登录
12. (2025·南通如皋市期末)阅读下面的材料,回答问题。
同学们,“观察、猜想、验证、应用”是我们常用的数学探究方法。
在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形,怎样求剩余部分的面积呢?妙妙想出了两种不同的方法(如下图)。
方法一:
方法二:
$S_{涂色}=(5-3)×(5+3)$
$S_{涂色}=5^2 - 3^2$
这两种方法求的都是涂色部分的面积,因此$5^2 - 3^2=(5-3)×(5+3)$。
仔细观察这个等式,想一想:是不是任意两个数都具有这样的特征呢?
(1) 请举两个例子进行验证:
① $10^2 - 6^2=( )×( )$
②
(2) 若用a和b表示两个数(且$a＞b$),该规律可以表示为 $a^2 - b^2=( )×( )$。
(3) 根据以上结论进行计算。
$[1-(\frac{1}{2})^2]×[1-(\frac{1}{3})^2]×[1-(\frac{1}{4})^2]$
同学们,“观察、猜想、验证、应用”是我们常用的数学探究方法。
在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形,怎样求剩余部分的面积呢?妙妙想出了两种不同的方法(如下图)。
方法一:
方法二:
$S_{涂色}=(5-3)×(5+3)$
$S_{涂色}=5^2 - 3^2$
这两种方法求的都是涂色部分的面积,因此$5^2 - 3^2=(5-3)×(5+3)$。
仔细观察这个等式,想一想:是不是任意两个数都具有这样的特征呢?
(1) 请举两个例子进行验证:
① $10^2 - 6^2=( )×( )$
②
(2) 若用a和b表示两个数(且$a＞b$),该规律可以表示为 $a^2 - b^2=( )×( )$。
(3) 根据以上结论进行计算。
$[1-(\frac{1}{2})^2]×[1-(\frac{1}{3})^2]×[1-(\frac{1}{4})^2]$
答案
12. （1）① 10−6 10+6 ② 答案不唯一,如$0.8^2-0.5^2=(0.8-0.5)×(0.8+0.5)$
（2）$a-b$ $a+b$
（3）$[1-(\frac{1}{2})^2]×[1-(\frac{1}{3})^2]×[1-(\frac{1}{4})^2]=[(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})]×[(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})]×[(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})]=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$
（2）$a-b$ $a+b$
（3）$[1-(\frac{1}{2})^2]×[1-(\frac{1}{3})^2]×[1-(\frac{1}{4})^2]=[(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})]×[(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})]×[(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})]=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$
13. 新趋势 学科融合 你能解答下面的诗谜吗？
九百九十九文钱，甜果苦果买一千。
甜果九个十一文，苦果七个四文钱。
试问甜苦果几个，又问各该几个钱？
九百九十九文钱，甜果苦果买一千。
甜果九个十一文，苦果七个四文钱。
试问甜苦果几个，又问各该几个钱？
答案
$11÷9=\frac{11}{9}$(文/个) $4÷7=\frac{4}{7}$(文/个) 苦果:$(1000×\frac{11}{9}-999)÷(\frac{11}{9}-\frac{4}{7})=343$(个)
$343×\frac{4}{7}=196$(文) 甜果:$1000-343=657$(个) $657×\frac{11}{9}=803$(文)
甜果657个,共803文钱;苦果343个,共196文钱。
$343×\frac{4}{7}=196$(文) 甜果:$1000-343=657$(个) $657×\frac{11}{9}=803$(文)
甜果657个,共803文钱;苦果343个,共196文钱。
