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7. 如图,在$△ ABC$中,O是$△ ABC$内一点,且点O到$△ ABC$三边的距离相等.若$∠ A=70°$,则$∠ BOC$的度数为().
A.$125°$
B.$135°$
C.$55°$
D.$35°$
A.$125°$
B.$135°$
C.$55°$
D.$35°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先根据“点到三角形三边距离相等”这一条件，结合角平分线的判定定理，可判断出点O是△ABC三个内角的角平分线的交点，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB；接下来利用三角形内角和为180°，先求出∠ABC与∠ACB的和，再计算两个角一半的和（即∠OBC+∠OCB的度数），最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ A=70°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△BOC中，再次利用三角形内角和：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形与角平分线知识的综合基础题，解题核心是先根据点到三边距离相等判断出该点是三角形的角平分线交点，再结合内角和公式逐步推导角度即可，这类题是角平分线相关考点的常见考法，熟练掌握相关性质和判定可以快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“点到三角形三边距离相等”这一条件，结合角平分线的判定定理，可判断出点O是△ABC三个内角的角平分线的交点，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB；接下来利用三角形内角和为180°，先求出∠ABC与∠ACB的和，再计算两个角一半的和（即∠OBC+∠OCB的度数），最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ A=70°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△BOC中，再次利用三角形内角和：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形与角平分线知识的综合基础题，解题核心是先根据点到三边距离相等判断出该点是三角形的角平分线交点，再结合内角和公式逐步推导角度即可，这类题是角平分线相关考点的常见考法，熟练掌握相关性质和判定可以快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 如图, 在 Rt $△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, BD是Rt$△ ABC$ 的一条角平分线,点 O 在 BD上,过点 O 作 OE $⊥$ BC 于点 E,OF $⊥$ AC 于点 F,OE=OF,连接 OA.
(1)求证:点 O 在$∠ BAC$ 的平分线上;
(2)若 AC=5,BC=12,AB=13,求 OE 的长.
(1)求证:点 O 在$∠ BAC$ 的平分线上;
(2)若 AC=5,BC=12,AB=13,求 OE 的长.
答案
(1) 证明：
过点O作$OG ⊥ AB$于点G。
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，BD平分$∠ ABC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore OE=OG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because OE=OF$，
$\therefore OF=OG$。
$\because OF ⊥ AC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore$ 点O在$∠ BAC$的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
---
(2) 解：
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形OECF是矩形。
又$\because OE=OF$，
$\therefore$ 矩形OECF是正方形，即$OE=EC=CF=OF$。
设$OE=x$，由(1)知$OG=OE=x$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$，
且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OG=\frac{13}{2}x$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × BC × OE=6x$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × AC × OF=\frac{5}{2}x$，
代入得：
$30=\frac{13}{2}x + 6x + \frac{5}{2}x$
整理得$15x=30$，解得$x=2$。
$\therefore OE$的长为$\boldsymbol{2}$。
过点O作$OG ⊥ AB$于点G。
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，BD平分$∠ ABC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore OE=OG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because OE=OF$，
$\therefore OF=OG$。
$\because OF ⊥ AC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore$ 点O在$∠ BAC$的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
---
(2) 解：
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形OECF是矩形。
又$\because OE=OF$，
$\therefore$ 矩形OECF是正方形，即$OE=EC=CF=OF$。
设$OE=x$，由(1)知$OG=OE=x$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$，
且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OG=\frac{13}{2}x$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × BC × OE=6x$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × AC × OF=\frac{5}{2}x$，
代入得：
$30=\frac{13}{2}x + 6x + \frac{5}{2}x$
整理得$15x=30$，解得$x=2$。
$\therefore OE$的长为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明点O在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB和AC两边的距离相等即可。已知OF⊥AC，所以先过点O作OG⊥AB于G，首先利用BD是角平分线的性质得到OE=OG，再结合已知条件OE=OF，即可推出OF=OG，满足角平分线的判定条件。
(2) 首先根据已知的垂直条件判断四边形OECF的形状，由三个内角为直角且邻边OE=OF可得它是正方形，四边相等。再利用“大三角形ABC的面积等于三个小三角形面积之和”的等积法，设OE为x，分别表示出三个小三角形的面积，列方程求解即可得到OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OG ⊥ AB$于点G。
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，BD平分$∠ ABC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore OE=OG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because OE=OF$，
$\therefore OF=OG$。
$\because OF ⊥ AC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore$ 点O在$∠ BAC$的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
(2) 解：
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形OECF是矩形。
又$\because OE=OF$，
$\therefore$ 矩形OECF是正方形，即$OE=EC=CF=OF$。
设$OE=x$，由(1)知$OG=OE=x$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$，
且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OG=\frac{13}{2}x$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × BC × OE=6x$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × AC × OF=\frac{5}{2}x$，
代入得：
$30=\frac{13}{2}x + 6x + \frac{5}{2}x$
整理得$15x=30$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 点O在∠BAC的平分线上，证明成立；
(2) OE的长为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
角平分线的性质与判定；正方形的判定；等积法求线段长
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理和特殊四边形的判定，解题关键是掌握角平分线问题中“作点到边的垂线”的常用辅助线做法，第二问的等积法避免了复杂的线段推导，是解决这类内切点相关线段长度的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明点O在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB和AC两边的距离相等即可。已知OF⊥AC，所以先过点O作OG⊥AB于G，首先利用BD是角平分线的性质得到OE=OG，再结合已知条件OE=OF，即可推出OF=OG，满足角平分线的判定条件。
(2) 首先根据已知的垂直条件判断四边形OECF的形状，由三个内角为直角且邻边OE=OF可得它是正方形，四边相等。再利用“大三角形ABC的面积等于三个小三角形面积之和”的等积法，设OE为x，分别表示出三个小三角形的面积，列方程求解即可得到OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OG ⊥ AB$于点G。
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，BD平分$∠ ABC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore OE=OG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because OE=OF$，
$\therefore OF=OG$。
$\because OF ⊥ AC$，$OG ⊥ AB$，
$\therefore$ 点O在$∠ BAC$的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
(2) 解：
$\because ∠ C=90°$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形OECF是矩形。
又$\because OE=OF$，
$\therefore$ 矩形OECF是正方形，即$OE=EC=CF=OF$。
设$OE=x$，由(1)知$OG=OE=x$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$，
且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OG=\frac{13}{2}x$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × BC × OE=6x$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × AC × OF=\frac{5}{2}x$，
代入得：
$30=\frac{13}{2}x + 6x + \frac{5}{2}x$
整理得$15x=30$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 点O在∠BAC的平分线上，证明成立；
(2) OE的长为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
角平分线的性质与判定；正方形的判定；等积法求线段长
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理和特殊四边形的判定，解题关键是掌握角平分线问题中“作点到边的垂线”的常用辅助线做法，第二问的等积法避免了复杂的线段推导，是解决这类内切点相关线段长度的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
9.(推理能力)如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点.
(1)求证:PM=PN.
(2)OM+ON的值是否为定值？请说明理由.
(1)求证:PM=PN.
(2)OM+ON的值是否为定值？请说明理由.
答案
(1) 证明：
过点P作$PE ⊥ OA$于E，$PF ⊥ OB$于F。
∵ OP平分$∠ AOB$，$PE ⊥ OA$，$PF ⊥ OB$，
∴ $PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $∠ PEO = ∠ PFO = 90°$，
∴ 在四边形OEPF中，$∠ EPF + ∠ AOB = 360° - 90° - 90° = 180°$。
又∵ $∠ MPN + ∠ AOB = 180°$，
∴ $∠ EPF = ∠ MPN$，
∴ $∠ EPF - ∠ MPF = ∠ MPN - ∠ MPF$，即$∠ MPE = ∠ NPF$。
在$△ MPE$和$△ NPF$中：
$\begin{cases}∠ PEM = ∠ PFN = 90° \\PE = PF \\∠ MPE = ∠ NPF\end{cases}$
∴ $△ MPE ≌ △ NPF$（ASA），
∴ $PM = PN$。
---
(2) 解：$OM+ON$的值为定值，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中：
$\begin{cases}OP = OP \\PE = PF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL），
∴ $OE = OF$。
由$△ MPE ≌ △ NPF$，得$ME = NF$。
∵ $OM = OE + ME$，$ON = OF - NF$，
∴ $OM + ON = OE + ME + OF - NF = OE + OF$。
又∵ $OE=OF$，P是定点，OP为定长，$∠ AOB$为定角，因此$OE$的长度为定值，
∴ $OM + ON = 2OE$，是定值。
过点P作$PE ⊥ OA$于E，$PF ⊥ OB$于F。
∵ OP平分$∠ AOB$，$PE ⊥ OA$，$PF ⊥ OB$，
∴ $PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $∠ PEO = ∠ PFO = 90°$，
∴ 在四边形OEPF中，$∠ EPF + ∠ AOB = 360° - 90° - 90° = 180°$。
又∵ $∠ MPN + ∠ AOB = 180°$，
∴ $∠ EPF = ∠ MPN$，
∴ $∠ EPF - ∠ MPF = ∠ MPN - ∠ MPF$，即$∠ MPE = ∠ NPF$。
在$△ MPE$和$△ NPF$中：
$\begin{cases}∠ PEM = ∠ PFN = 90° \\PE = PF \\∠ MPE = ∠ NPF\end{cases}$
∴ $△ MPE ≌ △ NPF$（ASA），
∴ $PM = PN$。
---
(2) 解：$OM+ON$的值为定值，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中：
$\begin{cases}OP = OP \\PE = PF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL），
∴ $OE = OF$。
由$△ MPE ≌ △ NPF$，得$ME = NF$。
∵ $OM = OE + ME$，$ON = OF - NF$，
∴ $OM + ON = OE + ME + OF - NF = OE + OF$。
又∵ $OE=OF$，P是定点，OP为定长，$∠ AOB$为定角，因此$OE$的长度为定值，
∴ $OM + ON = 2OE$，是定值。
解析
【分析】
（1）要证明PM=PN，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，可过点P向OA、OB作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合∠MPN与∠AOB互补的条件，推导得到全等需要的等角，即可证明三角形全等，得到PM=PN的结论。
（2）要判断OM+ON是否为定值，可利用已证的全等三角形的性质，将OM、ON拆分为含相等线段的表达式，通过线段代换，把OM+ON转化为与定长相关的式子，结合P是定点、∠AOB是定角的条件，即可判断其是否为定值。
【解析】
(1) 证明：
过点P作$PE ⊥ OA$于E，$PF ⊥ OB$于F。
∵ OP平分$∠ AOB$，$PE ⊥ OA$，$PF ⊥ OB$，
∴ $PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $∠ PEO = ∠ PFO = 90°$，
∴ 在四边形OEPF中，$∠ EPF + ∠ AOB = 360° - 90° - 90° = 180°$。
又
∵ $∠ MPN + ∠ AOB = 180°$，
∴ $∠ EPF = ∠ MPN$，
∴ $∠ EPF - ∠ MPF = ∠ MPN - ∠ MPF$，即$∠ MPE = ∠ NPF$。
在$△ MPE$和$△ NPF$中：
$\begin{cases}∠ PEM = ∠ PFN = 90° \\PE = PF \\∠ MPE = ∠ NPF\end{cases}$
∴ $△ MPE ≌ △ NPF$（ASA），
∴ $PM = PN$。
(2) $OM+ON$的值为定值，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中：
$\begin{cases}OP = OP \\PE = PF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL），
∴ $OE = OF$。
由$△ MPE ≌ △ NPF$，得$ME = NF$。
∵ $OM = OE + ME$，$ON = OF - NF$，
∴ $OM + ON = OE + ME + OF - NF = OE + OF$。
又
∵ $OE=OF$，P是定点，OP为定长，$∠ AOB$为定角，因此$OE$的长度为定值，
∴ $OM + ON = 2OE$，是定值。
【答案】
(1) 已证得$PM=PN$；
(2) $OM+ON$的值为定值。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；定值问题分析
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，将待证的边相等、待判断的线段和问题转化为全等三角形对应边的等量代换问题，重点考查逻辑推理能力和几何转化思维。
【难度系数】
0.6
（1）要证明PM=PN，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，可过点P向OA、OB作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合∠MPN与∠AOB互补的条件，推导得到全等需要的等角，即可证明三角形全等，得到PM=PN的结论。
（2）要判断OM+ON是否为定值，可利用已证的全等三角形的性质，将OM、ON拆分为含相等线段的表达式，通过线段代换，把OM+ON转化为与定长相关的式子，结合P是定点、∠AOB是定角的条件，即可判断其是否为定值。
【解析】
(1) 证明：
过点P作$PE ⊥ OA$于E，$PF ⊥ OB$于F。
∵ OP平分$∠ AOB$，$PE ⊥ OA$，$PF ⊥ OB$，
∴ $PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $∠ PEO = ∠ PFO = 90°$，
∴ 在四边形OEPF中，$∠ EPF + ∠ AOB = 360° - 90° - 90° = 180°$。
又
∵ $∠ MPN + ∠ AOB = 180°$，
∴ $∠ EPF = ∠ MPN$，
∴ $∠ EPF - ∠ MPF = ∠ MPN - ∠ MPF$，即$∠ MPE = ∠ NPF$。
在$△ MPE$和$△ NPF$中：
$\begin{cases}∠ PEM = ∠ PFN = 90° \\PE = PF \\∠ MPE = ∠ NPF\end{cases}$
∴ $△ MPE ≌ △ NPF$（ASA），
∴ $PM = PN$。
(2) $OM+ON$的值为定值，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中：
$\begin{cases}OP = OP \\PE = PF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL），
∴ $OE = OF$。
由$△ MPE ≌ △ NPF$，得$ME = NF$。
∵ $OM = OE + ME$，$ON = OF - NF$，
∴ $OM + ON = OE + ME + OF - NF = OE + OF$。
又
∵ $OE=OF$，P是定点，OP为定长，$∠ AOB$为定角，因此$OE$的长度为定值，
∴ $OM + ON = 2OE$，是定值。
【答案】
(1) 已证得$PM=PN$；
(2) $OM+ON$的值为定值。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；定值问题分析
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，将待证的边相等、待判断的线段和问题转化为全等三角形对应边的等量代换问题，重点考查逻辑推理能力和几何转化思维。
【难度系数】
0.6
