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5.有人说“数学是思维的体操”,运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝.阅读下面的例题及其解答过程:
例:解方程$x^2 - 2|x| - 3 = 0$.
解:①当$x≥0$时,原方程为$x^2 - 2x - 3 = 0$,
解得$x=-1$(与$x≥0$矛盾,舍去)或$x=3$;
②当$x＜0$时,原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$,
解得$x=1$(与$x＜0$矛盾,舍去)或$x=-3$.
所以原方程的根是$x_1=3,x_2=-3$.
在上面的解答过程中,我们对$x$进行讨论,从而去掉绝对值符号.这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论.
请仿照上述例题的解答过程,解方程:$x^2 - x - |x - 1| - 1 = 0$.
例:解方程$x^2 - 2|x| - 3 = 0$.
解:①当$x≥0$时,原方程为$x^2 - 2x - 3 = 0$,
解得$x=-1$(与$x≥0$矛盾,舍去)或$x=3$;
②当$x＜0$时,原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$,
解得$x=1$(与$x＜0$矛盾,舍去)或$x=-3$.
所以原方程的根是$x_1=3,x_2=-3$.
在上面的解答过程中,我们对$x$进行讨论,从而去掉绝对值符号.这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论.
请仿照上述例题的解答过程,解方程:$x^2 - x - |x - 1| - 1 = 0$.
答案
当$x-1\ge0$,即$x\ge1$时,
原方程可化为$x^2-2x=0$,
解得$x=0$(与$x\ge1$矛盾,舍去)或$x=2$;
当$x-1＜0$,即$x＜1$时,
原方程可化为$x^2-2=0$,
解得$x=\sqrt{2}$(与$x＜1$矛盾,舍去)或$x=-\sqrt{2}$.
$\therefore$ 原方程的解是$x_1=2,x_2=-\sqrt{2}$.
原方程可化为$x^2-2x=0$,
解得$x=0$(与$x\ge1$矛盾,舍去)或$x=2$;
当$x-1＜0$,即$x＜1$时,
原方程可化为$x^2-2=0$,
解得$x=\sqrt{2}$(与$x＜1$矛盾,舍去)或$x=-\sqrt{2}$.
$\therefore$ 原方程的解是$x_1=2,x_2=-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是含绝对值的一元二次方程求解问题，解题核心是运用分类讨论思想去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内表达式$x-1$的正负分界点$x=1$，分$x≥1$和$x＜1$两种情况讨论：①每种情况先根据绝对值的性质去掉绝对值，将原方程化为不含绝对值的一元二次方程；②解一元二次方程得到根后，检验根是否符合当前分类的$x$的取值范围，不符合的舍去；③最后汇总两种情况符合要求的根，即为原方程的解。
【解析】
解：①当$x-1\ge0$，即$x\ge1$时，$|x-1|=x-1$，
原方程可化为：$x^2 - x - (x-1) - 1 = 0$，
整理得$x^2 - 2x = 0$，
解得$x=0$（与$x\ge1$矛盾，舍去）或$x=2$；
②当$x-1＜0$，即$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，
原方程可化为：$x^2 - x - (1-x) - 1 = 0$，
整理得$x^2 - 2 = 0$，
解得$x=\sqrt{2}$（与$x＜1$矛盾，舍去）或$x=-\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
分类讨论思想、绝对值的性质、一元二次方程的解法
【点评】
本题是分类讨论思想在解方程中的典型应用，解题的关键是找准绝对值的正负分界点准确分类，去掉绝对值符号后转化为常规一元二次方程求解，注意求出根后必须验证是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题是含绝对值的一元二次方程求解问题，解题核心是运用分类讨论思想去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内表达式$x-1$的正负分界点$x=1$，分$x≥1$和$x＜1$两种情况讨论：①每种情况先根据绝对值的性质去掉绝对值，将原方程化为不含绝对值的一元二次方程；②解一元二次方程得到根后，检验根是否符合当前分类的$x$的取值范围，不符合的舍去；③最后汇总两种情况符合要求的根，即为原方程的解。
【解析】
解：①当$x-1\ge0$，即$x\ge1$时，$|x-1|=x-1$，
原方程可化为：$x^2 - x - (x-1) - 1 = 0$，
整理得$x^2 - 2x = 0$，
解得$x=0$（与$x\ge1$矛盾，舍去）或$x=2$；
②当$x-1＜0$，即$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，
原方程可化为：$x^2 - x - (1-x) - 1 = 0$，
整理得$x^2 - 2 = 0$，
解得$x=\sqrt{2}$（与$x＜1$矛盾，舍去）或$x=-\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
分类讨论思想、绝对值的性质、一元二次方程的解法
【点评】
本题是分类讨论思想在解方程中的典型应用，解题的关键是找准绝对值的正负分界点准确分类，去掉绝对值符号后转化为常规一元二次方程求解，注意求出根后必须验证是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
6.「2026广东中山月考改编」阅读材料：
为解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$,我们可以将$(x^2 -1)$视为一个整体,然后设$x^2 -1=y$,则$(x^2 -1)^2=y^2$,原方程可化为$y^2 -5y+4=0$,①
解得$y_1=4,y_2=1$.
当$y=4$时,$x^2 -1=4,\therefore x^2=5,\therefore x=\pm\sqrt{5}$.
当$y=1$时,$x^2 -1=1,\therefore x^2=2,\therefore x=\pm\sqrt{2}$.
$\therefore$原方程的解为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$.
以上方法就叫换元法,体现了转化的思想.
请仿照材料解决问题:
(1)解方程:$(x^2 -2x)^2 -5x^2 +10x -6=0$.
(2)若四个连续正整数的积为120,求出这四个连续的正整数.
为解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$,我们可以将$(x^2 -1)$视为一个整体,然后设$x^2 -1=y$,则$(x^2 -1)^2=y^2$,原方程可化为$y^2 -5y+4=0$,①
解得$y_1=4,y_2=1$.
当$y=4$时,$x^2 -1=4,\therefore x^2=5,\therefore x=\pm\sqrt{5}$.
当$y=1$时,$x^2 -1=1,\therefore x^2=2,\therefore x=\pm\sqrt{2}$.
$\therefore$原方程的解为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$.
以上方法就叫换元法,体现了转化的思想.
请仿照材料解决问题:
(1)解方程:$(x^2 -2x)^2 -5x^2 +10x -6=0$.
(2)若四个连续正整数的积为120,求出这四个连续的正整数.
答案
(1)原方程整理得$(x^2-2x)^2-5(x^2-2x)-6=0$,
设$y=x^2-2x$,
则原方程可化为$y^2-5y-6=0$,
因式分解得$(y-6)(y+1)=0$,
解得$y_1=6,y_2=-1$,
当$y=6$时,$x^2-2x=6$,配方,得$(x-1)^2=7$,
解得$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$,
当$y=-1$时,$x^2-2x=-1$,配方,得$(x-1)^2=0$,
解得$x_3=x_4=1$,
$\therefore$ 原方程的解为$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7},x_3=x_4=1$.
(2)设最小数为$x$,
由题意得$x(x+1)(x+2)(x+3)=120$,
即$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=120$,
设$x^2+3x=y$,则$y(y+2)=120$,即$y^2+2y-120=0$,
因式分解得$(y+12)(y-10)=0$,
$\therefore y_1=-12,y_2=10$,
$\because x$ 为正整数,$\therefore x^2+3x=10$,
因式分解得$(x-2)(x+5)=0$,
解得$x_1=2,x_2=-5$(舍去).
$\therefore$ 这四个整数为2,3,4,5.
设$y=x^2-2x$,
则原方程可化为$y^2-5y-6=0$,
因式分解得$(y-6)(y+1)=0$,
解得$y_1=6,y_2=-1$,
当$y=6$时,$x^2-2x=6$,配方,得$(x-1)^2=7$,
解得$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$,
当$y=-1$时,$x^2-2x=-1$,配方,得$(x-1)^2=0$,
解得$x_3=x_4=1$,
$\therefore$ 原方程的解为$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7},x_3=x_4=1$.
(2)设最小数为$x$,
由题意得$x(x+1)(x+2)(x+3)=120$,
即$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=120$,
设$x^2+3x=y$,则$y(y+2)=120$,即$y^2+2y-120=0$,
因式分解得$(y+12)(y-10)=0$,
$\therefore y_1=-12,y_2=10$,
$\because x$ 为正整数,$\therefore x^2+3x=10$,
因式分解得$(x-2)(x+5)=0$,
解得$x_1=2,x_2=-5$(舍去).
$\therefore$ 这四个整数为2,3,4,5.
解析
【分析】
(1) 观察待解方程的结构，先将方程中的$-5x^2+10x$提取公因式变形为$-5(x^2-2x)$，此时方程出现$(x^2-2x)$的整体项，可采用换元法降次：设$y=x^2-2x$，将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，求解$y$后再代回$y=x^2-2x$求解$x$即可。
(2) 设四个连续正整数中最小的数为$x$，则四个数依次为$x、x+1、x+2、x+3$，将首尾两项、中间两项分别相乘，可得到含$(x^2+3x)$的整体式子，再采用换元法转化为一元二次方程求解，最后结合$x$是正整数的条件舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
(1) 原方程整理得$(x^2-2x)^2-5(x^2-2x)-6=0$，
设$y=x^2-2x$，
则原方程可化为$y^2-5y-6=0$，
因式分解得$(y-6)(y+1)=0$，
解得$y_1=6,y_2=-1$，
当$y=6$时，$x^2-2x=6$，配方得$(x-1)^2=7$，
解得$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$，
当$y=-1$时，$x^2-2x=-1$，配方得$(x-1)^2=0$，
解得$x_3=x_4=1$。
(2) 设最小的正整数为$x$，
由题意得$x(x+1)(x+2)(x+3)=120$，
即$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=120$，
设$x^2+3x=y$，则$y(y+2)=120$，即$y^2+2y-120=0$，
因式分解得$(y+12)(y-10)=0$，
$\therefore y_1=-12,y_2=10$，
$\because x$为正整数，$\therefore x^2+3x=10$，
因式分解得$(x-2)(x+5)=0$，
解得$x_1=2,x_2=-5$(舍去)，
则其余三个数分别为$2+1=3,2+2=4,2+3=5$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7},x_3=x_4=1$
(2) 四个连续正整数为2,3,4,5
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解法、一元二次方程的应用
【点评】
本题重点考查换元法的应用，通过换元可将高次方程转化为熟悉的一元二次方程，有效简化计算难度，解题时需注意结合题目隐含条件（如正整数要求）对所求的根进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
(1) 观察待解方程的结构，先将方程中的$-5x^2+10x$提取公因式变形为$-5(x^2-2x)$，此时方程出现$(x^2-2x)$的整体项，可采用换元法降次：设$y=x^2-2x$，将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，求解$y$后再代回$y=x^2-2x$求解$x$即可。
(2) 设四个连续正整数中最小的数为$x$，则四个数依次为$x、x+1、x+2、x+3$，将首尾两项、中间两项分别相乘，可得到含$(x^2+3x)$的整体式子，再采用换元法转化为一元二次方程求解，最后结合$x$是正整数的条件舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
(1) 原方程整理得$(x^2-2x)^2-5(x^2-2x)-6=0$，
设$y=x^2-2x$，
则原方程可化为$y^2-5y-6=0$，
因式分解得$(y-6)(y+1)=0$，
解得$y_1=6,y_2=-1$，
当$y=6$时，$x^2-2x=6$，配方得$(x-1)^2=7$，
解得$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$，
当$y=-1$时，$x^2-2x=-1$，配方得$(x-1)^2=0$，
解得$x_3=x_4=1$。
(2) 设最小的正整数为$x$，
由题意得$x(x+1)(x+2)(x+3)=120$，
即$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=120$，
设$x^2+3x=y$，则$y(y+2)=120$，即$y^2+2y-120=0$，
因式分解得$(y+12)(y-10)=0$，
$\therefore y_1=-12,y_2=10$，
$\because x$为正整数，$\therefore x^2+3x=10$，
因式分解得$(x-2)(x+5)=0$，
解得$x_1=2,x_2=-5$(舍去)，
则其余三个数分别为$2+1=3,2+2=4,2+3=5$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7},x_3=x_4=1$
(2) 四个连续正整数为2,3,4,5
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解法、一元二次方程的应用
【点评】
本题重点考查换元法的应用，通过换元可将高次方程转化为熟悉的一元二次方程，有效简化计算难度，解题时需注意结合题目隐含条件（如正整数要求）对所求的根进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
