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1.(2024昆明期末)如图,BF=CE,AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,要根据“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF,则需添加的一个条件是().
A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠B=∠C
D.AE=CF
A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠B=∠C
D.AE=CF
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“HL”判定定理的适用条件：仅适用于直角三角形，需满足斜边和一条直角边对应相等。解题思路如下：第一步，先由垂直的定义确定两个三角形都是直角三角形；第二步，利用已知的BF=CE，通过线段的和差推导得到一组直角边相等；第三步，结合HL的要求，判断选项中哪个条件能满足“斜边+直角边对应相等”的要求即可。
【解析】
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，即△ABE和△DCF均为直角三角形。
∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，得到一组对应直角边相等。
若要使用“HL”判定两直角三角形全等，还需补充斜边对应相等，即AB=DC：
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DC\\ BE=CF\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）。
其他选项分析：B选项∠A=∠D、C选项∠B=∠C均是用AAS/ASA判定全等，不符合HL的要求；D选项AE=CF不是对应边相等，无法判定全等。
【答案】
A
【知识点】
1. HL判定定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定条件，解题时需先根据已知推导得到已有的相等边，再结合HL的特殊要求筛选合适的添加条件，注意区分HL和普通三角形全等判定方法的差异。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“HL”判定定理的适用条件：仅适用于直角三角形，需满足斜边和一条直角边对应相等。解题思路如下：第一步，先由垂直的定义确定两个三角形都是直角三角形；第二步，利用已知的BF=CE，通过线段的和差推导得到一组直角边相等；第三步，结合HL的要求，判断选项中哪个条件能满足“斜边+直角边对应相等”的要求即可。
【解析】
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，即△ABE和△DCF均为直角三角形。
∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，得到一组对应直角边相等。
若要使用“HL”判定两直角三角形全等，还需补充斜边对应相等，即AB=DC：
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DC\\ BE=CF\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）。
其他选项分析：B选项∠A=∠D、C选项∠B=∠C均是用AAS/ASA判定全等，不符合HL的要求；D选项AE=CF不是对应边相等，无法判定全等。
【答案】
A
【知识点】
1. HL判定定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定条件，解题时需先根据已知推导得到已有的相等边，再结合HL的特殊要求筛选合适的添加条件，注意区分HL和普通三角形全等判定方法的差异。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$∠ C=∠ C'=90°, AB = A'B', AD$与$A'D'$分别为边$BC,B'C'$上的中线,且$CD = C'D'$. 求证:$△ ABC ≌ △ A'B'C'$.
答案
证明：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BC = 2CD。
∵ A'D'是B'C'边上的中线，
∴ B'C' = 2C'D'。
又∵ CD = C'D'，
∴ BC = B'C'。
∵ ∠C = ∠C' = 90°，
∴ △ABC和△A'B'C'都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B' \\BC = B'C'\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）。
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BC = 2CD。
∵ A'D'是B'C'边上的中线，
∴ B'C' = 2C'D'。
又∵ CD = C'D'，
∴ BC = B'C'。
∵ ∠C = ∠C' = 90°，
∴ △ABC和△A'B'C'都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B' \\BC = B'C'\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）。
解析
【分析】
要证明两个直角三角形全等，已知斜边$AB = A'B'$，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再证明一组直角边相等即可。题目给出$AD、A'D'$分别是$BC、B'C'$的中线，且$CD=C'D'$，根据三角形中线的定义，中线将对应边分为长度相等的两段，因此可推出$BC=2CD$，$B'C'=2C'D'$，结合已知$CD=C'D'$即可得到$BC=B'C'$，最终用HL完成全等证明。
【解析】
证明过程如下：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BC = 2CD$。
∵ $A'D'$是$B'C'$边上的中线，
∴ $B'C' = 2C'D'$。
又
∵ $CD = C'D'$，
∴ $BC = B'C'$。
∵ $∠C = ∠C' = 90°$，
∴ $△ABC$和$△A'B'C'$都是直角三角形。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，
$\begin{cases} AB = A'B' \\ BC = B'C' \end{cases}$
∴ $Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）$。
【答案】
证明：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BC = 2CD$。
∵ $A'D'$是$B'C'$边上的中线，
∴ $B'C' = 2C'D'$。
又
∵ $CD = C'D'$，
∴ $BC = B'C'$。
∵ $∠C = ∠C' = 90°$，
∴ $△ABC$和$△A'B'C'$都是直角三角形。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，
$\begin{cases} AB = A'B' \\ BC = B'C' \end{cases}$
∴ $Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）$。
【知识点】
三角形中线的定义；直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题属于基础的全等证明题，解题关键是利用三角形中线的性质完成线段的等量转换，得到待证全等三角形的直角边相等，再结合直角三角形特有的HL判定定理完成证明，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
要证明两个直角三角形全等，已知斜边$AB = A'B'$，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再证明一组直角边相等即可。题目给出$AD、A'D'$分别是$BC、B'C'$的中线，且$CD=C'D'$，根据三角形中线的定义，中线将对应边分为长度相等的两段，因此可推出$BC=2CD$，$B'C'=2C'D'$，结合已知$CD=C'D'$即可得到$BC=B'C'$，最终用HL完成全等证明。
【解析】
证明过程如下：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BC = 2CD$。
∵ $A'D'$是$B'C'$边上的中线，
∴ $B'C' = 2C'D'$。
又
∵ $CD = C'D'$，
∴ $BC = B'C'$。
∵ $∠C = ∠C' = 90°$，
∴ $△ABC$和$△A'B'C'$都是直角三角形。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，
$\begin{cases} AB = A'B' \\ BC = B'C' \end{cases}$
∴ $Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）$。
【答案】
证明：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BC = 2CD$。
∵ $A'D'$是$B'C'$边上的中线，
∴ $B'C' = 2C'D'$。
又
∵ $CD = C'D'$，
∴ $BC = B'C'$。
∵ $∠C = ∠C' = 90°$，
∴ $△ABC$和$△A'B'C'$都是直角三角形。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，
$\begin{cases} AB = A'B' \\ BC = B'C' \end{cases}$
∴ $Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）$。
【知识点】
三角形中线的定义；直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题属于基础的全等证明题，解题关键是利用三角形中线的性质完成线段的等量转换，得到待证全等三角形的直角边相等，再结合直角三角形特有的HL判定定理完成证明，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
3. 综合实践课上，老师发给每人一张印有$\mathrm{Rt}△ ABC$的卡片，如图(1)，然后要求同学们画一个与$\mathrm{Rt}△ ABC$全等的三角形. 嘉淇同学先画出了$∠ MB'N=90°$后，后续的作图步骤如图(2)所示，则能判定$\mathrm{Rt}△ A'B'C'≌\mathrm{Rt}△ ABC$的依据是（）.
A.“SAS”
B.“SSS”
C.“HL”
D.“AAS”
A.“SAS”
B.“SSS”
C.“HL”
D.“AAS”
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确两个三角形均为直角三角形，既可以用普通三角形全等判定，也可以用直角三角形特有的判定定理。接下来结合作图步骤提取相等的量：第一步画出∠MB'N=90°，可得两个三角形的直角相等；后续作图先是截取一条直角边B'C'与BC相等，再通过画弧得到斜边A'C'与AC相等。此时两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，对应HL的判定条件，即可选出正确答案。
【解析】
由题意可知，$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$都是直角三角形，$∠ B=∠ B'=90°$。
结合作图步骤可得到两组相等的边：
1. 直角边$B'C'=BC$；
2. 斜边$A'C'=AC$。
根据直角三角形全等的判定定理“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可判定$\mathrm{Rt}△ A'B'C'≌\mathrm{Rt}△ ABC$。
综合结论，选择C。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题核心是从作图过程中提取对应相等的边，熟记各全等判定定理的适用条件就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个三角形均为直角三角形，既可以用普通三角形全等判定，也可以用直角三角形特有的判定定理。接下来结合作图步骤提取相等的量：第一步画出∠MB'N=90°，可得两个三角形的直角相等；后续作图先是截取一条直角边B'C'与BC相等，再通过画弧得到斜边A'C'与AC相等。此时两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，对应HL的判定条件，即可选出正确答案。
【解析】
由题意可知，$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$都是直角三角形，$∠ B=∠ B'=90°$。
结合作图步骤可得到两组相等的边：
1. 直角边$B'C'=BC$；
2. 斜边$A'C'=AC$。
根据直角三角形全等的判定定理“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可判定$\mathrm{Rt}△ A'B'C'≌\mathrm{Rt}△ ABC$。
综合结论，选择C。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题核心是从作图过程中提取对应相等的边，熟记各全等判定定理的适用条件就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$CD ⊥ AD$于点$D$，$CB ⊥ AB$于点$B$，$AB=AD$. 求证：$CD=CB$. 
答案
证明：连接AC。
∵ CD⊥AD，CB⊥AB，
∴ ∠D = ∠B = 90°，
∴ △ADC和△ABC都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
$\{\begin{array}{l}AD = AB \\AC = AC\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△ABC（HL），
∴ CD = CB。
∵ CD⊥AD，CB⊥AB，
∴ ∠D = ∠B = 90°，
∴ △ADC和△ABC都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
$\{\begin{array}{l}AD = AB \\AC = AC\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△ABC（HL），
∴ CD = CB。
解析
【分析】
要证明CD=CB，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察到CD和CB分别在两个直角三角形中，已知两个三角形有一组直角边AD=AB，还有公共斜边AC，因此先连接AC构造全等条件，再用HL判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：连接AC。
∵ CD⊥AD，CB⊥AB，
∴ ∠D = ∠B = 90°，即△ADC和△ABC均为直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
$\begin{cases} AD = AB \\ AC = AC \end{cases}$
∴ Rt△ADC ≌ Rt△ABC（HL），
根据全等三角形对应边相等，可得CD=CB。
【答案】
CD=CB
【知识点】
HL判定定理、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查直角三角形全等的判定方法，通过连接公共边构造全等三角形是解题的突破口，掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明CD=CB，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察到CD和CB分别在两个直角三角形中，已知两个三角形有一组直角边AD=AB，还有公共斜边AC，因此先连接AC构造全等条件，再用HL判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：连接AC。
∵ CD⊥AD，CB⊥AB，
∴ ∠D = ∠B = 90°，即△ADC和△ABC均为直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
$\begin{cases} AD = AB \\ AC = AC \end{cases}$
∴ Rt△ADC ≌ Rt△ABC（HL），
根据全等三角形对应边相等，可得CD=CB。
【答案】
CD=CB
【知识点】
HL判定定理、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查直角三角形全等的判定方法，通过连接公共边构造全等三角形是解题的突破口，掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
5. 如图,已知$BC ⊥ CA$于点C, $ED ⊥ AB$于点D, $BD=BC$, $AE=8\ \mathrm{cm}$, $DE=6\ \mathrm{cm}$,则$AC$等于().
A.10 cm
B.12 cm
C.14 cm
D.16 cm
A.10 cm
B.12 cm
C.14 cm
D.16 cm
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先观察到图中有两个直角三角形Rt△BDE和Rt△BCE，已知BD=BC，且两个三角形共斜边BE，符合直角三角形全等的HL判定条件，可先证明这两个三角形全等；再根据全等三角形对应边相等得到EC=DE，最后结合AC=AE+EC代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$BC⊥CA$，$ED⊥AB$
∴$∠ C=∠ BDE=90°$
在$Rt△ BDE$和$Rt△ BCE$中：
$\begin{cases}BD=BC\\BE=BE(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$Rt△ BDE≌ Rt△ BCE(\mathrm{HL})$
∴$EC=DE$
∵$DE=6\ \mathrm{cm}$，
∴$EC=6\ \mathrm{cm}$
又
∵$AE=8\ \mathrm{cm}$
∴$AC=AE+EC=8+6=14\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题的关键是找到图形中隐含的公共斜边，利用HL判定直角三角形全等，进而得到相等的线段，结合线段和差关系即可求解，是对全等基础判定和性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察到图中有两个直角三角形Rt△BDE和Rt△BCE，已知BD=BC，且两个三角形共斜边BE，符合直角三角形全等的HL判定条件，可先证明这两个三角形全等；再根据全等三角形对应边相等得到EC=DE，最后结合AC=AE+EC代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$BC⊥CA$，$ED⊥AB$
∴$∠ C=∠ BDE=90°$
在$Rt△ BDE$和$Rt△ BCE$中：
$\begin{cases}BD=BC\\BE=BE(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$Rt△ BDE≌ Rt△ BCE(\mathrm{HL})$
∴$EC=DE$
∵$DE=6\ \mathrm{cm}$，
∴$EC=6\ \mathrm{cm}$
又
∵$AE=8\ \mathrm{cm}$
∴$AC=AE+EC=8+6=14\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题的关键是找到图形中隐含的公共斜边，利用HL判定直角三角形全等，进而得到相等的线段，结合线段和差关系即可求解，是对全等基础判定和性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
6.(2025昭通期末)如图，$∠ D=∠ E=∠ ACB=90°$,能判定$\mathrm{Rt}△ ADC ≌\mathrm{Rt}△ CEB$的条件有().
①$AC=BC$;②$AD=CE$;
③$AC=2AD$;④$CD=BE$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$AC=BC$;②$AD=CE$;
③$AC=2AD$;④$CD=BE$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
首先根据已知的三个直角，利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，可推出$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$的两组锐角对应相等，此时只需添加一组对应边相等即可判定两三角形全等，接下来逐一验证4个条件是否满足全等判定要求即可。
【解析】
已知$∠ D=∠ E=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$，
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$∠ BCE + ∠ CBE = 90°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ CBE$，同理可证$∠ DAC = ∠ BCE$。
逐个判断条件：
①添加$AC=BC$：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ ACD=∠ CBE \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，符合要求；
②添加$AD=CE$：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\AD=CE \\∠ DAC=∠ BCE\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{ASA})$，符合要求；
③添加$AC=2AD$：
仅能推出$\mathrm{Rt}△ ADC$中$∠ ACD=30°$，无法得到两三角形的对应边相等，不能判定全等，不符合要求；
④添加$CD=BE$：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ ACD=∠ CBE \\CD=BE\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，符合要求。
综上，符合条件的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、余角的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题时先推导得到两组对应角相等是突破口，再结合全等判定定理验证添加的条件即可，需要注意没有对应边相等的条件无法判定三角形全等。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的三个直角，利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，可推出$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$的两组锐角对应相等，此时只需添加一组对应边相等即可判定两三角形全等，接下来逐一验证4个条件是否满足全等判定要求即可。
【解析】
已知$∠ D=∠ E=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$，
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$∠ BCE + ∠ CBE = 90°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ CBE$，同理可证$∠ DAC = ∠ BCE$。
逐个判断条件：
①添加$AC=BC$：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ ACD=∠ CBE \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，符合要求；
②添加$AD=CE$：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\AD=CE \\∠ DAC=∠ BCE\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{ASA})$，符合要求；
③添加$AC=2AD$：
仅能推出$\mathrm{Rt}△ ADC$中$∠ ACD=30°$，无法得到两三角形的对应边相等，不能判定全等，不符合要求；
④添加$CD=BE$：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\∠ ACD=∠ CBE \\CD=BE\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，符合要求。
综上，符合条件的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、余角的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题时先推导得到两组对应角相等是突破口，再结合全等判定定理验证添加的条件即可，需要注意没有对应边相等的条件无法判定三角形全等。
【难度系数】
0.7
