10.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点。已知$BC=3$，$CD=2.4$，$A'B'=2.2$，$B'C'=2$，$∠ B=70°$，$∠ C=110°$，$∠ D=90°$，求边AB，$C'D'$的长和$∠ A'$的度数。

10. 解:
∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点,
∴∠A=∠A',$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$。
∵BC=3,CD=2.4,A'B'=2.2,B'C'=2,
∴$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$,
解得AB=3.3,C'D'=1.6。
在四边形ABCD中,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠B=70°,∠C=110°,∠D=90°,
∴∠A=360°-(70°+110°+90°)=90°。
∴∠A'=90°。

11.如图,矩形纸片ABCD的边AB的长为2 cm,动直线l分别交AD,BC于E,F两点,且EF//AB。
(1)若直线l是矩形ABCD的一条对称轴,且沿着直线l剪开后得到的矩形EFCD与原矩形相似,试求AD的长。
(2)若使$AD=(\sqrt{5} +1)cm,$试探究:在边AD上是否存在点E,使剪刀沿着直线l剪开后,所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况?若存在,请求出AE的值,并判断点E在边AD上的位置的特殊性;若不存在,试说明理由。

解:(1)
∵矩形 EFCD∽矩形 BCDA，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
设 $CF=x$ cm,则 $AD=2x$ cm。
又
∵$CD=AB=2$ cm，
∴$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$，
解得 $x=\sqrt{2}$，
∴$AD=2\sqrt{2}$ cm。
(2)假设存在矩形 EFCD 与矩形 ABCD 相似，则 DC 必与 AD 对应，ED 必与 DC 对应，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{ED}{DC}$。
∴$DC^2=AD· ED$。
又
∵$DC=2$ cm，$AD=(\sqrt{5}+1)$cm，
∴$ED=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=(\sqrt{5}-1)$cm。
∴$AE=AD-ED=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$(cm)。
∵$AE=2$，$ED=\sqrt{5}-1$，且 $2＞\sqrt{5}-1$，
∴依据对称性考虑，必定存在当 $AE=(\sqrt{5}-1)$cm 时矩形 ABFE 与矩形ABCD相似的情形。
综上所述，当 $AE=(\sqrt{5}-1)$cm 或 2 cm 时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似的情况。