【例4】 如图15-4,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)作AC的垂直平分线MN,分别交AB,AC于点M,N,连接CM(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明).
(2)若$∠ A=30°,MN=2$,求CM的长度.
(3)在(2)的条件下,判断$△ CMB$的形状,并说明理由.
思路分析:在$\mathrm{Rt}△ ANM$中,$∠ A=30°$,利用含$30°$角的直角三角形的性质可得$AM=2MN$.
解:(1)如图15-4,MN即为所求.
(2)由题意,可知$AM=CM,∠ ANM=90°$.
$\because ∠ A=30°,MN=2,\therefore AM=2MN=4.\therefore CM=AM=4$.
(3)$△ CMB$是等边三角形.
理由:由题意,可知$∠ B=60°$.
$\because AM=CM,∠ A=30°,\therefore ∠ A=∠ ACM=30°.\therefore ∠ BCM=60°$.
$\therefore △ CMB$是等边三角形.

解：
(1) 尺规作图结果如图15-4所示，MN即为所求的AC的垂直平分线。
(2) 由AC的垂直平分线MN可知：$AM=CM$，$∠ ANM=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ANM$中，$∠ A=30°$，$MN=2$，
根据含$30°$角的直角三角形的性质，得$AM=2MN=4$，
$\therefore CM=AM=4$。
(3) $△ CMB$是等边三角形，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90° - 30°=60°$。
$\because AM=CM$，
$\therefore ∠ A=∠ ACM=30°$，
$\therefore ∠ BCM=∠ ACB - ∠ ACM=90° - 30°=60°$。
在$△ CMB$中，$∠ CMB=180° - ∠ B - ∠ BCM=60°$，
$\therefore ∠ BCM=∠ B=∠ CMB=60°$，
$\therefore △ CMB$是等边三角形。