登录
相同规格(长为14,宽为8)的长方形硬纸板,剪掉阴影部分后,将剩余的部分沿虚线折叠,制作成底面为正方形的长方体箱子,有如图所示的甲、乙两种方案,所得长方体体积分别记为$V_甲$和$V_乙$.下列说法正确的是 （
A.$V_甲＞V_乙$
B.$V_甲=V_乙$
C.$V_甲＜V_乙$
D.无法判断
A
）A.$V_甲＞V_乙$
B.$V_甲=V_乙$
C.$V_甲＜V_乙$
D.无法判断
答案
A.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要结合甲、乙两种裁剪方案的图形特征，分别求出折叠后底面为正方形的长方体的底面边长和高，再利用长方体体积公式计算两个体积，最后比较大小即可。思考步骤如下：
1. 对于甲方案：观察图形可知，长方形的宽8刚好对应4个正方形底面的边长，可先求出甲的底面边长；再用长方形的长14减去2个底面边长，得到甲对应的长方体的高。
2. 对于乙方案：观察图形可知，长方形的长14刚好对应4个正方形底面的边长，可先求出乙的底面边长；再用长方形的宽8减去2个底面边长，得到乙对应的长方体的高。
3. 分别代入长方体体积公式计算，再比较体积大小。
【解析】
根据长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，分别计算$V_甲$和$V_乙$：
1. 计算$V_甲$：
甲方案中底面正方形的边长：$a_甲=8÷4=2$
甲方案中长方体的高：$h_甲=14-2×2=10$
$V_甲=2×2×10=40$
2. 计算$V_乙$：
乙方案中底面正方形的边长：$a_乙=14÷4=3.5$
乙方案中长方体的高：$h_乙=8-2×3.5=1$
$V_乙=3.5×3.5×1=12.25$
因为$40＞12.25$，所以$V_甲＞V_乙$。
【答案】
A
【知识点】
长方体体积计算，立体图形展开与折叠，正方形的性质
【点评】
本题需要结合平面展开图的特征，推导立体图形各棱长的数量关系，既考查对立体图形和平面展开图对应关系的理解，也考查基础的公式运用能力，需要具备一定的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要结合甲、乙两种裁剪方案的图形特征，分别求出折叠后底面为正方形的长方体的底面边长和高，再利用长方体体积公式计算两个体积，最后比较大小即可。思考步骤如下：
1. 对于甲方案：观察图形可知，长方形的宽8刚好对应4个正方形底面的边长，可先求出甲的底面边长；再用长方形的长14减去2个底面边长，得到甲对应的长方体的高。
2. 对于乙方案：观察图形可知，长方形的长14刚好对应4个正方形底面的边长，可先求出乙的底面边长；再用长方形的宽8减去2个底面边长，得到乙对应的长方体的高。
3. 分别代入长方体体积公式计算，再比较体积大小。
【解析】
根据长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，分别计算$V_甲$和$V_乙$：
1. 计算$V_甲$：
甲方案中底面正方形的边长：$a_甲=8÷4=2$
甲方案中长方体的高：$h_甲=14-2×2=10$
$V_甲=2×2×10=40$
2. 计算$V_乙$：
乙方案中底面正方形的边长：$a_乙=14÷4=3.5$
乙方案中长方体的高：$h_乙=8-2×3.5=1$
$V_乙=3.5×3.5×1=12.25$
因为$40＞12.25$，所以$V_甲＞V_乙$。
【答案】
A
【知识点】
长方体体积计算，立体图形展开与折叠，正方形的性质
【点评】
本题需要结合平面展开图的特征，推导立体图形各棱长的数量关系，既考查对立体图形和平面展开图对应关系的理解，也考查基础的公式运用能力，需要具备一定的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
1. 圆柱由
3
个面围成，圆锥由 2
个面围成，它们的底面都是 圆
，侧面都是 曲
（选填“曲”或“平”）面。答案
1. 3；2；圆；曲。
解析
【分析】
解题时结合圆柱、圆锥的结构特征，再区分平面和曲面的定义逐步推导即可：
第一步，先数圆柱的面：圆柱包含上下两个相同的圆形底面，还有1个环绕的侧面，合计3个面；
第二步，再数圆锥的面：圆锥包含1个圆形底面，还有1个倾斜的侧面，合计2个面；
第三步，判断底面形状：二者的底面都是圆形；
第四步，判断侧面类型：圆柱和圆锥的侧面都不是平整的，属于曲面。
【解析】
1. 计算圆柱的面数：圆柱有2个互相平行的圆形平面底面，还有1个侧面，总面数为2+1=3个；
2. 计算圆锥的面数：圆锥有1个圆形平面底面，还有1个侧面，总面数为1+1=2个；
3. 识别底面形状：观察可知圆柱和圆锥的底面都是圆形；
4. 区分侧面属性：平面是平整无弯曲的面，曲面是存在弧度的面，圆柱、圆锥的侧面都有弯曲，属于曲面。
【答案】
3；2；圆；曲
【知识点】
圆柱的特征；圆锥的特征；面的分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考查常见立体图形的构成和面的属性区分，牢记圆柱、圆锥等常见几何体的结构特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时结合圆柱、圆锥的结构特征，再区分平面和曲面的定义逐步推导即可：
第一步，先数圆柱的面：圆柱包含上下两个相同的圆形底面，还有1个环绕的侧面，合计3个面；
第二步，再数圆锥的面：圆锥包含1个圆形底面，还有1个倾斜的侧面，合计2个面；
第三步，判断底面形状：二者的底面都是圆形；
第四步，判断侧面类型：圆柱和圆锥的侧面都不是平整的，属于曲面。
【解析】
1. 计算圆柱的面数：圆柱有2个互相平行的圆形平面底面，还有1个侧面，总面数为2+1=3个；
2. 计算圆锥的面数：圆锥有1个圆形平面底面，还有1个侧面，总面数为1+1=2个；
3. 识别底面形状：观察可知圆柱和圆锥的底面都是圆形；
4. 区分侧面属性：平面是平整无弯曲的面，曲面是存在弧度的面，圆柱、圆锥的侧面都有弯曲，属于曲面。
【答案】
3；2；圆；曲
【知识点】
圆柱的特征；圆锥的特征；面的分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考查常见立体图形的构成和面的属性区分，牢记圆柱、圆锥等常见几何体的结构特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
2. 五棱柱有
10
个顶点，15
条棱，7
个面。答案
2. 10；15；7。
解析
【分析】
解题时先明确五棱柱的结构：它有2个完全相同的五边形底面，还有5个侧面。我们可以分别从顶点、棱、面的组成来计数，也可以用n棱柱的通用规律计算：n棱柱的底面是n边形，对应有2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面，本题中n=5，代入规律即可快速得出结果。
【解析】
1. 顶点数计算：五棱柱的上下两个底面都是五边形，每个五边形有5个顶点，因此总顶点数为 $5×2=10$；
2. 棱数计算：上下两个底面各有5条棱，还有5条连接上下底面对应顶点的侧棱，因此总棱数为 $5×2 + 5 =15$；
3. 面数计算：包含2个底面和5个侧面，因此总面数为 $2+5=7$。
【答案】
10；15；7
【知识点】
棱柱的结构特征、立体图形点线面计数
【点评】
本题是基础题，考查对棱柱结构的认识，记住n棱柱的点线面数量规律就能快速解题，平时可结合实物观察加深对立体图形的理解。
【难度系数】
0.9
解题时先明确五棱柱的结构：它有2个完全相同的五边形底面，还有5个侧面。我们可以分别从顶点、棱、面的组成来计数，也可以用n棱柱的通用规律计算：n棱柱的底面是n边形，对应有2n个顶点、3n条棱、(n+2)个面，本题中n=5，代入规律即可快速得出结果。
【解析】
1. 顶点数计算：五棱柱的上下两个底面都是五边形，每个五边形有5个顶点，因此总顶点数为 $5×2=10$；
2. 棱数计算：上下两个底面各有5条棱，还有5条连接上下底面对应顶点的侧棱，因此总棱数为 $5×2 + 5 =15$；
3. 面数计算：包含2个底面和5个侧面，因此总面数为 $2+5=7$。
【答案】
10；15；7
【知识点】
棱柱的结构特征、立体图形点线面计数
【点评】
本题是基础题，考查对棱柱结构的认识，记住n棱柱的点线面数量规律就能快速解题，平时可结合实物观察加深对立体图形的理解。
【难度系数】
0.9
3. 流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为
点动成线
。答案
3. 点动成线。
解析
【分析】
解题时首先要把生活中的实际物体抽象为几何元素：流星体积很小，可看作几何意义上的“点”，流星划过天空的过程就是这个点运动的过程，它留下的明亮光线就是点运动后形成的轨迹，结合点和线的运动变化规律，就能推导出对应的数学原理。
【解析】
我们可将流星抽象为一个几何点，流星划过天空属于点的运动过程，运动后留下的明亮光线就是线，因此该现象对应的数学原理为点动成线。
【答案】
点动成线
【知识点】
点动成线；点线面的关系
【点评】
本题结合生活场景考查几何基本原理的应用，需要学会将生活中的事物抽象为几何元素，再结合对应知识点作答，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要把生活中的实际物体抽象为几何元素：流星体积很小，可看作几何意义上的“点”，流星划过天空的过程就是这个点运动的过程，它留下的明亮光线就是点运动后形成的轨迹，结合点和线的运动变化规律，就能推导出对应的数学原理。
【解析】
我们可将流星抽象为一个几何点，流星划过天空属于点的运动过程，运动后留下的明亮光线就是线，因此该现象对应的数学原理为点动成线。
【答案】
点动成线
【知识点】
点动成线；点线面的关系
【点评】
本题结合生活场景考查几何基本原理的应用，需要学会将生活中的事物抽象为几何元素，再结合对应知识点作答，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
4. 面与面相交成
线
，线与线相交得到点
.答案
4. 线；点。
解析
【分析】
这道题考查点、线、面、体的基本关系，解题时可结合生活实例对应概念推导：首先联想面和面相交的实际场景，比如墙面与地面相交，公共部分是一条线；再联想线与线相交的场景，比如交叉摆放的两根铅笔，公共接触的位置是一个点，结合课本对应的基础概念即可得出结果。
【解析】
根据几何元素的相交规律：面与面相交的公共部分为线，例如长方体相邻两个面相交得到的棱就属于线；线与线相交的公共部分为点，例如平面内两条相交直线的公共部分就是交点。因此第一空填线，第二空填点。
【答案】
线；点
【知识点】
点线面体的基本关系
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，核心考查几何基础元素之间的关联规律，牢记相关概念即可快速作答，是几何入门阶段的常规基础题。
【难度系数】
0.9
这道题考查点、线、面、体的基本关系，解题时可结合生活实例对应概念推导：首先联想面和面相交的实际场景，比如墙面与地面相交，公共部分是一条线；再联想线与线相交的场景，比如交叉摆放的两根铅笔，公共接触的位置是一个点，结合课本对应的基础概念即可得出结果。
【解析】
根据几何元素的相交规律：面与面相交的公共部分为线，例如长方体相邻两个面相交得到的棱就属于线；线与线相交的公共部分为点，例如平面内两条相交直线的公共部分就是交点。因此第一空填线，第二空填点。
【答案】
线；点
【知识点】
点线面体的基本关系
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，核心考查几何基础元素之间的关联规律，牢记相关概念即可快速作答，是几何入门阶段的常规基础题。
【难度系数】
0.9
问题 推理猜测题：
（1）三棱锥有条棱，四棱锥有条棱，十棱锥有条棱；
（2）三棱柱有条棱，四棱柱有条棱，十棱柱有条棱；
（3）棱锥有30条棱；
（4）棱柱有60条棱。
（1）三棱锥有条棱，四棱锥有条棱，十棱锥有条棱；
（2）三棱柱有条棱，四棱柱有条棱，十棱柱有条棱；
（3）棱锥有30条棱；
（4）棱柱有60条棱。
答案
解：
（1）三棱锥有6条棱，四棱锥有8条棱，十棱锥有20条棱；
（2）三棱柱有9条棱，四棱柱有12条棱，十棱柱有30条棱；
（3）十五棱锥有30条棱；
（4）二十棱柱有60条棱。
（1）三棱锥有6条棱，四棱锥有8条棱，十棱锥有20条棱；
（2）三棱柱有9条棱，四棱柱有12条棱，十棱柱有30条棱；
（3）十五棱锥有30条棱；
（4）二十棱柱有60条棱。
解析
【分析】
解题时先从棱锥、棱柱的结构特征入手找通用规律：①n棱锥的底面是n边形，有n条底棱，顶点连接底面各顶点有n条侧棱，总棱数为底棱加侧棱，即2n条；②n棱柱的上下两个底面都是n边形，共2n条底棱，侧面有n条侧棱，总棱数为2n+n=3n条。找到规律后，已知棱锥、棱柱的棱数对应n的值可直接计算总棱数；已知总棱数，反过来列方程求解n即可得到对应是几棱锥或几棱柱。
【解析】
先推导通用规律再代入计算：
1. 棱锥棱数规律：n棱锥共有$2n$条棱
（1）三棱锥：$n=3$，总棱数$=2×3=6$；四棱锥：$n=4$，总棱数$=2×4=8$；十棱锥：$n=10$，总棱数$=2×10=20$。
2. 棱柱棱数规律：n棱柱共有$3n$条棱
（2）三棱柱：$n=3$，总棱数$=3×3=9$；四棱柱：$n=4$，总棱数$=3×4=12$；十棱柱：$n=10$，总棱数$=3×10=30$。
3. 逆推求解：
（3）棱锥总棱数为30，列方程$2n=30$，解得$n=15$，即十五棱锥。
（4）棱柱总棱数为60，列方程$3n=60$，解得$n=20$，即二十棱柱。
【答案】
（1）6，8，20；（2）9，12，30；（3）十五；（4）二十
【知识点】
棱锥的结构特征，棱柱的结构特征，规律探究
【点评】
本题考查立体图形的结构认知，通过从特殊到一般归纳规律、再用规律解决问题的考查方式，既要求学生熟练掌握棱柱、棱锥的基本构成，也能很好地锻炼学生的归纳推理能力和逆向思维能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从棱锥、棱柱的结构特征入手找通用规律：①n棱锥的底面是n边形，有n条底棱，顶点连接底面各顶点有n条侧棱，总棱数为底棱加侧棱，即2n条；②n棱柱的上下两个底面都是n边形，共2n条底棱，侧面有n条侧棱，总棱数为2n+n=3n条。找到规律后，已知棱锥、棱柱的棱数对应n的值可直接计算总棱数；已知总棱数，反过来列方程求解n即可得到对应是几棱锥或几棱柱。
【解析】
先推导通用规律再代入计算：
1. 棱锥棱数规律：n棱锥共有$2n$条棱
（1）三棱锥：$n=3$，总棱数$=2×3=6$；四棱锥：$n=4$，总棱数$=2×4=8$；十棱锥：$n=10$，总棱数$=2×10=20$。
2. 棱柱棱数规律：n棱柱共有$3n$条棱
（2）三棱柱：$n=3$，总棱数$=3×3=9$；四棱柱：$n=4$，总棱数$=3×4=12$；十棱柱：$n=10$，总棱数$=3×10=30$。
3. 逆推求解：
（3）棱锥总棱数为30，列方程$2n=30$，解得$n=15$，即十五棱锥。
（4）棱柱总棱数为60，列方程$3n=60$，解得$n=20$，即二十棱柱。
【答案】
（1）6，8，20；（2）9，12，30；（3）十五；（4）二十
【知识点】
棱锥的结构特征，棱柱的结构特征，规律探究
【点评】
本题考查立体图形的结构认知，通过从特殊到一般归纳规律、再用规律解决问题的考查方式，既要求学生熟练掌握棱柱、棱锥的基本构成，也能很好地锻炼学生的归纳推理能力和逆向思维能力。
【难度系数】
0.8
