登录
6.已知点$ A(a,n),B(b,n),C(c,n-2) $，都在抛物线$ y=-x^2-2x+1 $上，其中$ a＜b $，则下列选项正确的（
A.若$ c＜0 $，则$ a＜c＜b $
B.若$ c＜0 $，则$ a＜b＜c $
C.若$ c＞0 $，则$ a＜c＜b $
D.若$ c＞0 $，则$ a＜b＜c $
D
）A.若$ c＜0 $，则$ a＜c＜b $
B.若$ c＜0 $，则$ a＜b＜c $
C.若$ c＞0 $，则$ a＜c＜b $
D.若$ c＞0 $，则$ a＜b＜c $
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件中A、B两点纵坐标相同入手，结合二次函数的性质思考：①先求抛物线的开口方向和对称轴，纵坐标相等的两个点关于抛物线对称轴对称，由此可确定a、b与对称轴的位置关系；②再根据C点纵坐标小于A、B的纵坐标，结合开口向下时“点到对称轴距离越远，纵坐标越小”的规律，判断C点到对称轴的距离大于A、B到对称轴的距离；最后分c＜0和c＞0两种情况，对比各点横坐标的大小，判断选项正误。
【解析】
首先整理抛物线解析式$y=-x^2-2x+1$，其中二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=-2$，得对称轴为：
$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$
$\because A(a,n)$、$B(b,n)$纵坐标相同，$\therefore A、B$关于对称轴$x=-1$对称，满足$\frac{a+b}{2}=-1$，又$\because a＜b$，$\therefore a＜-1＜b$，且A、B到对称轴$x=-1$的距离相等。
$\because C(c,n-2)$的纵坐标$n-2＜n$，抛物线开口向下，$\therefore$点C到对称轴$x=-1$的距离大于A、B到对称轴的距离。
接下来分情况讨论：
1. 若$c＜0$：此时C点在y轴左侧，可能位于A点左侧（$c＜a$），也可能存在其他位置，无法确定$c$与$a、b$的固定大小关系，因此A、B选项均错误。
2. 若$c＞0$：此时C点在y轴右侧，到对称轴的距离为$c-(-1)=c+1＞1$；而B点在对称轴右侧，到对称轴的距离为$b-(-1)=b+1$，因C到对称轴距离更大，故$c+1＞b+1$，即$c＞b$，因此横坐标大小关系为$a＜-1＜b＜c$，即$a＜b＜c$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性和开口方向与纵坐标的关系解题，解题关键是先确定对称轴，结合点的纵坐标特征判断各点到对称轴的距离关系，再分情况讨论即可得出结论，解题时注意不要混淆开口方向和点到对称轴距离、纵坐标大小的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件中A、B两点纵坐标相同入手，结合二次函数的性质思考：①先求抛物线的开口方向和对称轴，纵坐标相等的两个点关于抛物线对称轴对称，由此可确定a、b与对称轴的位置关系；②再根据C点纵坐标小于A、B的纵坐标，结合开口向下时“点到对称轴距离越远，纵坐标越小”的规律，判断C点到对称轴的距离大于A、B到对称轴的距离；最后分c＜0和c＞0两种情况，对比各点横坐标的大小，判断选项正误。
【解析】
首先整理抛物线解析式$y=-x^2-2x+1$，其中二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=-2$，得对称轴为：
$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$
$\because A(a,n)$、$B(b,n)$纵坐标相同，$\therefore A、B$关于对称轴$x=-1$对称，满足$\frac{a+b}{2}=-1$，又$\because a＜b$，$\therefore a＜-1＜b$，且A、B到对称轴$x=-1$的距离相等。
$\because C(c,n-2)$的纵坐标$n-2＜n$，抛物线开口向下，$\therefore$点C到对称轴$x=-1$的距离大于A、B到对称轴的距离。
接下来分情况讨论：
1. 若$c＜0$：此时C点在y轴左侧，可能位于A点左侧（$c＜a$），也可能存在其他位置，无法确定$c$与$a、b$的固定大小关系，因此A、B选项均错误。
2. 若$c＞0$：此时C点在y轴右侧，到对称轴的距离为$c-(-1)=c+1＞1$；而B点在对称轴右侧，到对称轴的距离为$b-(-1)=b+1$，因C到对称轴距离更大，故$c+1＞b+1$，即$c＞b$，因此横坐标大小关系为$a＜-1＜b＜c$，即$a＜b＜c$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性和开口方向与纵坐标的关系解题，解题关键是先确定对称轴，结合点的纵坐标特征判断各点到对称轴的距离关系，再分情况讨论即可得出结论，解题时注意不要混淆开口方向和点到对称轴距离、纵坐标大小的对应关系。
【难度系数】
0.6
7.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的关系为$y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3$，由此可知铅球推出的距离是
10
m.答案
7.10
解析
【分析】要解决这个问题，首先要明确铅球推出距离的实际含义：当铅球落地时，行进高度$ y=0 $，此时对应的水平距离$ x $就是铅球推出的距离。因此只需将$ y=0 $代入给定的二次函数解析式，求解一元二次方程，再舍去不符合实际意义的负根，即可得到结果。
【解析】铅球落地时高度$ y=0 $，将$ y=0 $代入$ y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3 $，得：
$0=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3$
移项得：$\dfrac{1}{12}(x-4)^2 = 3$
两边同时乘12得：$(x-4)^2 = 36$
开平方得：$x-4 = \pm 6$
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$
由于水平距离不能为负，舍去$x=-2$，因此铅球推出的距离是10m。
【答案】10
【知识点】二次函数实际应用；函数与方程的关系；一元二次方程求解
【点评】本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确把握实际问题中变量的取值意义，注意舍去不符合实际的解，是二次函数应用的常见基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】铅球落地时高度$ y=0 $，将$ y=0 $代入$ y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3 $，得：
$0=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3$
移项得：$\dfrac{1}{12}(x-4)^2 = 3$
两边同时乘12得：$(x-4)^2 = 36$
开平方得：$x-4 = \pm 6$
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$
由于水平距离不能为负，舍去$x=-2$，因此铅球推出的距离是10m。
【答案】10
【知识点】二次函数实际应用；函数与方程的关系；一元二次方程求解
【点评】本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确把握实际问题中变量的取值意义，注意舍去不符合实际的解，是二次函数应用的常见基础题型。
【难度系数】0.8
8.某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种
10
棵橘子树，橘子总个数最多.答案
8.10
解析
【分析】
这是一道二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：首先根据题目给出的数量关系，列出橘子总个数y与增种棵数x之间的函数关系式；再结合二次函数的图象性质，因为二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，最后计算顶点的横坐标即可得到答案，注意自变量x需符合实际意义（非负整数）。
【解析】
根据题意，增种x棵树后，果园总共有$(100+x)$棵橘子树，平均每棵树结$(600-5x)$个橘子，因此总个数y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(100+x)(600-5x)\\&=-5x^2 + 100x + 60000\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-5)}=10$
10为非负整数，符合实际种植的要求，因此增种10棵橘子树时，橘子总个数最多。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值计算；实际问题函数建模
【点评】
本题是二次函数在实际生产中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意验证所求自变量的值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：首先根据题目给出的数量关系，列出橘子总个数y与增种棵数x之间的函数关系式；再结合二次函数的图象性质，因为二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，最后计算顶点的横坐标即可得到答案，注意自变量x需符合实际意义（非负整数）。
【解析】
根据题意，增种x棵树后，果园总共有$(100+x)$棵橘子树，平均每棵树结$(600-5x)$个橘子，因此总个数y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(100+x)(600-5x)\\&=-5x^2 + 100x + 60000\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-5)}=10$
10为非负整数，符合实际种植的要求，因此增种10棵橘子树时，橘子总个数最多。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值计算；实际问题函数建模
【点评】
本题是二次函数在实际生产中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意验证所求自变量的值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9. 图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示.升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米.将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变.求此时喷射的水柱落地点与O的距离. 
答案
9.6米
