)(9a^2+4b^2)$
$=[(3a)^2-(2b)^2](9a^2+4b^2)$
$=(9a^2-4b^2)(9a^2+4b^2)$
$=(9a^2)^2-(4b^2)^2$
$=81a^4-16b^4$
(3) 对分子的因数变形后套用平方差公式简化计算：
原式$=\dfrac{(998-1)×(998+1)+1}{998}$
$=\dfrac{998^2-1^2+1}{998}$
$=\dfrac{998^2}{998}$
$=998$
【答案】
(1)$-7a^2+14b^2$；(2)$81a^4-16b^4$；(3)$998$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、有理数简便运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别平方差公式“两数和乘两数差”的结构特征，合理对式子变形后套用公式，可大幅降低运算量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均围绕平方差公式展开求解，解题思路如下：
(1) 先观察第一个乘积项，可提取公因式2得到2(a+b)(a-b)，符合平方差公式结构，直接套用公式计算；第二个乘积项本身就是平方差公式的标准形式，直接套用后去括号、合并同类项即可。
(2) 观察三个因式，发现(3a+2b)和(3a-2b)满足平方差公式的结构，利用乘法交换律先计算这两个的乘积，得到的结果再和(9a²+4b²)再次套用平方差公式即可。
(3) 分子中997和999分别是998-1和998+1，将二者变形后套用平方差公式计算分子，可避免复杂的多位数乘法，再化简即可得到结果。
【解析】
(1) 先对第一个因式提公因式，再分别套用平方差公式：
原式$=2(a+b)(a-b)-[(3a)^2-(4b)^2]$
$=2(a^2-b^2)-(9a^2-16b^2)$
$=2a^2-2b^2-9a^2+16b^2$
$=-7a^2+14b^2$
(2) 利用乘法交换律调整运算顺序，连续两次套用平方差公式：
原式$=(3a+2b)(3a-2b)(9a^2+4b^2)$
$=[(3a)^2-(2b)^2](9a^2+4b^2)$
$=(9a^2-4b^2)(9a^2+4b^2)$
$=(9a^2)^2-(4b^2)^2$
$=81a^4-16b^4$
(3) 对分子的因数变形后套用平方差公式简化计算：
原式$=\dfrac{(998-1)×(998+1)+1}{998}$
$=\dfrac{998^2-1^2+1}{998}$
$=\dfrac{998^2}{998}$
$=998$
【答案】
(1)$-7a^2+14b^2$；(2)$81a^4-16b^4$；(3)$998$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、有理数简便运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别平方差公式“两数和乘两数差”的结构特征，合理对式子变形后套用公式，可大幅降低运算量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
12.(整体思想)已知$3x^2 - x - 1 = 0$，求代数式$(2x + 5)(2x - 5) + 2x(x - 1)$的值。
答案
12.原式=$4x^2-25+2x^2-2x=6x^2-2x-25$，$\because 3x^2-x-1=0$，$\therefore 3x^2-x=1$，$\therefore$原式=$2(3x^2-x)-25=2×1-25=-23$
解析
【分析】
本题要求代数式的值，若直接求解方程$3x^2 - x - 1 = 0$得到$x$的值再代入计算，过程繁琐且容易出错，结合题干提示的整体思想，解题思路如下：第一步先利用整式运算法则（平方差公式、单项式乘多项式）对所求代数式进行展开、合并同类项化简；第二步观察化简后的式子与已知方程的联系，将已知方程变形得到$3x^2 - x = 1$，再把化简后的代数式变形为含$3x^2 - x$的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简代数式：
1. 利用平方差公式计算$(2x + 5)(2x - 5)$：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(2x + 5)(2x - 5)=(2x)^2 - 5^2=4x^2 - 25$；
2. 计算单项式乘多项式$2x(x - 1)$：根据乘法分配律得$2x · x - 2x · 1=2x^2 - 2x$；
3. 合并同类项：原式$=4x^2 - 25 + 2x^2 - 2x=6x^2 - 2x - 25$；
接下来结合已知条件整体代入：
已知$3x^2 - x - 1 = 0$，移项可得$3x^2 - x = 1$；
观察化简后的式子$6x^2 - 2x - 25$，可变形为$2(3x^2 - x) - 25$，将$3x^2 - x = 1$代入得：
原式$=2×1 - 25=2 - 25=-23$。
【答案】
$-23$
【知识点】
平方差公式，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题的核心是熟练掌握平方差公式等整式运算法则，灵活运用整体思想代入计算，无需单独求解未知数即可快速得到结果，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.75
本题要求代数式的值，若直接求解方程$3x^2 - x - 1 = 0$得到$x$的值再代入计算，过程繁琐且容易出错，结合题干提示的整体思想，解题思路如下：第一步先利用整式运算法则（平方差公式、单项式乘多项式）对所求代数式进行展开、合并同类项化简；第二步观察化简后的式子与已知方程的联系，将已知方程变形得到$3x^2 - x = 1$，再把化简后的代数式变形为含$3x^2 - x$的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简代数式：
1. 利用平方差公式计算$(2x + 5)(2x - 5)$：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(2x + 5)(2x - 5)=(2x)^2 - 5^2=4x^2 - 25$；
2. 计算单项式乘多项式$2x(x - 1)$：根据乘法分配律得$2x · x - 2x · 1=2x^2 - 2x$；
3. 合并同类项：原式$=4x^2 - 25 + 2x^2 - 2x=6x^2 - 2x - 25$；
接下来结合已知条件整体代入：
已知$3x^2 - x - 1 = 0$，移项可得$3x^2 - x = 1$；
观察化简后的式子$6x^2 - 2x - 25$，可变形为$2(3x^2 - x) - 25$，将$3x^2 - x = 1$代入得：
原式$=2×1 - 25=2 - 25=-23$。
【答案】
$-23$
【知识点】
平方差公式，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题的核心是熟练掌握平方差公式等整式运算法则，灵活运用整体思想代入计算，无需单独求解未知数即可快速得到结果，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.75
13.(抽象能力)(1)填空：
$(a-b)(a+b)=$
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=$
$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=$
(2)猜想：
$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+···+ab^{n-2}+b^{n-1})=$
(3)利用(2)猜想的结论计算：
$2^{100}+2^{99}+2^{98}+···+2^3+2^2+2+1$。
$(a-b)(a+b)=$
$a^2-b^2$
；$(a-b)(a^2+ab+b^2)=$
$a^3-b^3$
；$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=$
$a^4-b^4$
；(2)猜想：
$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+···+ab^{n-2}+b^{n-1})=$
$a^n-b^n$
；(其中$n$为正整数，且$n≥2$)(3)利用(2)猜想的结论计算：
$2^{100}+2^{99}+2^{98}+···+2^3+2^2+2+1$。
答案
13.(1)$a^2-b^2$ $a^3-b^3$ $a^4-b^4$
(2)$a^n-b^n$
(3)在公式$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n$中，取$a=2,b=1,n=101$，得$(2-1)(2^{100}+2^{99}+2^{98}+…+2^2+2+1)=2^{101}-1^{101}$，$\therefore 2^{100}+2^{99}+2^{98}+…+2^3+2^2+2+1=2^{101}-1$
(2)$a^n-b^n$
(3)在公式$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n$中，取$a=2,b=1,n=101$，得$(2-1)(2^{100}+2^{99}+2^{98}+…+2^2+2+1)=2^{101}-1^{101}$，$\therefore 2^{100}+2^{99}+2^{98}+…+2^3+2^2+2+1=2^{101}-1$
解析
【分析】
(1) 第一小问直接运用多项式乘多项式的法则展开，合并同类项即可得到结果；(2) 观察第一小问的三个式子，左边第二个因式的最高次分别为1、2、3，对应结果的最高次分别为2、3、4，可归纳得出通用规律；(3) 所求式子的结构和第二问猜想中左边第二个因式的形式完全匹配，可令a=2、b=1，给原式乘(2-1)（值为1，不会改变原式大小），套用猜想的公式即可快速算出结果。
【解析】
(1) 按多项式乘法法则计算：
$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$；
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$；
$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4=a^4-b^4$。
(2) 观察(1)的结果可知，相乘后中间项全部抵消，仅剩最高次项和最低次项，因此猜想结果为$a^n - b^n$。
(3) 对照猜想的公式，取$a=2$，$b=1$，$n=101$，代入得：
$(2-1)(2^{100}+2^{99}+2^{98}+···+2^2+2+1)=2^{101}-1^{101}$
因为$2-1=1$，因此$2^{100}+2^{99}+2^{98}+···+2^2+2+1=2^{101}-1$。
【答案】
(1)$a^2-b^2$；$a^3-b^3$；$a^4-b^4$
(2)$a^n - b^n$
(3)$2^{101}-1$
【知识点】
多项式乘法；规律归纳；整式化简
【点评】
本题从基础的整式运算出发，引导学生通过特殊例子推导通用规律，再应用规律解决复杂计算问题，侧重考察学生的抽象思维能力和知识迁移能力，第三问需要灵活构造公式的适用条件，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问直接运用多项式乘多项式的法则展开，合并同类项即可得到结果；(2) 观察第一小问的三个式子，左边第二个因式的最高次分别为1、2、3，对应结果的最高次分别为2、3、4，可归纳得出通用规律；(3) 所求式子的结构和第二问猜想中左边第二个因式的形式完全匹配，可令a=2、b=1，给原式乘(2-1)（值为1，不会改变原式大小），套用猜想的公式即可快速算出结果。
【解析】
(1) 按多项式乘法法则计算：
$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$；
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$；
$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4=a^4-b^4$。
(2) 观察(1)的结果可知，相乘后中间项全部抵消，仅剩最高次项和最低次项，因此猜想结果为$a^n - b^n$。
(3) 对照猜想的公式，取$a=2$，$b=1$，$n=101$，代入得：
$(2-1)(2^{100}+2^{99}+2^{98}+···+2^2+2+1)=2^{101}-1^{101}$
因为$2-1=1$，因此$2^{100}+2^{99}+2^{98}+···+2^2+2+1=2^{101}-1$。
【答案】
(1)$a^2-b^2$；$a^3-b^3$；$a^4-b^4$
(2)$a^n - b^n$
(3)$2^{101}-1$
【知识点】
多项式乘法；规律归纳；整式化简
【点评】
本题从基础的整式运算出发，引导学生通过特殊例子推导通用规律，再应用规律解决复杂计算问题，侧重考察学生的抽象思维能力和知识迁移能力，第三问需要灵活构造公式的适用条件，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
