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1. 「2026安徽合肥期中节选」在平面直角坐标系中，抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点，与y轴交于点C，作直线BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作$PQ ⊥ BC$，垂足为Q，请问线段PQ的长是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作$PQ ⊥ BC$，垂足为Q，请问线段PQ的长是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
(1)
∵ 抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0),B(3,0)$ 两点，
∴ $\begin{cases}-1-b+c=0, \\-9+3b+c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2, \\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)存在. 如图，过点 P 作 $PN ⊥ AB$ 于点 N，交 BC 于点 M. 当 $x=0$ 时，$y=3$，
∴ $C(0,3)$.
又
∵ $B(3,0)$，
∴ 直线 BC 的解析式为 $y = -x + 3$，
∵ $OB = OC$，$∠BOC = 90°$，
∴ $∠CBO = 45°$，
∵ $∠MNB = 90°$，
∴ $∠PMQ = ∠NMB=45°$，
∵ $PQ ⊥ BC$，
∴ $△PQM$ 是等腰直角三角形，
∴ $PM=\sqrt{2}PQ$，
∴ PM 的值最大时，PQ 的值最大，设 $P(m,-m^2+2m+3)$，则 $M(m,-m+3)$，
∴ $PM=-m^2+2m+3-(-m+3)=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$，
∵ $-1＜0$，
∴ 当 $m=\dfrac{3}{2}$ 时，PM 的值最大，为 $\dfrac{9}{4}$，
∴ PQ 的最大值 $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$，此时 $P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可采用待定系数法，已知抛物线过A(-1,0)、B(3,0)两点，将两点坐标代入抛物线解析式$y=-x^2+bx+c$，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求得参数值，进而得到抛物线解析式。
(2) 直接求PQ的长度表达式较复杂，可通过转化求解：首先求出点C坐标和直线BC的解析式，易得△BOC是等腰直角三角形，作$PN⊥ x$轴交BC于M，可推出△PQM也是等腰直角三角形，得到$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}PM$，因此PQ的最值可转化为PM的最值。设点P的横坐标为m，用含m的代数式分别表示P、M的纵坐标，得到PM关于m的二次函数，利用二次函数的性质求出PM的最大值，即可得到PQ的最大值和对应P点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点，
∴ 将两点坐标代入解析式得$\begin{cases}-1-b+c=0, \\-9+3b+c=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2, \\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 存在。
当$x=0$时，代入抛物线解析式得$y=3$，
∴ $C(0,3)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+d$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+d=0, \\d=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\d=3,\end{cases}$
∴ 直线BC的解析式为$y=-x+3$。
∵ $OB=OC=3$，$∠ BOC=90°$，
∴ $∠ CBO=45°$。
过点P作$PN⊥ AB$于点N，交BC于点M，则$∠ MNB=90°$，
∴ $∠ PMQ=∠ NMB=180°-90°-45°=45°$。
∵ $PQ⊥ BC$，
∴ $△ PQM$是等腰直角三角形，
∴ $PM=\sqrt{2}PQ$，即$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}PM$，PM最大时PQ最大。
设$P(m,-m^2+2m+3)$，则M点横坐标也为m，代入直线BC解析式得$M(m,-m+3)$，
∴ $PM=-m^2+2m+3-(-m+3)=-m^2+3m=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$。
∵ 二次项系数$-1＜0$，函数开口向下，
∴ 当$m=\dfrac{3}{2}$时，PM取得最大值$\dfrac{9}{4}$，
∴ PQ的最大值$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$，此时P点纵坐标为$-(\frac{3}{2})^2+2×\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}$，即$P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 存在，PQ的最大值为$\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{2}}{8}}$，此时点P的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型最值问题，核心是通过构造辅助线将难以直接计算的斜线段最值转化为便于表示的竖直线段最值，结合几何性质建立二次函数模型求解，体现了转化思想和数形结合思想的应用，是二次函数综合题的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式可采用待定系数法，已知抛物线过A(-1,0)、B(3,0)两点，将两点坐标代入抛物线解析式$y=-x^2+bx+c$，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求得参数值，进而得到抛物线解析式。
(2) 直接求PQ的长度表达式较复杂，可通过转化求解：首先求出点C坐标和直线BC的解析式，易得△BOC是等腰直角三角形，作$PN⊥ x$轴交BC于M，可推出△PQM也是等腰直角三角形，得到$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}PM$，因此PQ的最值可转化为PM的最值。设点P的横坐标为m，用含m的代数式分别表示P、M的纵坐标，得到PM关于m的二次函数，利用二次函数的性质求出PM的最大值，即可得到PQ的最大值和对应P点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点，
∴ 将两点坐标代入解析式得$\begin{cases}-1-b+c=0, \\-9+3b+c=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2, \\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 存在。
当$x=0$时，代入抛物线解析式得$y=3$，
∴ $C(0,3)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+d$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+d=0, \\d=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\d=3,\end{cases}$
∴ 直线BC的解析式为$y=-x+3$。
∵ $OB=OC=3$，$∠ BOC=90°$，
∴ $∠ CBO=45°$。
过点P作$PN⊥ AB$于点N，交BC于点M，则$∠ MNB=90°$，
∴ $∠ PMQ=∠ NMB=180°-90°-45°=45°$。
∵ $PQ⊥ BC$，
∴ $△ PQM$是等腰直角三角形，
∴ $PM=\sqrt{2}PQ$，即$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}PM$，PM最大时PQ最大。
设$P(m,-m^2+2m+3)$，则M点横坐标也为m，代入直线BC解析式得$M(m,-m+3)$，
∴ $PM=-m^2+2m+3-(-m+3)=-m^2+3m=-(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$。
∵ 二次项系数$-1＜0$，函数开口向下，
∴ 当$m=\dfrac{3}{2}$时，PM取得最大值$\dfrac{9}{4}$，
∴ PQ的最大值$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$，此时P点纵坐标为$-(\frac{3}{2})^2+2×\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}$，即$P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 存在，PQ的最大值为$\boldsymbol{\dfrac{9\sqrt{2}}{8}}$，此时点P的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型最值问题，核心是通过构造辅助线将难以直接计算的斜线段最值转化为便于表示的竖直线段最值，结合几何性质建立二次函数模型求解，体现了转化思想和数形结合思想的应用，是二次函数综合题的常考题型。
【难度系数】
0.6
2. 学科特色 将军饮马模型 「2026江苏徐州云龙期中」如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$,与$y$轴交于点$C(0,-4)$,其顶点为$D$.
(1)求抛物线的表达式及顶点$D$的坐标.
(2)在$y$轴上是否存在一点$M$,使得$△ BDM$的周长最小?若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线对称轴上是否存在一动点$F$,使得$|BF-CF|$的值最大?若存在,求出点$F$的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
(1)求抛物线的表达式及顶点$D$的坐标.
(2)在$y$轴上是否存在一点$M$,使得$△ BDM$的周长最小?若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线对称轴上是否存在一动点$F$,使得$|BF-CF|$的值最大?若存在,求出点$F$的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
答案
(1)把 $A(-1,0),C(0,-4)$ 代入 $y=x^2+bx+c$ 得 $\begin{cases}1-b+c=0, \\c=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-3, \\c=-4,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=x^2-3x-4$.
∵ $y=x^2-3x-4=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$，
∴ 抛物线顶点 D 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$.
(2)在 y 轴上存在一点 M，使得 $△ BDM$ 的周长最小.
在 $y=x^2-3x-4$ 中，令 $y=0$，得 $0=x^2-3x-4$，解得 $x=4$ 或 $x=-1$，
∴ $B(4,0)$，
如图，连接 BD，易知 $BD = \sqrt{(4-\dfrac{3}{2})^2+[0-(-\dfrac{25}{4})]^2}=\dfrac{5\sqrt{29}}{4}$，
∴ 若使 $△ BDM$ 的周长最小，只需使 $DM+BM$ 的值最小.
作 $D(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$ 关于 y 轴的对称点 $D'(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$，连接 $BD'$ 交 y 轴于 M，连接 DM，
则 $DM=D'M$，
∴ $DM+BM=D'M+BM=BD'$，此时 $DM+BM$ 的值最小，最小值为线段 $BD'$ 的长，此时 $△ BDM$ 的周长也最小.
由 $B(4,0),D'(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$ 得直线 $BD'$ 的解析式为 $y=\dfrac{25}{22}x-\dfrac{50}{11}$，令 $x=0$ 得 $y=-\dfrac{50}{11}$，
∴ 点 M 的坐标为 $(0,-\dfrac{50}{11})$.
(3)存在.
∵ 点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 $A(-1,0)$，
∴ $|BF-CF|=|AF-CF|≤AC$，
∴ 当 A，C，F 三点共线时，$|BF-CF|$ 有最大值，为 AC 的长. 连接 AC 并延长交抛物线对称轴于点 F(图略)，则点 F 即为所求，由 $A(-1,0),C(0,-4)$ 得，直线 AC 的表达式为 $y=-4x-4$，在 $y=-4x-4$ 中，当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时，$y=-10$，故点 $F(\dfrac{3}{2},-10)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过$A(-1,0)$、$C(0,-4)$两点，采用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式建立关于$b$、$c$的方程组，求解即可得到抛物线表达式；再将表达式配方为顶点式，即可直接得到顶点$D$的坐标。
(2) $△ BDM$的周长为$BD+DM+BM$，其中$BD$是定点$B$、$D$之间的定长线段，因此要使周长最小，只需保证$DM+BM$最小，属于将军饮马模型。找$D$关于$y$轴的对称点$D'$，根据轴对称性质$DM=D'M$，将$DM+BM$转化为$D'M+BM$，根据两点之间线段最短，当$B$、$M$、$D'$三点共线时$D'M+BM$最小，求出直线$BD'$与$y$轴的交点即为$M$。
(3) 求$|BF-CF|$的最大值时，利用抛物线对称性可知$B$关于对称轴的对称点为$A$，因此$BF=AF$，则$|BF-CF|=|AF-CF|$。根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，当$A$、$C$、$F$三点共线时，$|AF-CF|$取得最大值$AC$，求出直线$AC$与抛物线对称轴的交点即为$F$。
【解析】
(1) 把 $A(-1,0),C(0,-4)$ 代入 $y=x^2+bx+c$ 得 $\begin{cases}1-b+c=0, \\c=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-3, \\c=-4,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=x^2-3x-4$.
∵ $y=x^2-3x-4=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$，
∴ 抛物线顶点 D 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$.
(2) 在 y 轴上存在一点 M，使得 $△ BDM$ 的周长最小.
在 $y=x^2-3x-4$ 中，令 $y=0$，得 $0=x^2-3x-4$，解得 $x=4$ 或 $x=-1$，
∴ $B(4,0)$，
连接 BD，易知 $BD = \sqrt{(4-\dfrac{3}{2})^2+[0-(-\dfrac{25}{4})]^2}=\dfrac{5\sqrt{29}}{4}$，为定值，
∴ 若使 $△ BDM$ 的周长最小，只需使 $DM+BM$ 的值最小.
作 $D(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$ 关于 y 轴的对称点 $D'(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$，连接 $BD'$ 交 y 轴于 M，连接 DM，
则 $DM=D'M$，
∴ $DM+BM=D'M+BM=BD'$，此时 $DM+BM$ 的值最小，最小值为线段 $BD'$ 的长，此时 $△ BDM$ 的周长也最小.
由 $B(4,0),D'(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$ 得直线 $BD'$ 的解析式为 $y=\dfrac{25}{22}x-\dfrac{50}{11}$，令 $x=0$ 得 $y=-\dfrac{50}{11}$，
∴ 点 M 的坐标为 $(0,-\dfrac{50}{11})$.
(3) 存在.
∵ 点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 $A(-1,0)$，
∴ $|BF-CF|=|AF-CF|≤AC$，
∴ 当 A，C，F 三点共线时，$|BF-CF|$ 有最大值，为 AC 的长. 连接 AC 并延长交抛物线对称轴于点 F，则点 F 即为所求，由 $A(-1,0),C(0,-4)$ 得，直线 AC 的表达式为 $y=-4x-4$，在 $y=-4x-4$ 中，当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时，$y=-10$，故点 $F(\dfrac{3}{2},-10)$.
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-3x-4}$，顶点$D$的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})}$；
(2) 存在，点$M$的坐标为$\boldsymbol{(0,-\dfrac{50}{11})}$；
(3) 存在，点$F$的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},-10)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最值模型，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数与几何最值的综合题，既考查了二次函数解析式求解、顶点坐标计算等基础内容，又结合轴对称性质考查了线段和、线段差最值的处理方法，解题核心是通过对称转化线段关系，结合几何性质确定最值对应的位置，是二次函数综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线经过$A(-1,0)$、$C(0,-4)$两点，采用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式建立关于$b$、$c$的方程组，求解即可得到抛物线表达式；再将表达式配方为顶点式，即可直接得到顶点$D$的坐标。
(2) $△ BDM$的周长为$BD+DM+BM$，其中$BD$是定点$B$、$D$之间的定长线段，因此要使周长最小，只需保证$DM+BM$最小，属于将军饮马模型。找$D$关于$y$轴的对称点$D'$，根据轴对称性质$DM=D'M$，将$DM+BM$转化为$D'M+BM$，根据两点之间线段最短，当$B$、$M$、$D'$三点共线时$D'M+BM$最小，求出直线$BD'$与$y$轴的交点即为$M$。
(3) 求$|BF-CF|$的最大值时，利用抛物线对称性可知$B$关于对称轴的对称点为$A$，因此$BF=AF$，则$|BF-CF|=|AF-CF|$。根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，当$A$、$C$、$F$三点共线时，$|AF-CF|$取得最大值$AC$，求出直线$AC$与抛物线对称轴的交点即为$F$。
【解析】
(1) 把 $A(-1,0),C(0,-4)$ 代入 $y=x^2+bx+c$ 得 $\begin{cases}1-b+c=0, \\c=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-3, \\c=-4,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=x^2-3x-4$.
∵ $y=x^2-3x-4=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$，
∴ 抛物线顶点 D 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$.
(2) 在 y 轴上存在一点 M，使得 $△ BDM$ 的周长最小.
在 $y=x^2-3x-4$ 中，令 $y=0$，得 $0=x^2-3x-4$，解得 $x=4$ 或 $x=-1$，
∴ $B(4,0)$，
连接 BD，易知 $BD = \sqrt{(4-\dfrac{3}{2})^2+[0-(-\dfrac{25}{4})]^2}=\dfrac{5\sqrt{29}}{4}$，为定值，
∴ 若使 $△ BDM$ 的周长最小，只需使 $DM+BM$ 的值最小.
作 $D(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$ 关于 y 轴的对称点 $D'(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$，连接 $BD'$ 交 y 轴于 M，连接 DM，
则 $DM=D'M$，
∴ $DM+BM=D'M+BM=BD'$，此时 $DM+BM$ 的值最小，最小值为线段 $BD'$ 的长，此时 $△ BDM$ 的周长也最小.
由 $B(4,0),D'(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$ 得直线 $BD'$ 的解析式为 $y=\dfrac{25}{22}x-\dfrac{50}{11}$，令 $x=0$ 得 $y=-\dfrac{50}{11}$，
∴ 点 M 的坐标为 $(0,-\dfrac{50}{11})$.
(3) 存在.
∵ 点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 $A(-1,0)$，
∴ $|BF-CF|=|AF-CF|≤AC$，
∴ 当 A，C，F 三点共线时，$|BF-CF|$ 有最大值，为 AC 的长. 连接 AC 并延长交抛物线对称轴于点 F，则点 F 即为所求，由 $A(-1,0),C(0,-4)$ 得，直线 AC 的表达式为 $y=-4x-4$，在 $y=-4x-4$ 中，当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时，$y=-10$，故点 $F(\dfrac{3}{2},-10)$.
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-3x-4}$，顶点$D$的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})}$；
(2) 存在，点$M$的坐标为$\boldsymbol{(0,-\dfrac{50}{11})}$；
(3) 存在，点$F$的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},-10)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最值模型，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数与几何最值的综合题，既考查了二次函数解析式求解、顶点坐标计算等基础内容，又结合轴对称性质考查了线段和、线段差最值的处理方法，解题核心是通过对称转化线段关系，结合几何性质确定最值对应的位置，是二次函数综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
