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一、填空题
1. 如图，C，D为线段AB上两点，AB＝9，BD＝7.若D是线段AC的中点，则线段BC的长度为
（第1题）
（第4题）
（第5题）
1. 如图，C，D为线段AB上两点，AB＝9，BD＝7.若D是线段AC的中点，则线段BC的长度为
5
.（第1题）（第4题）（第5题）答案
1. 5
解析
【分析】
解题时先从已知的线段长度入手，先利用线段AB和BD的长度差求出线段AD的长度；再根据D是AC中点的性质，得到AC的长度是AD的2倍，算出AC长；最后用AB的总长度减去AC的长度，即可得到BC的长度。
【解析】
解：已知AB=9，BD=7，
∴AD = AB - BD = 9 - 7 = 2，
∵D是线段AC的中点，
∴AC = 2AD = 2×2 = 4，
∴BC = AB - AC = 9 - 4 = 5。
【答案】
5
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础的线段运算题，解题核心是梳理清楚各线段之间的和差关系，结合中点的性质转化线段倍数关系即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知的线段长度入手，先利用线段AB和BD的长度差求出线段AD的长度；再根据D是AC中点的性质，得到AC的长度是AD的2倍，算出AC长；最后用AB的总长度减去AC的长度，即可得到BC的长度。
【解析】
解：已知AB=9，BD=7，
∴AD = AB - BD = 9 - 7 = 2，
∵D是线段AC的中点，
∴AC = 2AD = 2×2 = 4，
∴BC = AB - AC = 9 - 4 = 5。
【答案】
5
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础的线段运算题，解题核心是梳理清楚各线段之间的和差关系，结合中点的性质转化线段倍数关系即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 在直线$ l $上顺次取$ A,B,C $三点,使得$ AB=2 \ \mathrm{cm},BC=3 \ \mathrm{cm} $.如果$ P $是线段$ AC $的中点,那么线段$ PB $的长度是
0.5
cm.答案
2. 0.5
解析
【分析】
解题时首先根据三点顺次排列的特点，先求出线段AC的总长度，再利用线段中点的定义求出线段AP的长度，最后通过线段的和差关系计算PB的长度即可。
【解析】
解：
∵ A、B、C是直线l上顺次排列的三点
∴ 线段AC的长度为：$AC=AB+BC=2+3=5\ \mathrm{cm}$
∵ P是线段AC的中点
∴ $AP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$
∴ 线段PB的长度为：$PB=AP-AB=2.5-2=0.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
0.5
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是明确顺次线段的长度关系，结合中点性质即可求解，做题时注意不要混淆各线段的位置对应关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据三点顺次排列的特点，先求出线段AC的总长度，再利用线段中点的定义求出线段AP的长度，最后通过线段的和差关系计算PB的长度即可。
【解析】
解：
∵ A、B、C是直线l上顺次排列的三点
∴ 线段AC的长度为：$AC=AB+BC=2+3=5\ \mathrm{cm}$
∵ P是线段AC的中点
∴ $AP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$
∴ 线段PB的长度为：$PB=AP-AB=2.5-2=0.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
0.5
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是明确顺次线段的长度关系，结合中点性质即可求解，做题时注意不要混淆各线段的位置对应关系。
【难度系数】
0.9
3. 已知点 C 在线段 AB 上,AC=4 cm,BC=2 cm,则线段 AB 的长为
6
cm,线段 AC 的中点与BC 的中点之间的距离为 3
cm.答案
3. 6 3
解析
【分析】
解题分为两个部分：第一部分求AB的长度，已知点C在线段AB上，根据线段和的性质，线段AB的长度就是AC与BC的长度之和，直接代入数值计算即可。第二部分求两个中点的距离，先根据线段中点的定义，中点会把对应线段分成等长的两段，分别算出AC中点到点C的距离、BC中点到点C的距离，由于两个中点分别在点C的两侧，两段距离相加就是两个中点之间的距离。
【解析】
1. 计算线段AB的长度：
∵ 点C在线段AB上，
∴ $AB = AC + BC$，
代入$AC=4\mathrm{cm}$，$BC=2\mathrm{cm}$，得$AB=4+2=6\mathrm{cm}$。
2. 计算AC中点与BC中点的距离：
设AC的中点为M，BC的中点为N，
根据线段中点的定义可得：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，
$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$，
∵ 点M、C、N共线，且C在M、N之间，
∴ 两个中点的距离$MN=MC+CN=2+1=3\mathrm{cm}$。
【答案】
6；3
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是明确线段上点的位置关系，结合线段中点的性质进行简单的和差运算，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题分为两个部分：第一部分求AB的长度，已知点C在线段AB上，根据线段和的性质，线段AB的长度就是AC与BC的长度之和，直接代入数值计算即可。第二部分求两个中点的距离，先根据线段中点的定义，中点会把对应线段分成等长的两段，分别算出AC中点到点C的距离、BC中点到点C的距离，由于两个中点分别在点C的两侧，两段距离相加就是两个中点之间的距离。
【解析】
1. 计算线段AB的长度：
∵ 点C在线段AB上，
∴ $AB = AC + BC$，
代入$AC=4\mathrm{cm}$，$BC=2\mathrm{cm}$，得$AB=4+2=6\mathrm{cm}$。
2. 计算AC中点与BC中点的距离：
设AC的中点为M，BC的中点为N，
根据线段中点的定义可得：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，
$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$，
∵ 点M、C、N共线，且C在M、N之间，
∴ 两个中点的距离$MN=MC+CN=2+1=3\mathrm{cm}$。
【答案】
6；3
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是明确线段上点的位置关系，结合线段中点的性质进行简单的和差运算，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图，A是线段BC上一点，BC=3AB，D是线段BC的中点。若线段BC=12，则线段AD的长是
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
解题时先从已知的线段长度和数量关系入手：第一步，根据BC的长度和BC=3AB的倍分关系求出AB的长度；第二步，根据D是BC中点的条件求出BD的长度；第三步，结合点A在线段BC上的位置，可知AD的长度等于BD减去AB，代入数值计算即可。
【解析】
解：已知BC=12，BC=3AB，
∴ AB = BC ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4，
∵ D是线段BC的中点，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
又
∵ 点A在线段BC上，
∴ AD = BD - AB = 6 - 4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
线段中点定义；线段和差运算；线段倍分关系
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的关键是梳理清楚各线段之间的数量关系，结合中点性质和线段的和差倍分规则即可求解。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知的线段长度和数量关系入手：第一步，根据BC的长度和BC=3AB的倍分关系求出AB的长度；第二步，根据D是BC中点的条件求出BD的长度；第三步，结合点A在线段BC上的位置，可知AD的长度等于BD减去AB，代入数值计算即可。
【解析】
解：已知BC=12，BC=3AB，
∴ AB = BC ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4，
∵ D是线段BC的中点，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
又
∵ 点A在线段BC上，
∴ AD = BD - AB = 6 - 4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
线段中点定义；线段和差运算；线段倍分关系
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的关键是梳理清楚各线段之间的数量关系，结合中点性质和线段的和差倍分规则即可求解。
【难度系数】
0.85
5. 易错题 如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12 cm. 若AP：PB=1：3，则这根绳子原来的长度为
16或32
cm.答案
5. 16或32
解析:因为 AP : PB = 1 : 3,AP+PB=AB,所以 $AP=\frac{1}{4}AB,PB=\frac{3}{4}AB$. ① 当“折合点”在点 A 处时,绳子剪断后有 2AP,PB,PB 三段,而 $2AP=2×\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}AB,PB=\frac{3}{4}AB$, 所以2AP＜PB. 所以 $PB=\frac{3}{4}AB=12 \ \mathrm{cm}$, 即 $AB=16 \ \mathrm{cm}$.此时绳子长为 $2AB=32 \ \mathrm{cm}$. ② 当“折合点”在点 B 处时,绳子剪断后有 AP,AP,2PB 三段,而$AP=\frac{1}{4}AB,2PB=2×\frac{3}{4}AB=\frac{3}{2}AB$,所以 AP＜2PB.所以 $2PB=\frac{3}{2}AB=12 \ \mathrm{cm}$, 即 $AB=8 \ \mathrm{cm}$. 此时绳子长为 $2AB=16 \ \mathrm{cm}$. 综上所述,这根绳子原来的长度为 16 cm 或 32 cm.
易错分析
5. 易忽略“折合点”的位置不确定导致漏解.
解析:因为 AP : PB = 1 : 3,AP+PB=AB,所以 $AP=\frac{1}{4}AB,PB=\frac{3}{4}AB$. ① 当“折合点”在点 A 处时,绳子剪断后有 2AP,PB,PB 三段,而 $2AP=2×\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}AB,PB=\frac{3}{4}AB$, 所以2AP＜PB. 所以 $PB=\frac{3}{4}AB=12 \ \mathrm{cm}$, 即 $AB=16 \ \mathrm{cm}$.此时绳子长为 $2AB=32 \ \mathrm{cm}$. ② 当“折合点”在点 B 处时,绳子剪断后有 AP,AP,2PB 三段,而$AP=\frac{1}{4}AB,2PB=2×\frac{3}{4}AB=\frac{3}{2}AB$,所以 AP＜2PB.所以 $2PB=\frac{3}{2}AB=12 \ \mathrm{cm}$, 即 $AB=8 \ \mathrm{cm}$. 此时绳子长为 $2AB=16 \ \mathrm{cm}$. 综上所述,这根绳子原来的长度为 16 cm 或 32 cm.
易错分析
5. 易忽略“折合点”的位置不确定导致漏解.
解析
【分析】
解题时首先明确绳子对折后，原绳长是对折后线段AB长度的2倍。由于题目未说明对折的折合点位置，需分两种情况讨论：①折合点在A端；②折合点在B端。再结合AP:PB=1:3的比例关系，分别求出两种情形下剪断后最长线段对应AB的占比，结合最长段为12cm的条件求出AB长度，进而得到原绳长，注意不要漏算任意一种情形。
【解析】
已知AP:PB=1:3，且AP+PB=AB，因此可得$AP=\frac{1}{1+3}AB=\frac{1}{4}AB$，$PB=\frac{3}{1+3}AB=\frac{3}{4}AB$。
分两种情况讨论：
① 当折合点在点A处时，剪断后的绳子分为2AP、PB、PB三段：
计算得$2AP=2×\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}AB$，对比得$\frac{1}{2}AB＜\frac{3}{4}AB$，即最长段为PB。
由题意得$PB=\frac{3}{4}AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=16\ \mathrm{cm}$，因此原绳长为$2AB=2×16=32\ \mathrm{cm}$。
② 当折合点在点B处时，剪断后的绳子分为AP、AP、2PB三段：
计算得$2PB=2×\frac{3}{4}AB=\frac{3}{2}AB$，对比得$\frac{1}{4}AB＜\frac{3}{2}AB$，即最长段为2PB。
由题意得$2PB=\frac{3}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=8\ \mathrm{cm}$，因此原绳长为$2AB=2×8=16\ \mathrm{cm}$。
综上，绳子原长为16cm或32cm。
【答案】
16或32
【知识点】
线段和差计算，比例应用，分类讨论
【点评】
本题属于易错题，解题的核心是注意对折后折合点的位置存在两种可能性，容易因漏考虑某一种情形导致漏解；解题时需结合比例关系判断不同情形下的最长线段，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确绳子对折后，原绳长是对折后线段AB长度的2倍。由于题目未说明对折的折合点位置，需分两种情况讨论：①折合点在A端；②折合点在B端。再结合AP:PB=1:3的比例关系，分别求出两种情形下剪断后最长线段对应AB的占比，结合最长段为12cm的条件求出AB长度，进而得到原绳长，注意不要漏算任意一种情形。
【解析】
已知AP:PB=1:3，且AP+PB=AB，因此可得$AP=\frac{1}{1+3}AB=\frac{1}{4}AB$，$PB=\frac{3}{1+3}AB=\frac{3}{4}AB$。
分两种情况讨论：
① 当折合点在点A处时，剪断后的绳子分为2AP、PB、PB三段：
计算得$2AP=2×\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}AB$，对比得$\frac{1}{2}AB＜\frac{3}{4}AB$，即最长段为PB。
由题意得$PB=\frac{3}{4}AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=16\ \mathrm{cm}$，因此原绳长为$2AB=2×16=32\ \mathrm{cm}$。
② 当折合点在点B处时，剪断后的绳子分为AP、AP、2PB三段：
计算得$2PB=2×\frac{3}{4}AB=\frac{3}{2}AB$，对比得$\frac{1}{4}AB＜\frac{3}{2}AB$，即最长段为2PB。
由题意得$2PB=\frac{3}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=8\ \mathrm{cm}$，因此原绳长为$2AB=2×8=16\ \mathrm{cm}$。
综上，绳子原长为16cm或32cm。
【答案】
16或32
【知识点】
线段和差计算，比例应用，分类讨论
【点评】
本题属于易错题，解题的核心是注意对折后折合点的位置存在两种可能性，容易因漏考虑某一种情形导致漏解；解题时需结合比例关系判断不同情形下的最长线段，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.6
二、解答题
6. 如图，B是线段AC上一点，E是线段BC的中点，BE=$\frac{1}{5}AC$，BE=2 cm. 求线段AB的长度.
6. 如图，B是线段AC上一点，E是线段BC的中点，BE=$\frac{1}{5}AC$，BE=2 cm. 求线段AB的长度.
答案
6. 因为 E 是线段 BC 的中点,BE=2 cm,所以 CE=BE=2 cm. 所以 BC = BE+CE = 4 cm. 因为 $BE=\frac{1}{5}AC$,所以 AC = 5BE = 10 cm. 所以 AB = AC-BC = 10-4 = 6( cm ),即 AB 的长度为 6 cm
解析
【分析】
解题时可按三步思路推导：第一步，先利用线段中点的性质，结合已知的BE长度求出BC的总长度；第二步，根据BE与AC的比例关系，计算出线段AC的总长度；第三步，结合图形中线段的和差关系，用AC长度减去BC长度，即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ E是线段BC的中点，BE=2 cm，
∴ CE=BE=2 cm，
∴ BC=BE+CE=2+2=4 cm。
∵ $BE=\frac{1}{5}AC$，BE=2 cm，
∴ AC=5BE=5×2=10 cm。
又
∵ AC=AB+BC，
∴ AB=AC-BC=10-4=6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
线段中点性质、线段和差计算、比例运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心是结合线段中点性质、已知比例关系和线段和差规律逐步推导，掌握基础概念和运算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思路推导：第一步，先利用线段中点的性质，结合已知的BE长度求出BC的总长度；第二步，根据BE与AC的比例关系，计算出线段AC的总长度；第三步，结合图形中线段的和差关系，用AC长度减去BC长度，即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ E是线段BC的中点，BE=2 cm，
∴ CE=BE=2 cm，
∴ BC=BE+CE=2+2=4 cm。
∵ $BE=\frac{1}{5}AC$，BE=2 cm，
∴ AC=5BE=5×2=10 cm。
又
∵ AC=AB+BC，
∴ AB=AC-BC=10-4=6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
线段中点性质、线段和差计算、比例运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心是结合线段中点性质、已知比例关系和线段和差规律逐步推导，掌握基础概念和运算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，C是线段AB上一点，且$BC=\frac{2}{5}AB$，M，N分别是线段AC，AB的中点.
（1）若$AC=18$，求线段MN的长；
（2）若$NC=4$，求线段MB的长.
（1）若$AC=18$，求线段MN的长；
（2）若$NC=4$，求线段MB的长.
答案
7. (1) 由 $BC=\frac{2}{5}AB$,得 $AC=AB-BC=\frac{3}{5}AB$. 因为 AC=18,所以 $AB=\frac{5}{3}AC=30$. 因为 N 是 AB 的中点,所以 $AN=\frac{1}{2}AB=15$. 因为 M 是 AC 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AC=9$. 所以 MN = AN-AM = 15-9 = 6
(2) 因为 N 是 AB 的中点,所以 $NB=\frac{1}{2}AB$. 由 $NC=NB-BC=\frac{1}{2}AB-\frac{2}{5}AB=\frac{1}{10}AB=4$,得 AB=40,所以 $AC=\frac{3}{5}AB=24$. 因为 M 是 AC 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AC=12$. 所以 MB = AB-AM = 40-12 = 28
(2) 因为 N 是 AB 的中点,所以 $NB=\frac{1}{2}AB$. 由 $NC=NB-BC=\frac{1}{2}AB-\frac{2}{5}AB=\frac{1}{10}AB=4$,得 AB=40,所以 $AC=\frac{3}{5}AB=24$. 因为 M 是 AC 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AC=12$. 所以 MB = AB-AM = 40-12 = 28
解析
【分析】
解决这类线段计算问题，核心是先梳理各线段之间的比例关系，再结合中点的性质将未知线段用已知量或同一基准线段表示：
（1）首先由$BC=\frac{2}{5}AB$推导AC占AB的比例，代入AC=18即可求出AB的总长；再根据M、N分别是AC、AB中点的性质，分别求出AM、AN的长度，最后用AN减去AM就能得到MN的长。
（2）先将NC转化为NB与BC的差，结合N是AB中点可知$NB=\frac{1}{2}AB$，代入BC和AB的比例关系，可得到NC与AB的比例，结合NC=4求出AB的总长；再求出AC的长度，利用M是AC中点得到AM的长度，最后用AB减去AM即可得到MB的长。
【解析】
（1）由$BC=\frac{2}{5}AB$，可得：
$AC=AB-BC=AB-\frac{2}{5}AB=\frac{3}{5}AB$
已知$AC=18$，代入得：
$AB=\frac{5}{3}AC=\frac{5}{3}×18=30$
因为N是AB的中点，所以$AN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15$
因为M是AC的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×18=9$
因此$MN=AN-AM=15-9=6$
（2）因为N是AB的中点，所以$NB=\frac{1}{2}AB$
由线段差可得$NC=NB-BC$，代入$BC=\frac{2}{5}AB$得：
$NC=\frac{1}{2}AB-\frac{2}{5}AB=\frac{5}{10}AB-\frac{4}{10}AB=\frac{1}{10}AB$
已知$NC=4$，所以$\frac{1}{10}AB=4$，解得$AB=40$
则$AC=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}×40=24$
因为M是AC的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$
因此$MB=AB-AM=40-12=28$
【答案】
（1）$\boxed{6}$；（2）$\boxed{28}$
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差运算、线段比例计算
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，解题的关键是找准各线段之间的数量关系，灵活运用中点性质将未知线段转化为已知线段的和差或比例形式，逐步推导即可求解，侧重对基础运算能力和逻辑推导能力的考察。
【难度系数】
0.8
解决这类线段计算问题，核心是先梳理各线段之间的比例关系，再结合中点的性质将未知线段用已知量或同一基准线段表示：
（1）首先由$BC=\frac{2}{5}AB$推导AC占AB的比例，代入AC=18即可求出AB的总长；再根据M、N分别是AC、AB中点的性质，分别求出AM、AN的长度，最后用AN减去AM就能得到MN的长。
（2）先将NC转化为NB与BC的差，结合N是AB中点可知$NB=\frac{1}{2}AB$，代入BC和AB的比例关系，可得到NC与AB的比例，结合NC=4求出AB的总长；再求出AC的长度，利用M是AC中点得到AM的长度，最后用AB减去AM即可得到MB的长。
【解析】
（1）由$BC=\frac{2}{5}AB$，可得：
$AC=AB-BC=AB-\frac{2}{5}AB=\frac{3}{5}AB$
已知$AC=18$，代入得：
$AB=\frac{5}{3}AC=\frac{5}{3}×18=30$
因为N是AB的中点，所以$AN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15$
因为M是AC的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×18=9$
因此$MN=AN-AM=15-9=6$
（2）因为N是AB的中点，所以$NB=\frac{1}{2}AB$
由线段差可得$NC=NB-BC$，代入$BC=\frac{2}{5}AB$得：
$NC=\frac{1}{2}AB-\frac{2}{5}AB=\frac{5}{10}AB-\frac{4}{10}AB=\frac{1}{10}AB$
已知$NC=4$，所以$\frac{1}{10}AB=4$，解得$AB=40$
则$AC=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}×40=24$
因为M是AC的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$
因此$MB=AB-AM=40-12=28$
【答案】
（1）$\boxed{6}$；（2）$\boxed{28}$
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差运算、线段比例计算
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，解题的关键是找准各线段之间的数量关系，灵活运用中点性质将未知线段转化为已知线段的和差或比例形式，逐步推导即可求解，侧重对基础运算能力和逻辑推导能力的考察。
【难度系数】
0.8
