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10. 如图，已知$AB// CD$，$EF⊥ AB$于点E，$∠ AEH=∠ FGH=20°$，$∠ H=50°$，则$∠ EFG$的度数是。
答案
$\boldsymbol{140°}$
解析
【分析】
本题考查平行线的性质、垂直的定义和直角三角形的性质，解题思路如下：首先，由$AB// CD$，$EF⊥ AB$，可得$EF$垂直$CD$，因此可延长$EF$交$CD$于点$M$，得到直角$△ FMG$；接着过点$H$作平行于$AB$的辅助线，利用平行线的内错角相等求出$∠ HGC$的度数，再结合已知的$∠ FGH$求出$Rt△ FMG$中锐角$∠ FGM$的度数；最后根据直角三角形两锐角互余求出$∠ MFG$，利用平角的定义即可求出$∠ EFG$的度数。
【解析】
解：延长$EF$交$CD$于点$M$，过点$H$作$HN// AB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore HN// AB// CD$（平行线的传递性），
又$\because EF⊥ AB$，
$\therefore EM⊥ CD$，即$∠ EMG=90°$（垂直的定义）。
1. 求$∠ HGC$：
$\because HN// AB$，
$\therefore ∠ AEH=∠ EHN=20°$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ EHG=50°$，
$\therefore ∠ GHN=∠ EHG-∠ EHN=50°-20°=30°$，
$\because HN// CD$，
$\therefore ∠ GHN=∠ HGC=30°$（两直线平行，内错角相等）。
2. 求$∠ FGM$：
$\because ∠ FGH=20°$，
$\therefore ∠ FGM=∠ HGC+∠ FGH=30°+20°=50°$。
3. 求$∠ EFG$：
在$Rt△ FMG$中，$∠ MFG=90°-∠ FGM=90°-50°=40°$（直角三角形两锐角互余），
$\because E、F、M$三点共线，
$\therefore ∠ EFG=180°-∠ MFG=180°-40°=140°$。
【答案】
$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题属于平行线与角度计算的综合中档题，解题的关键是通过作辅助线构造平行关系和直角三角形，将分散的已知角转化到同一图形中建立联系，熟练掌握平行线的角度关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
本题考查平行线的性质、垂直的定义和直角三角形的性质，解题思路如下：首先，由$AB// CD$，$EF⊥ AB$，可得$EF$垂直$CD$，因此可延长$EF$交$CD$于点$M$，得到直角$△ FMG$；接着过点$H$作平行于$AB$的辅助线，利用平行线的内错角相等求出$∠ HGC$的度数，再结合已知的$∠ FGH$求出$Rt△ FMG$中锐角$∠ FGM$的度数；最后根据直角三角形两锐角互余求出$∠ MFG$，利用平角的定义即可求出$∠ EFG$的度数。
【解析】
解：延长$EF$交$CD$于点$M$，过点$H$作$HN// AB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore HN// AB// CD$（平行线的传递性），
又$\because EF⊥ AB$，
$\therefore EM⊥ CD$，即$∠ EMG=90°$（垂直的定义）。
1. 求$∠ HGC$：
$\because HN// AB$，
$\therefore ∠ AEH=∠ EHN=20°$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ EHG=50°$，
$\therefore ∠ GHN=∠ EHG-∠ EHN=50°-20°=30°$，
$\because HN// CD$，
$\therefore ∠ GHN=∠ HGC=30°$（两直线平行，内错角相等）。
2. 求$∠ FGM$：
$\because ∠ FGH=20°$，
$\therefore ∠ FGM=∠ HGC+∠ FGH=30°+20°=50°$。
3. 求$∠ EFG$：
在$Rt△ FMG$中，$∠ MFG=90°-∠ FGM=90°-50°=40°$（直角三角形两锐角互余），
$\because E、F、M$三点共线，
$\therefore ∠ EFG=180°-∠ MFG=180°-40°=140°$。
【答案】
$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题属于平行线与角度计算的综合中档题，解题的关键是通过作辅助线构造平行关系和直角三角形，将分散的已知角转化到同一图形中建立联系，熟练掌握平行线的角度关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
11. 如图,已知$AB// CD$,AE和CF分别平分$∠ BAF$和$∠ DCE$,若$∠ AEC=57°,∠ AFC=63°$,则$∠ BAF$的度数为.
答案
$\boldsymbol{46°}$
解析
【分析】
观察图形可知AB平行CD，存在E、F两个拐点，可利用平行线“拐角模型”求解：过拐点作AB的平行线，根据平行线内错角相等转化角的关系。已知AE、CF分别是对应角的平分线，我们可以设角平分线分出的小角为未知数，结合已知∠AEC和∠AFC的度数列方程组，求解后即可得到∠BAF的度数。
【解析】
解：设$∠ BAE=∠ EAF=x$，$∠ DCF=∠ FCE=y$。
∵AE平分$∠ BAF$，CF平分$∠ DCE$，
∴$∠ BAF=2x$，$∠ DCE=2y$。
分别过点E、F作AB的平行线EM、FN，
∵$AB// CD$，
∴$AB// EM// FN// CD$。
根据平行线内错角相等的性质：
$∠ BAE=∠ AEM=x$，$∠ DCE=∠ CEM=2y$，
∴$∠ AEC=∠ AEM+∠ CEM=x+2y=57°$ ①；
同理可得：$∠ BAF=∠ AFN=2x$，$∠ DCF=∠ CFN=y$，
∴$∠ AFC=∠ AFN+∠ CFN=2x+y=63°$ ②。
联立①②得到方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 57 \\2x + y = 63\end{cases}$
将两个方程相加得：$3x+3y=120$，化简得$x+y=40$ ③，
用②减去③得：$x=23°$，
∴$∠ BAF=2x=2×23°=46°$。
【答案】
$\boldsymbol{46°}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，二元一次方程组的应用
【点评】
本题是平行线角度计算的典型题型，将拐角模型和角平分线、方程组结合考查，解题关键是熟练掌握平行线拐角模型的角的数量关系，通过设参数简化计算。
【难度系数】
0.6
观察图形可知AB平行CD，存在E、F两个拐点，可利用平行线“拐角模型”求解：过拐点作AB的平行线，根据平行线内错角相等转化角的关系。已知AE、CF分别是对应角的平分线，我们可以设角平分线分出的小角为未知数，结合已知∠AEC和∠AFC的度数列方程组，求解后即可得到∠BAF的度数。
【解析】
解：设$∠ BAE=∠ EAF=x$，$∠ DCF=∠ FCE=y$。
∵AE平分$∠ BAF$，CF平分$∠ DCE$，
∴$∠ BAF=2x$，$∠ DCE=2y$。
分别过点E、F作AB的平行线EM、FN，
∵$AB// CD$，
∴$AB// EM// FN// CD$。
根据平行线内错角相等的性质：
$∠ BAE=∠ AEM=x$，$∠ DCE=∠ CEM=2y$，
∴$∠ AEC=∠ AEM+∠ CEM=x+2y=57°$ ①；
同理可得：$∠ BAF=∠ AFN=2x$，$∠ DCF=∠ CFN=y$，
∴$∠ AFC=∠ AFN+∠ CFN=2x+y=63°$ ②。
联立①②得到方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 57 \\2x + y = 63\end{cases}$
将两个方程相加得：$3x+3y=120$，化简得$x+y=40$ ③，
用②减去③得：$x=23°$，
∴$∠ BAF=2x=2×23°=46°$。
【答案】
$\boldsymbol{46°}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，二元一次方程组的应用
【点评】
本题是平行线角度计算的典型题型，将拐角模型和角平分线、方程组结合考查，解题关键是熟练掌握平行线拐角模型的角的数量关系，通过设参数简化计算。
【难度系数】
0.6
12.【问题提出】如图①,∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行,边BE与CE交于点E.若∠ABE=140°,∠DCE=120°,求∠BEC的度数.
【问题解决】请你完成下面的求解过程.
解:如图②,过点E作EF//AB.
所以∠BEF+∠ABE=180°().
因为∠ABE=140°,
所以∠BEF=180°−∠ABE=180°−140°=40°.
因为AB//CD,
所以EF//CD().
所以∠CEF+()=180°.
因为∠DCE=120°,
所以∠CEF=180°−∠DCE=180°−120°=60°.
所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=()°.
【迁移应用】如图③,D,E分别是∠ABC边AB,BC上的点,在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC,AB于点F,G.P是线段DG上一点,连接PE,PF.若∠DEP=40°,∠GFP=30°,求∠EPF的度数.
【问题解决】请你完成下面的求解过程.
解:如图②,过点E作EF//AB.
所以∠BEF+∠ABE=180°().
因为∠ABE=140°,
所以∠BEF=180°−∠ABE=180°−140°=40°.
因为AB//CD,
所以EF//CD().
所以∠CEF+()=180°.
因为∠DCE=120°,
所以∠CEF=180°−∠DCE=180°−120°=60°.
所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=()°.
【迁移应用】如图③,D,E分别是∠ABC边AB,BC上的点,在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC,AB于点F,G.P是线段DG上一点,连接PE,PF.若∠DEP=40°,∠GFP=30°,求∠EPF的度数.
答案
解:如图②,过点E作EF//AB.
所以∠BEF+∠ABE=180°(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠ABE=140°,
所以∠BEF=180°−∠ABE=180°−140°=40°.
因为AB//CD,
所以EF//CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
所以∠CEF+∠DCE=180°.
因为∠DCE=120°,
所以∠CEF=180°−∠DCE=180°−120°=60°.
所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=100°.
【迁移应用】
解：过点P作PH//DE。
由题意得FG//DE，
所以PH//FG（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以∠EPH=∠DEP=40°（两直线平行，内错角相等），
∠FPH=∠GFP=30°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠EPF=∠EPH+∠FPH=40°+30°=70°。
答：∠EPF的度数为70°。
所以∠BEF+∠ABE=180°(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠ABE=140°,
所以∠BEF=180°−∠ABE=180°−140°=40°.
因为AB//CD,
所以EF//CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
所以∠CEF+∠DCE=180°.
因为∠DCE=120°,
所以∠CEF=180°−∠DCE=180°−120°=60°.
所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=100°.
【迁移应用】
解：过点P作PH//DE。
由题意得FG//DE，
所以PH//FG（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以∠EPH=∠DEP=40°（两直线平行，内错角相等），
∠FPH=∠GFP=30°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠EPF=∠EPH+∠FPH=40°+30°=70°。
答：∠EPF的度数为70°。
解析
【分析】
本题属于平行线间的拐点类问题，解题核心是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角度关系求解。
问题解决部分：已知AB//CD，要求∠BEC，过E作EF//AB，首先根据两直线平行同旁内角互补求出∠BEF，再根据平行公理的推论得到EF//CD，再次用同旁内角互补求出∠CEF，两角相加即得∠BEC的度数。
迁移应用部分：类比上述方法，过P作PH//DE，结合DE//FG可得PH//FG，利用两直线平行内错角相等，分别得到∠EPH与∠DEP相等、∠FPH与∠GFP相等，两角相加即可得到∠EPF的度数。
【解析】
问题解决
如图②，过点E作EF//AB。
所以∠BEF+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
因为∠ABE=140°，
所以∠BEF=180°−∠ABE=180°−140°=40°。
因为AB//CD，
所以EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以∠CEF+∠DCE=180°。
因为∠DCE=120°，
所以∠CEF=180°−∠DCE=180°−120°=60°。
所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=100°。
迁移应用
过点P作PH//DE。
由题意得FG//DE，
所以PH//FG（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以∠EPH=∠DEP=40°（两直线平行，内错角相等），
∠FPH=∠GFP=30°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠EPF=∠EPH+∠FPH=40°+30°=70°。
【答案】
问题解决：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠DCE；100
迁移应用：∠EPF的度数为70°
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常见题型，重点考查拐点类问题的辅助线作法，通过作平行线将未知角拆解为已知角的和，解题思路通用性强，熟练掌握该方法可快速解决同类角度求解问题。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间的拐点类问题，解题核心是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角度关系求解。
问题解决部分：已知AB//CD，要求∠BEC，过E作EF//AB，首先根据两直线平行同旁内角互补求出∠BEF，再根据平行公理的推论得到EF//CD，再次用同旁内角互补求出∠CEF，两角相加即得∠BEC的度数。
迁移应用部分：类比上述方法，过P作PH//DE，结合DE//FG可得PH//FG，利用两直线平行内错角相等，分别得到∠EPH与∠DEP相等、∠FPH与∠GFP相等，两角相加即可得到∠EPF的度数。
【解析】
问题解决
如图②，过点E作EF//AB。
所以∠BEF+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
因为∠ABE=140°，
所以∠BEF=180°−∠ABE=180°−140°=40°。
因为AB//CD，
所以EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以∠CEF+∠DCE=180°。
因为∠DCE=120°，
所以∠CEF=180°−∠DCE=180°−120°=60°。
所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=100°。
迁移应用
过点P作PH//DE。
由题意得FG//DE，
所以PH//FG（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
所以∠EPH=∠DEP=40°（两直线平行，内错角相等），
∠FPH=∠GFP=30°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠EPF=∠EPH+∠FPH=40°+30°=70°。
【答案】
问题解决：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠DCE；100
迁移应用：∠EPF的度数为70°
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常见题型，重点考查拐点类问题的辅助线作法，通过作平行线将未知角拆解为已知角的和，解题思路通用性强，熟练掌握该方法可快速解决同类角度求解问题。
【难度系数】
0.7
