5. 一题多解 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1 = k_1x + b$的图象与反比例函数$y_2 = \frac{k_2}{x}(x ＞ 0)$的图象交于$A(1,4),B(3,m)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求$△ AOB$的面积;
(3)直接写出在$x ＞ 0$的范围内,$y_1 ＜ y_2$时自变量$x$的取值范围.

(1)把$A(1,4)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$,得$k_2=1×4=4$.
所以反比例函数的表达式为$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$.
把$B(3,m)$代入$y_2=\frac{4}{x}$,得$m=\frac{4}{3}$.
所以点 B 的坐标为$(3,\frac{4}{3})$.
把$A(1,4),B(3,\frac{4}{3})$代入$y_1=k_1x+b$,
得$\begin{cases}k_1 + b=4,\\3k_1 + b=\frac{4}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\frac{4}{3},\\b=\frac{16}{3}.\end{cases}$
所以一次函数的表达式为$y_1=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$.
(2)通解 设一次函数图象交x轴于点D.
把$x=0$代入$y_1=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$,得$y_1=\frac{16}{3}$.
所以点 C 的坐标为$(0,\frac{16}{3})$.
把$y_1=0$代入$y_1=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$,得$-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}=0$,解得$x=4$.
所以点 D 的坐标为$(4,0)$.
所以$S_{△AOB}=S_{△OCD}-S_{△OCA}-S_{△OBD}=\frac{1}{2}×4×\frac{16}{3}-\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×1-\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$.
另解 如图,过点 A,B 分别作$AE⊥x$轴,$BF⊥x$轴,垂足分别为 E,F.
所以$S_{△AOE}=S_{△BOF}=\frac{|k_2|}{2}=2$,
所以$S_{△AOB}=S_{△AOE}+S_{梯形AEFB}-S_{△BOF}=S_{梯形AEFB}=\frac{1}{2}×(\frac{4}{3}+4)×(3-1)=\frac{16}{3}$.

(3)$0＜x＜1$ 或 $x＞3$.

6. [2025泸州中考]如图,一次函数$y=2x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的一个交点为$A(2,6)$.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$B,C$,求$S_{△ ABC}$的值.

(1)
∵ 一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$,
∴ $6=2×2+b$,
∴ $b=2$,
∴ 一次函数的表达式为$y=2x+2$.
∵ 反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$,
∴ $6=\frac{m}{2}$,
∴ $m=12$,
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)
∵ 将一次函数$y=2x+2$的图象沿y轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点 B,C,
∴ 直线 BC 的表达式为$y=2x+2-12=2x-10$.
联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2.\end{cases}$
∴ $B(-1,-12),C(6,2)$.
如图,过点 A 作$AT//y$轴交直线 BC 于点 T,
则点 T 的横坐标为 2,
在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$,
∴ $T(2,-6)$,
∴ $AT=6-(-6)=12$,
∴ $S_{△ABC}=S_{△ABT}+S_{△ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=42$.

7. 如图,已知反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(x＜0)$的图象关于y轴对称,$A(1,4),B(4,m)$是函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$图象上的两点,$C(-2,n)$是函数$y=\frac{k_2}{x}(x＜0)$图象上的一点,连接AB,AC,BC.
(1)求$m,n$的值;
(2)求直线AB的函数表达式;
(3)求$△ ABC$的面积.

(1)
∵ 点$A(1,4),B(4,m)$在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上,
∴ $k_1=1×4=4$,
∴ $4m=k_1=4$,
∴ $m=1$.
∵ 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(x＜0)$的图象关于 y 轴对称,
∴ $k_2=-k_1=-4$.
∵ 点$C(-2,n)$在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(x＜0)$的图象上,
∴ $n=\frac{-4}{-2}=2$.
(2)设直线 AB 的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
把$A(1,4),B(4,1)$代入,得$\begin{cases}4=k+b,\\1=4k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=5.\end{cases}$
∴ 直线 AB 的函数表达式为$y=-x+5$.
(3)如图,过点 A,B 分别作 x 轴的平行线,过点 C,B 分别作 y 轴的平行线,它们的交点分别是 E,F,G,则四边形 EFBG 是矩形.

由题意知$AF=3,BF=3,AE=3,EC=2,CG=1,GB=6,EG=3$,
∴ $S_{△ABC}=S_{矩形EFBG}-S_{△AFB}-S_{△AEC}-S_{△CBG}=BG·EG-\frac{1}{2}AF·FB-\frac{1}{2}AE·EC-\frac{1}{2}BG·CG=18-\frac{9}{2}-3-3=\frac{15}{2}$.