9 一个三角形三边的长度之比为$3:5:7$，与它相似的一个三角形的最长边的长度是21 cm，则其另外两边的长度之和是（）

A.15 cm
B.18 cm
C.21 cm
D.24 cm

D

10 [2024杭州西湖期末]已知在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=9$，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$边上的点，且$AD=2$。若$△ ABC$和$△ ADE$相似，则$AE$的长为（）

A.5
B.3
C.$\frac{4}{3}$
D.3或$\frac{4}{3}$

D

11 如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，$∠ E = 90°$，$AC = 3$，$BC = 4$，$AE = 2$，则$AD =$。

$\frac{10}{3}$

12 如图，$△ ABC ∽ △ ACD$. 若$∠ A = 35°$，$∠ B = 65°$，则$∠ BCD$的度数为.

$15°$ 解析: 因为$△ ABC ∽ △ ACD$, 所以$∠ ACB = ∠ ADC$, $∠ B = ∠ ACD = 65°$. 所以$∠ ADC = 180° - ∠ A - ∠ ACD = 180° - 35° - 65° = 80°$. 所以 $∠ ACB = 80°$. 所以 $∠ BCD = ∠ ACB - ∠ ACD = 80° - 65° = 15°$.

13 教材变式题 如图，D，E，F分别是△ABC三边的中点.
（1）求证：△ABC∽△EFD；
（2）△ABC与△EFD的相似比为.
（第13题）

13. (1) 因为E,F分别是BC,AC的中点,所以EF//AB,EF=$\frac{1}{2}$AB,即EF//AD,$\frac{AB}{EF}=2$. 因为D是AB的中点,所以AD=$\frac{1}{2}$AB. 所以EF=AD. 所以四边形ADEF是平行四边形. 所以∠A=∠DEF. 同理,可证$\frac{AC}{ED}=2$且∠C=∠EDF,$\frac{BC}{FD}=2$且∠B=∠DFE,所以在△ABC 和△EFD 中,∠A=∠DEF,∠B=∠DFE,∠C=∠EDF,$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FD}=\frac{AC}{ED}=2$. 所以△ABC∽△EFD
(2) 2:1

14 方程思想 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$出发，沿$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动，同时点$Q$从点$B$出发，沿$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动，当$P$，$Q$两点中有一点到达终点时，则同时停止运动。设点$P$运动的时间为$x\ \mathrm{s}$（$x＞0$）。
（1）点$P$运动几秒后，$△ PBQ$的面积等于$4\ \mathrm{cm}^2$？
（2）点$P$运动几秒后，$PQ$的长为$5\ \mathrm{cm}$？
（3）点$P$运动几秒后，以$B$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似？

由题意,得AP=x cm,BP=(5-x)cm,BQ=2x cm(0＜x≤3.5).
(1) 根据△PBQ的面积为4 cm²,可得$\frac{1}{2}(5-x)×2x=4$,整理,得$x^2-5x+4=0$,解得x=1或x=4(舍去).所以点P运动1 s后,△PBQ的面积为4 cm²
(2) 因为∠B=90°,所以$BP^2+BQ^2=PQ^2$,即$(5-x)^2+(2x)^2=5^2$,整理,得$x^2-2x=0$,解得x=0(舍去)或x=2.所以点P运动2 s后,PQ的长为5 cm
(3) 当△BQP∽△BCA时,$\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{BA}$,即$\frac{2x}{7}=\frac{5-x}{5}$,解得$x=\frac{35}{17}$;当△BQP∽△BAC时,$\frac{BQ}{BA}=\frac{BP}{BC}$,即$\frac{2x}{5}=\frac{5-x}{7}$,解得$x=\frac{25}{19}$.所以点P运动$\frac{35}{17}$ s或$\frac{25}{19}$ s后,以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似