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1.「2024江苏无锡中考」已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（
A.6π
B.12π
C.15π
D.24π
B
）A.6π
B.12π
C.15π
D.24π
答案
1.B $S_{侧}=π×3×4=12π$.故选B.
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘以底面半径乘以母线长。接下来从题干中提取公式所需的已知量：底面圆半径r=3，母线长l=4，将数值代入公式直接计算即可得到结果。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$（其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥母线长）。
由题意可知，$r=3$，$l=4$，代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×4=12π$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题的关键是熟记公式，准确对应题干给出的底面半径和母线长的数值，计算时注意不要和圆锥全面积公式混淆。
【难度系数】
0.9
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘以底面半径乘以母线长。接下来从题干中提取公式所需的已知量：底面圆半径r=3，母线长l=4，将数值代入公式直接计算即可得到结果。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$（其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥母线长）。
由题意可知，$r=3$，$l=4$，代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×4=12π$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题的关键是熟记公式，准确对应题干给出的底面半径和母线长的数值，计算时注意不要和圆锥全面积公式混淆。
【难度系数】
0.9
2.「2025云南中考」若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为 (
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
)A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
2.B 设圆锥的底面圆的半径为r cm,则$2πr=\frac{90π×40}{180}$,解得r=10,即圆锥的底面圆的半径为10 cm.故选B.
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。本题已知侧面展开图的圆心角和母线长，要求底面半径，我们可以利用上述等量关系列方程求解：先根据弧长公式求出扇形的弧长，再将其与底面圆周长的表达式联立，即可解出底面半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r $ cm。
根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为母线长）、圆的周长公式$ C=2π r $，代入已知条件$ n=90° $，$ R=40\ \mathrm{cm} $可得：
$ 2π r=\frac{90π × 40}{180} $
化简等式右侧得$ 2π r=20π $，两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
即圆锥的底面圆的半径为10 cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图与圆锥各量的对应关系，找准等量关系后代入公式计算即可，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。本题已知侧面展开图的圆心角和母线长，要求底面半径，我们可以利用上述等量关系列方程求解：先根据弧长公式求出扇形的弧长，再将其与底面圆周长的表达式联立，即可解出底面半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r $ cm。
根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为母线长）、圆的周长公式$ C=2π r $，代入已知条件$ n=90° $，$ R=40\ \mathrm{cm} $可得：
$ 2π r=\frac{90π × 40}{180} $
化简等式右侧得$ 2π r=20π $，两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
即圆锥的底面圆的半径为10 cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图与圆锥各量的对应关系，找准等量关系后代入公式计算即可，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
3.「2026湖北武汉汉阳期中」如图，圆锥底面圆的直径为6 cm，高为4 cm，则它的全面积为 (
A.15π cm²
B.24π cm²
C.28π cm²
D.30π cm²
B
)A.15π cm²
B.24π cm²
C.28π cm²
D.30π cm²
答案
3.B 由题意得,圆锥的底面圆的面积为$π×(6÷2)^2=9π(cm^2)$.
∵ 圆锥的高为4 cm,
∴ 圆锥的母线长为$\sqrt{3^2+4^2}=5(cm)$,
∴ 圆锥的侧面积为$π×3×5=15π(cm^2)$,
∵ $9π+15π=24π(cm^2)$,
∴ 圆锥的全面积为$24π\ cm^2$.故选B.
∵ 圆锥的高为4 cm,
∴ 圆锥的母线长为$\sqrt{3^2+4^2}=5(cm)$,
∴ 圆锥的侧面积为$π×3×5=15π(cm^2)$,
∵ $9π+15π=24π(cm^2)$,
∴ 圆锥的全面积为$24π\ cm^2$.故选B.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确圆锥的全面积由底面积和侧面积两部分组成，我们可以分步计算两个部分的面积再求和：首先根据已知的底面直径求出底面半径，用圆的面积公式算出底面积；再利用圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形的特点，通过勾股定理求出母线长，代入圆锥侧面积公式算出侧面积，最后将底面积和侧面积相加即可得到全面积。
【解析】
解：由题意得，圆锥底面圆的直径为6 cm，因此底面半径$r=6÷2=3\ \mathrm{cm}$。
1. 计算底面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，得$S_{\mathrm{底}}=π×3^2=9π\ (\mathrm{cm}^2)$。
2. 计算母线长：
圆锥的高为4 cm，圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$满足勾股定理，因此：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数值得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×5=15π\ (\mathrm{cm}^2)$。
4. 计算全面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{底}}+S_{\mathrm{侧}}=9π+15π=24π\ (\mathrm{cm}^2)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥全面积计算，勾股定理，圆锥侧面积公式
【点评】
本题属于基础的几何计算类题目，核心考查圆锥相关参数的关系和面积计算公式，只要掌握对应知识点，计算过程不容易出错，能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确圆锥的全面积由底面积和侧面积两部分组成，我们可以分步计算两个部分的面积再求和：首先根据已知的底面直径求出底面半径，用圆的面积公式算出底面积；再利用圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形的特点，通过勾股定理求出母线长，代入圆锥侧面积公式算出侧面积，最后将底面积和侧面积相加即可得到全面积。
【解析】
解：由题意得，圆锥底面圆的直径为6 cm，因此底面半径$r=6÷2=3\ \mathrm{cm}$。
1. 计算底面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，得$S_{\mathrm{底}}=π×3^2=9π\ (\mathrm{cm}^2)$。
2. 计算母线长：
圆锥的高为4 cm，圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$满足勾股定理，因此：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数值得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×5=15π\ (\mathrm{cm}^2)$。
4. 计算全面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{底}}+S_{\mathrm{侧}}=9π+15π=24π\ (\mathrm{cm}^2)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥全面积计算，勾股定理，圆锥侧面积公式
【点评】
本题属于基础的几何计算类题目，核心考查圆锥相关参数的关系和面积计算公式，只要掌握对应知识点，计算过程不容易出错，能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.「2024广东广州中考」如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$72°$的扇形，若扇形的半径$l$是5，则该圆锥的体积是（
A.$\frac{3\sqrt{11}}{8}π$
B.$\frac{\sqrt{11}}{8}π$
C.$2\sqrt{6}π$
D.$\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
D
）A.$\frac{3\sqrt{11}}{8}π$
B.$\frac{\sqrt{11}}{8}π$
C.$2\sqrt{6}π$
D.$\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
答案
4.D 设圆锥的底面圆的半径为r,则圆锥的底面圆的周长为2πr,
∵ 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,且扇形的半径l是5,
∴ 扇形的弧长为$\frac{72π×5}{180}=2π$.
∵ 圆锥的底面圆的周长与侧面展开图的弧长相等,
∴ 2πr=2π,
∴ r=1,
∴ 圆锥的高为$\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt{6}$.
∴ 圆锥的体积为$\frac{1}{3}π×1^2×2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$.故选D.
∵ 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,且扇形的半径l是5,
∴ 扇形的弧长为$\frac{72π×5}{180}=2π$.
∵ 圆锥的底面圆的周长与侧面展开图的弧长相等,
∴ 2πr=2π,
∴ r=1,
∴ 圆锥的高为$\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt{6}$.
∴ 圆锥的体积为$\frac{1}{3}π×1^2×2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$.故选D.
解析
【分析】
要解决这道题，可按三步思路推导：首先明确圆锥侧面展开图的核心性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，这是连接扇形和圆锥的关键等量关系。第一步先根据弧长公式算出圆心角为72°、半径为5的扇形的弧长，也就是圆锥底面的周长；第二步用底面周长求出底面半径r，再结合圆锥的母线长（即扇形半径l=5），利用勾股定理算出圆锥的高；最后代入圆锥体积公式计算结果，对应选项即可。
【解析】
解：设圆锥的底面圆半径为r。
1. 计算侧面展开图扇形的弧长：
根据弧长公式$弧长=\frac{nπl}{180}$（n为圆心角度数，l为扇形半径），代入n=72°，l=5，得：
$弧长=\frac{72π×5}{180}=2π$
2. 求底面半径r：
圆锥底面圆周长为$2πr$，由底面周长等于扇形弧长得$2πr=2π$，解得$r=1$。
3. 计算圆锥的高：
圆锥的母线长、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得：
高$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{5^2 - 1^2}=2\sqrt{6}$
4. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$，代入r=1，h=2√6，得：
$V=\frac{1}{3}π×1^2×2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式，圆锥体积公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题目，解题核心是掌握圆锥侧面展开图和圆锥各要素的对应关系，计算时要注意弧长公式、圆锥体积公式的正确应用，不要遗漏体积公式中的$\frac{1}{3}$。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按三步思路推导：首先明确圆锥侧面展开图的核心性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，这是连接扇形和圆锥的关键等量关系。第一步先根据弧长公式算出圆心角为72°、半径为5的扇形的弧长，也就是圆锥底面的周长；第二步用底面周长求出底面半径r，再结合圆锥的母线长（即扇形半径l=5），利用勾股定理算出圆锥的高；最后代入圆锥体积公式计算结果，对应选项即可。
【解析】
解：设圆锥的底面圆半径为r。
1. 计算侧面展开图扇形的弧长：
根据弧长公式$弧长=\frac{nπl}{180}$（n为圆心角度数，l为扇形半径），代入n=72°，l=5，得：
$弧长=\frac{72π×5}{180}=2π$
2. 求底面半径r：
圆锥底面圆周长为$2πr$，由底面周长等于扇形弧长得$2πr=2π$，解得$r=1$。
3. 计算圆锥的高：
圆锥的母线长、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得：
高$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{5^2 - 1^2}=2\sqrt{6}$
4. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$，代入r=1，h=2√6，得：
$V=\frac{1}{3}π×1^2×2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}π$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式，圆锥体积公式
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题目，解题核心是掌握圆锥侧面展开图和圆锥各要素的对应关系，计算时要注意弧长公式、圆锥体积公式的正确应用，不要遗漏体积公式中的$\frac{1}{3}$。
【难度系数】
0.7
5.「2025黑龙江齐齐哈尔中考」已知圆锥的底面圆半径为40 cm，母线长为90 cm，则它的侧面展开图的圆心角为
160
度.答案
5.答案 160
解析 设侧面展开图的圆心角为n度,根据弧长的公式得,$2π×40=\frac{nπ·90}{180}$,解得n=160,故侧面展开图的圆心角为160度.
解析 设侧面展开图的圆心角为n度,根据弧长的公式得,$2π×40=\frac{nπ·90}{180}$,解得n=160,故侧面展开图的圆心角为160度.
解析
【分析】
解题时首先回忆圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先设侧面展开图的圆心角为n度，再利用弧长公式建立关于n的一元一次方程，解方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为n度。
圆锥底面圆的周长为：$2π r=2π×40$
圆锥侧面展开图（扇形）的弧长公式为：$\frac{nπ R}{180}$（其中R为圆锥母线长90cm）
根据“圆锥底面圆周长=侧面展开图的弧长”列等式：
$2π×40=\frac{nπ·90}{180}$
两边约去π后化简可得：$80=\frac{n}{2}$
解得$n=160$
【答案】
160
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式应用
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，核心考查圆锥和其侧面展开扇形的等量对应关系，掌握底面周长等于展开扇形弧长的规律，代入公式计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先设侧面展开图的圆心角为n度，再利用弧长公式建立关于n的一元一次方程，解方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为n度。
圆锥底面圆的周长为：$2π r=2π×40$
圆锥侧面展开图（扇形）的弧长公式为：$\frac{nπ R}{180}$（其中R为圆锥母线长90cm）
根据“圆锥底面圆周长=侧面展开图的弧长”列等式：
$2π×40=\frac{nπ·90}{180}$
两边约去π后化简可得：$80=\frac{n}{2}$
解得$n=160$
【答案】
160
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式应用
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，核心考查圆锥和其侧面展开扇形的等量对应关系，掌握底面周长等于展开扇形弧长的规律，代入公式计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 情境数学文化发展史「★☆」《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（
A.$\frac{80}{π}$平方尺
B.$\frac{160}{π}$平方尺
C.$\frac{128}{π}$平方尺
D.$45π$平方尺
A
）A.$\frac{80}{π}$平方尺
B.$\frac{160}{π}$平方尺
C.$\frac{128}{π}$平方尺
D.$45π$平方尺
答案
6.A 设米堆所在圆锥的底面圆的半径为r尺,由米堆底部的弧长为8尺,可得$\frac{1}{4}×2πr=8$,解得$r=\frac{16}{π}$,
∴ 这个米堆遮挡的墙面面积为$2×\frac{1}{2}×\frac{16}{π}×5=\frac{80}{π}$平方尺.故选A.
∴ 这个米堆遮挡的墙面面积为$2×\frac{1}{2}×\frac{16}{π}×5=\frac{80}{π}$平方尺.故选A.
解析
【分析】
解题时先明确米堆为四分之一圆锥的结构特征：①底部弧长是对应完整圆锥底面圆周长的$\frac{1}{4}$；②遮挡的墙面是两个全等的直角三角形，直角边分别为圆锥底面半径$r$和米堆的高5尺。首先利用弧长条件列方程求出底面半径$r$，再计算两个直角三角形的面积和即可得到遮挡墙面的面积。
【解析】
设米堆所在圆锥的底面圆的半径为$r$尺。
已知米堆底部的弧长为8尺，该弧长是完整底面圆周长的$\frac{1}{4}$，因此可得：
$\frac{1}{4}×2πr=8$
解方程得：$2πr=32$，即$r=\frac{16}{π}$。
米堆遮挡的墙面为两个全等的直角三角形，直角边分别为$r$和5尺，因此总面积为：
$2×\frac{1}{2}×r×5 = 5r$
将$r=\frac{16}{π}$代入得：$5×\frac{16}{π}=\frac{80}{π}$（平方尺）。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式；直角三角形面积计算；圆锥的特征
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的问题情境，考查了圆锥相关知识的实际应用，解题的关键是准确理解四分之一圆锥的结构特征，正确运用弧长和面积公式计算，注重对基础公式运用能力和阅读理解能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先明确米堆为四分之一圆锥的结构特征：①底部弧长是对应完整圆锥底面圆周长的$\frac{1}{4}$；②遮挡的墙面是两个全等的直角三角形，直角边分别为圆锥底面半径$r$和米堆的高5尺。首先利用弧长条件列方程求出底面半径$r$，再计算两个直角三角形的面积和即可得到遮挡墙面的面积。
【解析】
设米堆所在圆锥的底面圆的半径为$r$尺。
已知米堆底部的弧长为8尺，该弧长是完整底面圆周长的$\frac{1}{4}$，因此可得：
$\frac{1}{4}×2πr=8$
解方程得：$2πr=32$，即$r=\frac{16}{π}$。
米堆遮挡的墙面为两个全等的直角三角形，直角边分别为$r$和5尺，因此总面积为：
$2×\frac{1}{2}×r×5 = 5r$
将$r=\frac{16}{π}$代入得：$5×\frac{16}{π}=\frac{80}{π}$（平方尺）。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式；直角三角形面积计算；圆锥的特征
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的问题情境，考查了圆锥相关知识的实际应用，解题的关键是准确理解四分之一圆锥的结构特征，正确运用弧长和面积公式计算，注重对基础公式运用能力和阅读理解能力的考查。
【难度系数】
0.7
7.「★☆」如图,小珍同学用半径为8 cm,圆心角为100°的扇形纸片,制作一个底面圆半径为2 cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是
第7题图 第8题图
$\frac{16π}{9}$
cm².第7题图 第8题图
答案
7.答案 $\frac{16π}{9}$
解析 根据圆锥的底面半径为2 cm,可得其底面周长为4π cm,
∵ 扇形弧长为$\frac{100π×8}{180}=\frac{40}{9}π$ cm,
∴ 粘贴部分的弧长为$\frac{4}{9}π$ cm,
∴ 圆锥上粘贴部分的面积是$\frac{1}{2}×\frac{4}{9}π×8=\frac{16π}{9}(cm^2)$.
解析 根据圆锥的底面半径为2 cm,可得其底面周长为4π cm,
∵ 扇形弧长为$\frac{100π×8}{180}=\frac{40}{9}π$ cm,
∴ 粘贴部分的弧长为$\frac{4}{9}π$ cm,
∴ 圆锥上粘贴部分的面积是$\frac{1}{2}×\frac{4}{9}π×8=\frac{16π}{9}(cm^2)$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确粘贴部分是原扇形中超出围成圆锥所需的部分，形状为半径和原扇形半径相等的小扇形。解题思路如下：第一步，根据圆锥底面半径算出底面周长，也就是围成圆锥侧面实际需要的扇形弧长；第二步，利用弧长公式算出原扇形的弧长；第三步，原扇形弧长减去实际需要的弧长，得到粘贴部分扇形的弧长；第四步，利用扇形面积公式计算粘贴部分的面积。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长，即围成圆锥所需扇形的弧长：
已知圆锥底面半径为2 cm，由圆的周长公式得$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
2. 计算原扇形的弧长：
原扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，圆心角为$100°$，代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$得：
$l_{\mathrm{原}}=\frac{100π×8}{180}=\frac{40π}{9}\ \mathrm{cm}$。
3. 计算粘贴部分扇形的弧长：
粘贴部分的弧长为原扇形弧长减去实际需要的弧长，即：
$l_{\mathrm{粘}}=\frac{40π}{9}-4π=\frac{4π}{9}\ \mathrm{cm}$。
4. 计算粘贴部分的面积：
粘贴部分是半径为8 cm，弧长为$\frac{4π}{9}\ \mathrm{cm}$的扇形，代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$得：
$S_{\mathrm{粘}}=\frac{1}{2}×\frac{4π}{9}×8=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题核心是理清圆锥与展开扇形的对应关系，需要明确粘贴部分的形状为扇形，其弧长为原扇形弧长与圆锥底面周长的差值，熟练掌握弧长、扇形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确粘贴部分是原扇形中超出围成圆锥所需的部分，形状为半径和原扇形半径相等的小扇形。解题思路如下：第一步，根据圆锥底面半径算出底面周长，也就是围成圆锥侧面实际需要的扇形弧长；第二步，利用弧长公式算出原扇形的弧长；第三步，原扇形弧长减去实际需要的弧长，得到粘贴部分扇形的弧长；第四步，利用扇形面积公式计算粘贴部分的面积。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长，即围成圆锥所需扇形的弧长：
已知圆锥底面半径为2 cm，由圆的周长公式得$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$。
2. 计算原扇形的弧长：
原扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，圆心角为$100°$，代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$得：
$l_{\mathrm{原}}=\frac{100π×8}{180}=\frac{40π}{9}\ \mathrm{cm}$。
3. 计算粘贴部分扇形的弧长：
粘贴部分的弧长为原扇形弧长减去实际需要的弧长，即：
$l_{\mathrm{粘}}=\frac{40π}{9}-4π=\frac{4π}{9}\ \mathrm{cm}$。
4. 计算粘贴部分的面积：
粘贴部分是半径为8 cm，弧长为$\frac{4π}{9}\ \mathrm{cm}$的扇形，代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$得：
$S_{\mathrm{粘}}=\frac{1}{2}×\frac{4π}{9}×8=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题核心是理清圆锥与展开扇形的对应关系，需要明确粘贴部分的形状为扇形，其弧长为原扇形弧长与圆锥底面周长的差值，熟练掌握弧长、扇形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8.「2026广西南宁期中，★☆」如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，圆心$ O_2 $与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上，测量后得知，圆锥母线长为16 cm，则这张正方形纸片的边长是
$(10\sqrt{2}+4)$
cm.答案
8.答案 $(10\sqrt{2}+4)$
解析 设圆锥的底面圆半径为r cm,由题意得$2πr=\frac{90π×16}{180}$,解得r=4,如图,过圆心$O_2$作$O_2A⊥BC$,由正方形对称性可得$∠O_2BA=45°$,
∴ $O_2B=\sqrt{2}r=4\sqrt{2}$ cm,
∴ 正方形的对角线长为$(20+4\sqrt{2})$ cm,
∴ 正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}×(20+4\sqrt{2})=(10\sqrt{2}+4)$ cm.
解析
【分析】
解题可按三步思路推进：第一步，先求圆锥底面圆半径，利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长这一核心等量关系，结合已知的扇形圆心角（正方形内角为90°）、母线长16cm，代入公式即可求出半径r；第二步，求正方形对角线长度，已知扇形顶点和圆心$O_2$都在正方形对角线上，对角线由三部分组成：母线长16cm、底面圆半径r（扇形弧到$O_2$的距离）、$O_2$到正方形右下角顶点的距离，结合正方形对角线平分内角的性质，可求出$O_2$到右下角顶点的距离为$\sqrt{2}r$，三部分相加得到总对角线长；第三步，根据正方形边长与对角线的关系（边长=对角线×$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入计算即可得到正方形边长。
【解析】
设圆锥的底面圆半径为$r$ cm，
∵ 圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，扇形圆心角为90°，半径为母线长16cm，
∴ $2π r=\frac{90π×16}{180}$，解得$r=4$。
过圆心$O_2$作$O_2A⊥ BC$，由正方形对称性可得正方形对角线平分内角，$∠ O_2BA=45°$，
∴ $O_2B=\sqrt{2}r=4\sqrt{2}$ cm，
∴ 正方形的对角线长为$16 + 4 + 4\sqrt{2}=(20+4\sqrt{2})$ cm，
∴ 正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}×(20+4\sqrt{2})=(10\sqrt{2}+4)$ cm。
【答案】
$(10\sqrt{2}+4)$
【知识点】
弧长计算，圆锥的性质，正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，结合了圆锥侧面展开图的特征与正方形的性质进行考查，解题的突破口是抓住圆锥底面周长与展开扇形弧长相等的等量关系，再结合正方形的几何特征逐步推导，能够有效考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思路推进：第一步，先求圆锥底面圆半径，利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长这一核心等量关系，结合已知的扇形圆心角（正方形内角为90°）、母线长16cm，代入公式即可求出半径r；第二步，求正方形对角线长度，已知扇形顶点和圆心$O_2$都在正方形对角线上，对角线由三部分组成：母线长16cm、底面圆半径r（扇形弧到$O_2$的距离）、$O_2$到正方形右下角顶点的距离，结合正方形对角线平分内角的性质，可求出$O_2$到右下角顶点的距离为$\sqrt{2}r$，三部分相加得到总对角线长；第三步，根据正方形边长与对角线的关系（边长=对角线×$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入计算即可得到正方形边长。
【解析】
设圆锥的底面圆半径为$r$ cm，
∵ 圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，扇形圆心角为90°，半径为母线长16cm，
∴ $2π r=\frac{90π×16}{180}$，解得$r=4$。
过圆心$O_2$作$O_2A⊥ BC$，由正方形对称性可得正方形对角线平分内角，$∠ O_2BA=45°$，
∴ $O_2B=\sqrt{2}r=4\sqrt{2}$ cm，
∴ 正方形的对角线长为$16 + 4 + 4\sqrt{2}=(20+4\sqrt{2})$ cm，
∴ 正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}×(20+4\sqrt{2})=(10\sqrt{2}+4)$ cm。
【答案】
$(10\sqrt{2}+4)$
【知识点】
弧长计算，圆锥的性质，正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，结合了圆锥侧面展开图的特征与正方形的性质进行考查，解题的突破口是抓住圆锥底面周长与展开扇形弧长相等的等量关系，再结合正方形的几何特征逐步推导，能够有效考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.6
9. 核心素养 空间观念 如图,已知点 C 为圆锥母线 SB 的中点,AB 为底面圆的直径,SB=6,AB=4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从 A 点爬到 C 点,则蚂蚁爬行的最短路程为 (
A.5
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{3}$
B
)A.5
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
9.B 由题意知,圆锥底面圆的周长等于4π,沿母线SA将圆锥侧面展开后,如图所示,连接$AC'$,$AB'$.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为$n°$,根据底面周长等于侧面展开后所得扇形的弧长得$4π=\frac{nπ×6}{180}$,解得n=120,
所以侧面展开图中$∠ASB'=120°÷2=60°$,
因为$SA=SB'$,所以$△SAB'$为等边三角形,
又因为$C'$为$SB'$的中点,
所以$AC'⊥SB'$,在$Rt△SAC'$中,$SA=6$,$SC'=3$,
根据勾股定理求得$AC'=3\sqrt{3}$,
所以蚂蚁爬行的最短路程为$3\sqrt{3}$.故选B.
解析
【分析】
要求圆锥侧面上蚂蚁爬行的最短路程，需先将圆锥侧面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，最短路程就是展开图中A、C对应点的线段长度。第一步利用“圆锥底面周长=侧面展开扇形的弧长”计算展开扇形的圆心角；第二步确定展开图中A、C对应点的位置，以及两点与顶点S构成三角形的角度、边长；最后结合三角形性质和勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：由题意得，圆锥底面圆直径AB=4，因此底面圆周长为$C=π d=4π$，圆锥母线长$SA=SB=6$。
沿母线SA将圆锥侧面展开，设展开后扇形的圆心角为$n°$，根据底面周长等于扇形弧长列等式：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$
解得$n=120$，即展开后扇形的圆心角$∠ A'SA=120°$。
因为AB是底面圆直径，底面弧AB对应的圆心角为180°，对应侧面展开图中$∠ ASB'=\frac{120°}{2}=60°$。
又$SA=SB'=6$，因此$△ SAB'$为等边三角形。
已知C是SB的中点，对应展开图中$C'$为$SB'$的中点，根据等边三角形“三线合一”性质，可得$AC'⊥ SB'$。
在$Rt△ SAC'$中，$SA=6$，$SC'=\frac{1}{2}SB'=3$，由勾股定理得：
$AC'=\sqrt{SA^2 - SC'^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
即蚂蚁爬行的最短路程为$3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是典型的立体图形最短路径问题，核心解题思路是将曲面问题转化为平面问题求解，需要准确掌握圆锥侧面展开图与原圆锥各要素的对应关系，结合三角形性质计算，易错点为展开扇形圆心角的计算、立体图与展开图的点对应关系判断。
【难度系数】
0.6
要求圆锥侧面上蚂蚁爬行的最短路程，需先将圆锥侧面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，最短路程就是展开图中A、C对应点的线段长度。第一步利用“圆锥底面周长=侧面展开扇形的弧长”计算展开扇形的圆心角；第二步确定展开图中A、C对应点的位置，以及两点与顶点S构成三角形的角度、边长；最后结合三角形性质和勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：由题意得，圆锥底面圆直径AB=4，因此底面圆周长为$C=π d=4π$，圆锥母线长$SA=SB=6$。
沿母线SA将圆锥侧面展开，设展开后扇形的圆心角为$n°$，根据底面周长等于扇形弧长列等式：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$
解得$n=120$，即展开后扇形的圆心角$∠ A'SA=120°$。
因为AB是底面圆直径，底面弧AB对应的圆心角为180°，对应侧面展开图中$∠ ASB'=\frac{120°}{2}=60°$。
又$SA=SB'=6$，因此$△ SAB'$为等边三角形。
已知C是SB的中点，对应展开图中$C'$为$SB'$的中点，根据等边三角形“三线合一”性质，可得$AC'⊥ SB'$。
在$Rt△ SAC'$中，$SA=6$，$SC'=\frac{1}{2}SB'=3$，由勾股定理得：
$AC'=\sqrt{SA^2 - SC'^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
即蚂蚁爬行的最短路程为$3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是典型的立体图形最短路径问题，核心解题思路是将曲面问题转化为平面问题求解，需要准确掌握圆锥侧面展开图与原圆锥各要素的对应关系，结合三角形性质计算，易错点为展开扇形圆心角的计算、立体图与展开图的点对应关系判断。
【难度系数】
0.6
