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热点趋势专项卷（四）
热点趋势专项卷（四）
答案
解：
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趋势七 情境融合与学科融合
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例题 (真题·金华永康)如图1是某种简易房屋,它由顶角为120°的等腰三角形和矩形组成,在整体运输时需用钢丝绳进行加固,示意图如图2所示。MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在EC上,点N在AB上,在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持EM=BN。若DE=EC=BC=4m,则钢丝绳MN长度的最小值为
嗨,你好!我是小数,对于此题,我是这样思考的:
通过构造$□ MNBP$,把MN转化为BP,从而把双动点问题转化为单动点问题,这样就很容易解决问题了。你试试看!
拆解剖析
情景融合—
动点中最值问题
$\begin{cases}考查点1:等腰三角形性质 \begin{cases}∠ ECD=30°,∠ EDC=30°,根据顶角为120° \\∠ CEB=∠ EBC,根据等腰三角形两底角相等 \\BE=2EF,根据等腰三角形三线合一\end{cases} \\考查点2:平行四边形的性质 \begin{cases}MN// BP,MP// NB,根据平行四边形定义 \\MN=BP,MP\underline{\underline{//}}BN,平行四边形对边平行且相等\end{cases} \\考查点3:特殊三角形的判定—\begin{cases}△ BCE为等腰三角形,根据BC=CE \\△ BPE为等腰直角三角形,根据∠ BPE=90°,∠ PEB=45°\end{cases} \\考查点4:点到直线距离运用—BP⊥ EP,则BP最小,根据垂线段最短 \\考查点5:直角三角形性质—\begin{cases}CF=\frac{1}{2}CE,EF=\sqrt{3}CF,含30°角的直角三角形三边关系为1:\sqrt{3}:2 \\BP=\frac{\sqrt{2}}{2}BE,等腰直角三角形三边关系为1:1:\sqrt{2}\end{cases}\end{cases}$
答案:根据题意可知:$△ ECD$是顶角为$120°$的等腰三角形,四边形$ABCD$为矩形,所以$∠ ECD=∠ EDC=30°,∠ BCD=90°$,如图,过点$M,B$作$AB,MN$的平行线,作$CF⊥ BE$,所以$MN// BP,MP// NB$,所以四边形$MNBP$是平行四边形,所以$MN=BP$,$∠ PMC=∠ ECD=30°,MP=BN$,因为$EM=BN$,所以$EM=MP$,所以$∠ PEM=∠ EPM=\frac{1}{2}∠ PMC=15°$,所以点$P$在以$E$为顶点,$∠ PEM=15°$的角的一边上运动;当$BP⊥ EP$时,$BP$最小,此时$MN$最小;因为$∠ ECB=∠ BCD+∠ ECD=120°$,$DE=EC=BC=4m,CF⊥ BE$,所以$∠ CEB=30°$,所以$∠ PEB=∠ CEB+∠ PEC=45°$,在$\mathrm{Rt}△ CFE$中,$∠ CEB=30°$,所以$CF=\frac{1}{2}CE=2m,EF=\sqrt{3}CF=2\sqrt{3}m$,在$△ BCE$中,$EC=BC,CF⊥ BE$,所以$BE=2EF=4\sqrt{3}m$;因为$BP⊥ EP,∠ PEB=45°$,所以$△ BEP$为等腰直角三角形,所以$BP=\frac{\sqrt{2}}{2}BE=2\sqrt{6}(\mathrm{m})$,故钢丝绳$MN$长度的最小值为$2\sqrt{6}\mathrm{m}$,故答案为:$2\sqrt{6}$。
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例题 (真题·金华永康)如图1是某种简易房屋,它由顶角为120°的等腰三角形和矩形组成,在整体运输时需用钢丝绳进行加固,示意图如图2所示。MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在EC上,点N在AB上,在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持EM=BN。若DE=EC=BC=4m,则钢丝绳MN长度的最小值为
2√6
m。嗨,你好!我是小数,对于此题,我是这样思考的:
通过构造$□ MNBP$,把MN转化为BP,从而把双动点问题转化为单动点问题,这样就很容易解决问题了。你试试看!
拆解剖析
情景融合—
动点中最值问题
$\begin{cases}考查点1:等腰三角形性质 \begin{cases}∠ ECD=30°,∠ EDC=30°,根据顶角为120° \\∠ CEB=∠ EBC,根据等腰三角形两底角相等 \\BE=2EF,根据等腰三角形三线合一\end{cases} \\考查点2:平行四边形的性质 \begin{cases}MN// BP,MP// NB,根据平行四边形定义 \\MN=BP,MP\underline{\underline{//}}BN,平行四边形对边平行且相等\end{cases} \\考查点3:特殊三角形的判定—\begin{cases}△ BCE为等腰三角形,根据BC=CE \\△ BPE为等腰直角三角形,根据∠ BPE=90°,∠ PEB=45°\end{cases} \\考查点4:点到直线距离运用—BP⊥ EP,则BP最小,根据垂线段最短 \\考查点5:直角三角形性质—\begin{cases}CF=\frac{1}{2}CE,EF=\sqrt{3}CF,含30°角的直角三角形三边关系为1:\sqrt{3}:2 \\BP=\frac{\sqrt{2}}{2}BE,等腰直角三角形三边关系为1:1:\sqrt{2}\end{cases}\end{cases}$
答案:根据题意可知:$△ ECD$是顶角为$120°$的等腰三角形,四边形$ABCD$为矩形,所以$∠ ECD=∠ EDC=30°,∠ BCD=90°$,如图,过点$M,B$作$AB,MN$的平行线,作$CF⊥ BE$,所以$MN// BP,MP// NB$,所以四边形$MNBP$是平行四边形,所以$MN=BP$,$∠ PMC=∠ ECD=30°,MP=BN$,因为$EM=BN$,所以$EM=MP$,所以$∠ PEM=∠ EPM=\frac{1}{2}∠ PMC=15°$,所以点$P$在以$E$为顶点,$∠ PEM=15°$的角的一边上运动;当$BP⊥ EP$时,$BP$最小,此时$MN$最小;因为$∠ ECB=∠ BCD+∠ ECD=120°$,$DE=EC=BC=4m,CF⊥ BE$,所以$∠ CEB=30°$,所以$∠ PEB=∠ CEB+∠ PEC=45°$,在$\mathrm{Rt}△ CFE$中,$∠ CEB=30°$,所以$CF=\frac{1}{2}CE=2m,EF=\sqrt{3}CF=2\sqrt{3}m$,在$△ BCE$中,$EC=BC,CF⊥ BE$,所以$BE=2EF=4\sqrt{3}m$;因为$BP⊥ EP,∠ PEB=45°$,所以$△ BEP$为等腰直角三角形,所以$BP=\frac{\sqrt{2}}{2}BE=2\sqrt{6}(\mathrm{m})$,故钢丝绳$MN$长度的最小值为$2\sqrt{6}\mathrm{m}$,故答案为:$2\sqrt{6}$。
答案
根据题意可知:$△ ECD$是顶角为$120°$的等腰三角形,四边形$ABCD$为矩形,所以$∠ ECD=∠ EDC=30°,∠ BCD=90°$,如图,过点$M,B$作$AB,MN$的平行线,作$CF⊥ BE$,所以$MN// BP,MP// NB$,所以四边形$MNBP$是平行四边形,所以$MN=BP$,$∠ PMC=∠ ECD=30°,MP=BN$,因为$EM=BN$,所以$EM=MP$,所以$∠ PEM=∠ EPM=\frac{1}{2}∠ PMC=15°$,所以点$P$在以$E$为顶点,$∠ PEM=15°$的角的一边上运动;当$BP⊥ EP$时,$BP$最小,此时$MN$最小;因为$∠ ECB=∠ BCD+∠ ECD=120°$,$DE=EC=BC=4m,CF⊥ BE$,所以$∠ CEB=30°$,所以$∠ PEB=∠ CEB+∠ PEC=45°$,在$\mathrm{Rt}△ CFE$中,$∠ CEB=30°$,所以$CF=\frac{1}{2}CE=2m,EF=\sqrt{3}CF=2\sqrt{3}m$,在$△ BCE$中,$EC=BC,CF⊥ BE$,所以$BE=2EF=4\sqrt{3}m$;因为$BP⊥ EP,∠ PEB=45°$,所以$△ BEP$为等腰直角三角形,所以$BP=\frac{\sqrt{2}}{2}BE=2\sqrt{6}(\mathrm{m})$,故钢丝绳$MN$长度的最小值为$2\sqrt{6}\mathrm{m}$,故答案为:$2\sqrt{6}$。
