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1.已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = -3, \\x + 2y = -1,\end{cases}$则$x - y$的值为（ ）
A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
答案
1.B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：一是先利用加减消元法或代入消元法解出二元一次方程组中x、y的具体值，再代入计算x-y；二是观察两个方程的系数特征，发现将两个方程左右两边直接相减，即可直接得到x-y的表达式，无需单独求解x、y，计算更简便。
【解析】
解法1（整体法）：
记$\begin{cases}2x + y = -3&① \\x + 2y = -1&②\end{cases}$
用①式减去②式，左右两边分别相减得：
$(2x + y) - (x + 2y) = -3 - (-1)$
左边化简：$2x + y - x - 2y = x - y$
右边计算：$-3 + 1 = -2$
因此$x - y = -2$
解法2（常规消元法）：
记$\begin{cases}2x + y = -3&① \\x + 2y = -1&②\end{cases}$
①×2得：$4x + 2y = -6$ ③
③-②得：$3x = -5$，解得$x = -\frac{5}{3}$
把$x = -\frac{5}{3}$代入①得：$2×(-\frac{5}{3}) + y = -3$
解得$y = \frac{1}{3}$
因此$x - y = -\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = -2$
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程组的加减消元法
2.代数式求值
3.整体代入思想
【点评】
本题属于基础计算题，既可以用常规消元法求解后计算，也可以观察式子特征用整体思想快速得出结果，解题时优先观察代数式特征可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：一是先利用加减消元法或代入消元法解出二元一次方程组中x、y的具体值，再代入计算x-y；二是观察两个方程的系数特征，发现将两个方程左右两边直接相减，即可直接得到x-y的表达式，无需单独求解x、y，计算更简便。
【解析】
解法1（整体法）：
记$\begin{cases}2x + y = -3&① \\x + 2y = -1&②\end{cases}$
用①式减去②式，左右两边分别相减得：
$(2x + y) - (x + 2y) = -3 - (-1)$
左边化简：$2x + y - x - 2y = x - y$
右边计算：$-3 + 1 = -2$
因此$x - y = -2$
解法2（常规消元法）：
记$\begin{cases}2x + y = -3&① \\x + 2y = -1&②\end{cases}$
①×2得：$4x + 2y = -6$ ③
③-②得：$3x = -5$，解得$x = -\frac{5}{3}$
把$x = -\frac{5}{3}$代入①得：$2×(-\frac{5}{3}) + y = -3$
解得$y = \frac{1}{3}$
因此$x - y = -\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = -2$
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程组的加减消元法
2.代数式求值
3.整体代入思想
【点评】
本题属于基础计算题，既可以用常规消元法求解后计算，也可以观察式子特征用整体思想快速得出结果，解题时优先观察代数式特征可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
2. 已知最简二次根式$\sqrt{x+y+1}$与$\sqrt{6 - x + 2y}$的被开方数相同，最简二次根式$\sqrt{6x - y -7}$与$\sqrt{x - 3y +1}$的被开方数相同，则$x^y$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
2.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确性质：若几个最简二次根式的被开方数相同，则它们的被开方数值相等。因此我们可以根据题目给出的两组被开方数相同的最简二次根式，分别列出两个关于x、y的等式，组成二元一次方程组，求解得到x、y的值后，代入$x^y$计算即可得到最终结果。
【解析】
根据最简二次根式被开方数相同的性质，可列方程组：
第一个等式：$x+y+1 = 6 - x + 2y$，整理得：
$2x - y = 5$ ①
第二个等式：$6x - y -7 = x - 3y +1$，整理得：
$5x + 2y = 8$ ②
用代入消元法解方程组：
由①得，$y = 2x - 5$，将其代入②：
$5x + 2(2x - 5) = 8$
展开计算：$5x + 4x - 10 = 8$
合并同类项：$9x = 18$，解得$x=2$
将$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=2×2 -5 = -1$
所以$x^y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 最简二次根式的性质
2. 二元一次方程组的解法
3. 负整数指数幂运算
【点评】
本题综合考察了二次根式的性质与二元一次方程组的应用，解题核心是根据被开方数相同的条件正确列出方程组，计算负整数指数幂时要注意运算规则，避免符号或计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确性质：若几个最简二次根式的被开方数相同，则它们的被开方数值相等。因此我们可以根据题目给出的两组被开方数相同的最简二次根式，分别列出两个关于x、y的等式，组成二元一次方程组，求解得到x、y的值后，代入$x^y$计算即可得到最终结果。
【解析】
根据最简二次根式被开方数相同的性质，可列方程组：
第一个等式：$x+y+1 = 6 - x + 2y$，整理得：
$2x - y = 5$ ①
第二个等式：$6x - y -7 = x - 3y +1$，整理得：
$5x + 2y = 8$ ②
用代入消元法解方程组：
由①得，$y = 2x - 5$，将其代入②：
$5x + 2(2x - 5) = 8$
展开计算：$5x + 4x - 10 = 8$
合并同类项：$9x = 18$，解得$x=2$
将$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=2×2 -5 = -1$
所以$x^y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 最简二次根式的性质
2. 二元一次方程组的解法
3. 负整数指数幂运算
【点评】
本题综合考察了二次根式的性质与二元一次方程组的应用，解题核心是根据被开方数相同的条件正确列出方程组，计算负整数指数幂时要注意运算规则，避免符号或计算失误。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 如果二元一次方程组$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=8, \end{cases}$那么方程组$\begin{cases} a_1x + 4b_1y = c_1, \\ a_2x + 4b_2y = c_2 \end{cases}$的解为________。
答案
3.$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二元一次方程组的解的含义：能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值。我们先将已知方程组的解代入原方程组，得到关于$a_1、b_1、c_1$和$a_2、b_2、c_2$的等式，再观察待解方程组和原方程组的结构差异，发现待解方程组中$y$的系数是原方程组的4倍，因此可以把$4y$看作一个整体，对应原方程组中的$y$，通过对比等式结构就能快速求出待解方程组的解，不用复杂的消元计算。
【解析】
∵ 二元一次方程组$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=8 \end{cases}$
∴ 将解代入原方程组，可得：
$\begin{cases} 3a_1 + 8b_1 = c_1 \quad ① \\ 3a_2 + 8b_2 = c_2 \quad ② \end{cases}$
观察待解方程组$\begin{cases} a_1x + 4b_1y = c_1 \\ a_2x + 4b_2y = c_2 \end{cases}$，可变形为：
$\begin{cases} a_1x + b_1·(4y) = c_1 \quad ③ \\ a_2x + b_2·(4y) = c_2 \quad ④ \end{cases}$
对比①和③、②和④的结构，可得：
$\begin{cases} x=3 \\ 4y=8 \end{cases}$
解得$y=2$
因此待解方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；整体代入法
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的关键是观察两个方程组的结构特点，运用整体代入的思想简化计算，避免了繁琐的消元运算，能很好地锻炼学生的观察能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确二元一次方程组的解的含义：能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值。我们先将已知方程组的解代入原方程组，得到关于$a_1、b_1、c_1$和$a_2、b_2、c_2$的等式，再观察待解方程组和原方程组的结构差异，发现待解方程组中$y$的系数是原方程组的4倍，因此可以把$4y$看作一个整体，对应原方程组中的$y$，通过对比等式结构就能快速求出待解方程组的解，不用复杂的消元计算。
【解析】
∵ 二元一次方程组$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=8 \end{cases}$
∴ 将解代入原方程组，可得：
$\begin{cases} 3a_1 + 8b_1 = c_1 \quad ① \\ 3a_2 + 8b_2 = c_2 \quad ② \end{cases}$
观察待解方程组$\begin{cases} a_1x + 4b_1y = c_1 \\ a_2x + 4b_2y = c_2 \end{cases}$，可变形为：
$\begin{cases} a_1x + b_1·(4y) = c_1 \quad ③ \\ a_2x + b_2·(4y) = c_2 \quad ④ \end{cases}$
对比①和③、②和④的结构，可得：
$\begin{cases} x=3 \\ 4y=8 \end{cases}$
解得$y=2$
因此待解方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；整体代入法
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题的关键是观察两个方程组的结构特点，运用整体代入的思想简化计算，避免了繁琐的消元运算，能很好地锻炼学生的观察能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
4.用加减消元法解下列方程组。
(1)$\begin{cases} x+y=10, \\ 2x-y=-1; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 4x-3y=-2, \\ 3x+2y=7。 \end{cases}$
(1)$\begin{cases} x+y=10, \\ 2x-y=-1; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 4x-3y=-2, \\ 3x+2y=7。 \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases}x=3,\\y=7。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=2。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=2。\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查用加减消元法解二元一次方程组，解题思路如下：1. 先观察方程组中同一未知数的系数特点：(1)中y的系数分别为1和-1，互为相反数，可直接将两个方程相加消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求出y的值；(2)中y的系数为-3和2，绝对值的最小公倍数是6，因此先给两个方程分别乘对应系数，使y的系数变为互为相反数，再相加消去y，求出x后代入求y即可。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} x+y=10 \ \ \ ①, \\ 2x-y=-1 \ \ \ ②; \end{cases}$
将①+②，可得：$x+2x + y + (-y) =10 + (-1)$，化简得$3x=9$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①，得$3+y=10$，解得$y=7$。
(2) 给方程组标号：$\begin{cases} 4x-3y=-2 \ \ \ ①, \\ 3x+2y=7 \ \ \ \ \ \ ②。 \end{cases}$
①×2，得：$8x -6y = -4 \ \ \ ③$；
②×3，得：$9x +6y = 21 \ \ \ ④$；
将③+④，可得：$8x+9x + (-6y)+6y = -4 +21$，化简得$17x=17$，解得$x=1$。
把$x=1$代入②，得$3×1 +2y =7$，解得$2y=4$，$y=2$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=3,\\y=7。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=2。\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，核心是掌握加减消元法的消元逻辑：先根据未知数的系数特点选择消元对象，通过调整方程系数使同一未知数的系数绝对值相等，再通过加减运算消去一个未知数，将二元方程转化为一元方程求解。
【难度系数】
0.8
本题考查用加减消元法解二元一次方程组，解题思路如下：1. 先观察方程组中同一未知数的系数特点：(1)中y的系数分别为1和-1，互为相反数，可直接将两个方程相加消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求出y的值；(2)中y的系数为-3和2，绝对值的最小公倍数是6，因此先给两个方程分别乘对应系数，使y的系数变为互为相反数，再相加消去y，求出x后代入求y即可。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} x+y=10 \ \ \ ①, \\ 2x-y=-1 \ \ \ ②; \end{cases}$
将①+②，可得：$x+2x + y + (-y) =10 + (-1)$，化简得$3x=9$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①，得$3+y=10$，解得$y=7$。
(2) 给方程组标号：$\begin{cases} 4x-3y=-2 \ \ \ ①, \\ 3x+2y=7 \ \ \ \ \ \ ②。 \end{cases}$
①×2，得：$8x -6y = -4 \ \ \ ③$；
②×3，得：$9x +6y = 21 \ \ \ ④$；
将③+④，可得：$8x+9x + (-6y)+6y = -4 +21$，化简得$17x=17$，解得$x=1$。
把$x=1$代入②，得$3×1 +2y =7$，解得$2y=4$，$y=2$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=3,\\y=7。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=2。\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，核心是掌握加减消元法的消元逻辑：先根据未知数的系数特点选择消元对象，通过调整方程系数使同一未知数的系数绝对值相等，再通过加减运算消去一个未知数，将二元方程转化为一元方程求解。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙两人同时解二元一次方程组$\begin{cases} mx + y = 5, &① \\ 2x - ny = 13。&② \end{cases}$甲解题时看错了方程①中的$m$，解得$\begin{cases} x = \dfrac{7}{2}, \\ y = -2。\end{cases}$乙解题时看错了方程②中的$n$，解得$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7。\end{cases}$
(1) 求$m,n$的值。
(2) 求原方程组的解。
(1) 求$m,n$的值。
(2) 求原方程组的解。
答案
(1) 把$\begin{cases}x=\frac{7}{2},\\y=-2\end{cases}$代入②，得$7+2n=13$，解得$n=3$。把$\begin{cases}x=3,\\y=-7\end{cases}$代入①，得$3m-7=5$，解得$m=4$。
(2) 把$m=4,n=3$代入方程组，得$\begin{cases}4x+y=5,\\2x-3y=13。\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=-3。\end{cases}$
(2) 把$m=4,n=3$代入方程组，得$\begin{cases}4x+y=5,\\2x-3y=13。\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=-3。\end{cases}$
解析
【分析】
解题思路如下：(1)甲看错了方程①中的m，说明甲得到的解不满足方程①，但满足他没看错的方程②，因此将甲的解代入方程②即可求出n的值；同理，乙看错了方程②中的n，说明乙得到的解满足他没看错的方程①，将乙的解代入方程①即可求出m的值。(2)将求出的m、n代入原方程组，用代入消元法或加减消元法求解即可得到原方程组的正确解。
【解析】
(1) 因为甲看错了方程①中的m，所以$\begin{cases} x = \dfrac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases}$是方程②的正确解，将其代入方程②得：
$2×\dfrac{7}{2} - n×(-2) = 13$
化简得：$7 + 2n = 13$，解得$n=3$。
因为乙看错了方程②中的n，所以$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$是方程①的正确解，将其代入方程①得：
$3m + (-7) = 5$
化简得：$3m = 12$，解得$m=4$。
(2) 将$m=4$，$n=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases} 4x + y = 5 \quad ① \\ 2x - 3y = 13 \quad ② \end{cases}$
由①得：$y = 5 - 4x \quad ③$
把③代入②得：$2x - 3(5 - 4x) = 13$
展开计算：$2x - 15 + 12x = 13$，$14x = 28$，解得$x=2$。
把$x=2$代入③得：$y = 5 - 4×2 = -3$。
【答案】
(1) $m=4$，$n=3$；
(2) 原方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础常考题，解题核心是理解“看错某一方程的系数时，所得解仍满足另一未看错的方程”，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1)甲看错了方程①中的m，说明甲得到的解不满足方程①，但满足他没看错的方程②，因此将甲的解代入方程②即可求出n的值；同理，乙看错了方程②中的n，说明乙得到的解满足他没看错的方程①，将乙的解代入方程①即可求出m的值。(2)将求出的m、n代入原方程组，用代入消元法或加减消元法求解即可得到原方程组的正确解。
【解析】
(1) 因为甲看错了方程①中的m，所以$\begin{cases} x = \dfrac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases}$是方程②的正确解，将其代入方程②得：
$2×\dfrac{7}{2} - n×(-2) = 13$
化简得：$7 + 2n = 13$，解得$n=3$。
因为乙看错了方程②中的n，所以$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$是方程①的正确解，将其代入方程①得：
$3m + (-7) = 5$
化简得：$3m = 12$，解得$m=4$。
(2) 将$m=4$，$n=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases} 4x + y = 5 \quad ① \\ 2x - 3y = 13 \quad ② \end{cases}$
由①得：$y = 5 - 4x \quad ③$
把③代入②得：$2x - 3(5 - 4x) = 13$
展开计算：$2x - 15 + 12x = 13$，$14x = 28$，解得$x=2$。
把$x=2$代入③得：$y = 5 - 4×2 = -3$。
【答案】
(1) $m=4$，$n=3$；
(2) 原方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础常考题，解题核心是理解“看错某一方程的系数时，所得解仍满足另一未看错的方程”，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的基础。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 已知关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases}2x + 3y = 3, \\ax - by = -5\end{cases}$ 和 $\begin{cases}3x - 2y = 11, \\bx - ay = 1\end{cases}$ 有相同的解。
（1）求这个相同的解。
（2）求 $(a + b)^{2026}$ 的值。
（1）求这个相同的解。
（2）求 $(a + b)^{2026}$ 的值。
答案
(1) 把方程组中不含a,b的两个方程联立，得$\begin{cases}2x+3y=3,\\3x-2y=11。\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=-1。\end{cases}$所以这个相同的解为$\begin{cases}x=3,\\y=-1。\end{cases}$
(2) 把$\begin{cases}x=3,\\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax-by=-5,\\bx-ay=1,\end{cases}$得$\begin{cases}3a+b=-5,③\\3b+a=1。④\end{cases}$
③+④，得$4a+4b=-4$。所以$a+b=-1$。
所以$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
(2) 把$\begin{cases}x=3,\\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax-by=-5,\\bx-ay=1,\end{cases}$得$\begin{cases}3a+b=-5,③\\3b+a=1。④\end{cases}$
③+④，得$4a+4b=-4$。所以$a+b=-1$。
所以$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。解题时第一步先提取不含参数a、b的两个方程联立，解出公共的x、y值；第二步将公共解代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的方程组，观察方程结构，不需要分别求a、b的具体值，将两个方程相加即可直接得到a+b的整体值，最后代入乘方计算即可。
【解析】
（1）由两个方程组有相同的解，联立不含a、b的方程得：
$\begin{cases}2x + 3y = 3 \quad \mathrm{①} \\3x - 2y = 11 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法，①×2得：$4x + 6y = 6$ ③，②×3得：$9x - 6y = 33$ ④
③+④得：$13x = 39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①得：$2×3 + 3y = 3$，解得$y=-1$
因此这个相同的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$。
（2）把$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}3a + b = -5 \quad \mathrm{③} \\3b + a = 1 \quad \mathrm{④}\end{cases}$
③+④得：$4a + 4b = -4$，两边同时除以4得$a + b = -1$
所以$(a + b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
（1）$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$
（2）$1$
【知识点】
二元一次方程组同解问题；加减消元法；乘方运算
【点评】
本题核心是理解同解方程组的含义，优先用不含参数的方程求出公共解是解题的突破口，求解a+b时运用整体思想可以大幅简化运算，避免分别求解参数的繁琐。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。解题时第一步先提取不含参数a、b的两个方程联立，解出公共的x、y值；第二步将公共解代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的方程组，观察方程结构，不需要分别求a、b的具体值，将两个方程相加即可直接得到a+b的整体值，最后代入乘方计算即可。
【解析】
（1）由两个方程组有相同的解，联立不含a、b的方程得：
$\begin{cases}2x + 3y = 3 \quad \mathrm{①} \\3x - 2y = 11 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法，①×2得：$4x + 6y = 6$ ③，②×3得：$9x - 6y = 33$ ④
③+④得：$13x = 39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①得：$2×3 + 3y = 3$，解得$y=-1$
因此这个相同的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$。
（2）把$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}3a + b = -5 \quad \mathrm{③} \\3b + a = 1 \quad \mathrm{④}\end{cases}$
③+④得：$4a + 4b = -4$，两边同时除以4得$a + b = -1$
所以$(a + b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
（1）$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$
（2）$1$
【知识点】
二元一次方程组同解问题；加减消元法；乘方运算
【点评】
本题核心是理解同解方程组的含义，优先用不含参数的方程求出公共解是解题的突破口，求解a+b时运用整体思想可以大幅简化运算，避免分别求解参数的繁琐。
【难度系数】
0.7
