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1. 一般地，对于方程 $ x^2 = p $，
（1）当 $ p $
（2）当 $ p $
（3）当 $ p $
2. 形如 $ x^2 = p $ 或 $ (nx + m)^2 = p \ (p ≥ 0) $ 的一元二次方程可采用直接开平方降次的方法来解。如果方程化成 $ x^2 = p $ 的形式，那么 $ x = $
（1）当 $ p $
＞0
时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 $ x_1 = \sqrt{p} $，$ x_2 = -\sqrt{p} $；（2）当 $ p $
=0
时，方程有两个相等的实数根 $ x_1 = x_2 = 0 $；（3）当 $ p $
＜0
时，因为对任意实数 $ x $，都有 $ x^2 ≥ 0 $，所以方程无实数根。2. 形如 $ x^2 = p $ 或 $ (nx + m)^2 = p \ (p ≥ 0) $ 的一元二次方程可采用直接开平方降次的方法来解。如果方程化成 $ x^2 = p $ 的形式，那么 $ x = $
±√p
；如果方程化成 $ (nx + m)^2 = p \ (p ≥ 0) $ 的形式，那么 $ nx + m = $ ±√p
。答案
1. (1) ＞0 (2) =0 (3) ＜0
2. ±√p ±√p
2. ±√p ±√p
解析
【分析】
本题结合平方根的意义考查直接开平方法解一元二次方程的适用规则。解题时先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的实数平方根，0的平方根是0，负数没有实数平方根。第一部分根据方程根的特征反推p的取值范围，第二部分将含未知数的部分看作整体，直接根据平方根的意义写出开平方的结果即可。
【解析】
1. 根据平方根的意义分情况分析：
（1）当p为正数时，p有两个不相等的实数平方根，因此p＞0时方程$x^2=p$有两个不相等的实数根$x_1=\sqrt{p}$，$x_2=-\sqrt{p}$；
（2）当p=0时，p的平方根只有0一个，因此p=0时方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$；
（3）当p为负数时，p没有实数平方根，因此p＜0时方程无实数根。
2. 根据直接开平方法的运算规则：
若方程化为$x^2=p$的形式，$x$就是$p$的两个平方根，即$x=\pm\sqrt{p}$；
若方程化为$(nx+m)^2=p\ (p≥0)$的形式，将$nx+m$看作整体，同理可得$nx+m=\pm\sqrt{p}$。
【答案】
1. (1) ＞0 (2) =0 (3) ＜0
2. $\pm\sqrt{p}$ $\pm\sqrt{p}$
【知识点】
平方根的性质；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程实根判断
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查平方根性质在解一元二次方程中的应用，是后续学习配方法、公式法等解一元二次方程方法的基础，需牢固掌握相关规则。
【难度系数】
0.9
本题结合平方根的意义考查直接开平方法解一元二次方程的适用规则。解题时先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的实数平方根，0的平方根是0，负数没有实数平方根。第一部分根据方程根的特征反推p的取值范围，第二部分将含未知数的部分看作整体，直接根据平方根的意义写出开平方的结果即可。
【解析】
1. 根据平方根的意义分情况分析：
（1）当p为正数时，p有两个不相等的实数平方根，因此p＞0时方程$x^2=p$有两个不相等的实数根$x_1=\sqrt{p}$，$x_2=-\sqrt{p}$；
（2）当p=0时，p的平方根只有0一个，因此p=0时方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$；
（3）当p为负数时，p没有实数平方根，因此p＜0时方程无实数根。
2. 根据直接开平方法的运算规则：
若方程化为$x^2=p$的形式，$x$就是$p$的两个平方根，即$x=\pm\sqrt{p}$；
若方程化为$(nx+m)^2=p\ (p≥0)$的形式，将$nx+m$看作整体，同理可得$nx+m=\pm\sqrt{p}$。
【答案】
1. (1) ＞0 (2) =0 (3) ＜0
2. $\pm\sqrt{p}$ $\pm\sqrt{p}$
【知识点】
平方根的性质；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程实根判断
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查平方根性质在解一元二次方程中的应用，是后续学习配方法、公式法等解一元二次方程方法的基础，需牢固掌握相关规则。
【难度系数】
0.9
例2 若关于$x$的方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根为2，求方程的另一个根。
—特别提醒
运用直接降次的方法解一元二次方程需注意：
（1）方程左边应化为一个数（或式）的平方的形式，右边是一个非负数；
（2）直接降次的实质是将一个二次方程转化为两个一元一次方程；
（3）直接降次的依据是平方根的意义，即通过开平方实现降次。
解 将$x=2$代入原方程，可得$(2a-1)^2 -16=0$，
所以$2a-1=\pm4$。所以$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。
当$a=\frac{5}{2}$时，方程为$(\frac{5}{2}x -1)^2 -16=0$，
即$\frac{5}{2}x -1=\pm4$，所以$x_1=2$，$x_2=-\frac{6}{5}$。
当$a=-\frac{3}{2}$时，方程为$(-\frac{3}{2}x -1)^2 -16=0$，
即$-\frac{3}{2}x -1=\pm4$，所以$x_1=-\frac{10}{3}$，$x_2=2$。
所以方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$。
—特别提醒
运用直接降次的方法解一元二次方程需注意：
（1）方程左边应化为一个数（或式）的平方的形式，右边是一个非负数；
（2）直接降次的实质是将一个二次方程转化为两个一元一次方程；
（3）直接降次的依据是平方根的意义，即通过开平方实现降次。
解 将$x=2$代入原方程，可得$(2a-1)^2 -16=0$，
所以$2a-1=\pm4$。所以$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。
当$a=\frac{5}{2}$时，方程为$(\frac{5}{2}x -1)^2 -16=0$，
即$\frac{5}{2}x -1=\pm4$，所以$x_1=2$，$x_2=-\frac{6}{5}$。
当$a=-\frac{3}{2}$时，方程为$(-\frac{3}{2}x -1)^2 -16=0$，
即$-\frac{3}{2}x -1=\pm4$，所以$x_1=-\frac{10}{3}$，$x_2=2$。
所以方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$。
答案
解：将$x=2$代入原方程，可得$(2a-1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(2a-1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$2a-1 = \pm4$，
解得$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。
当$a=\frac{5}{2}$时，原方程为$(\frac{5}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(\frac{5}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$\frac{5}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{6}{5}$。
当$a=-\frac{3}{2}$时，原方程为$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$-\frac{3}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{10}{3}$。
所以方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$。
移项得$(2a-1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$2a-1 = \pm4$，
解得$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。
当$a=\frac{5}{2}$时，原方程为$(\frac{5}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(\frac{5}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$\frac{5}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{6}{5}$。
当$a=-\frac{3}{2}$时，原方程为$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$-\frac{3}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{10}{3}$。
所以方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$。
解析
【分析】
本题已知含参数的一元二次方程的一个根，求另一个根，可按以下思路求解：首先根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，得到关于参数a的方程，求解得到a的两个取值；再分两种情况将a的值代回原方程，用直接开平方法解对应的一元二次方程；最后排除已知的根x=2，即可得到方程的另一个根。解题时要注意开平方后有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
将$x=2$代入原方程，可得$(2a-1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(2a-1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$2a-1 = \pm4$，
解得$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。
当$a=\frac{5}{2}$时，原方程为$(\frac{5}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(\frac{5}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$\frac{5}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{6}{5}$。
当$a=-\frac{3}{2}$时，原方程为$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$-\frac{3}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{10}{3}$。
所以方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$。
【答案】
方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$
【知识点】
方程根的定义，直接开平方法解方程，平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的理解和直接开平方法的运用，解题时需注意分类讨论参数a的不同取值，开平方时不要漏掉负的平方根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
本题已知含参数的一元二次方程的一个根，求另一个根，可按以下思路求解：首先根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，得到关于参数a的方程，求解得到a的两个取值；再分两种情况将a的值代回原方程，用直接开平方法解对应的一元二次方程；最后排除已知的根x=2，即可得到方程的另一个根。解题时要注意开平方后有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
将$x=2$代入原方程，可得$(2a-1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(2a-1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$2a-1 = \pm4$，
解得$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。
当$a=\frac{5}{2}$时，原方程为$(\frac{5}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(\frac{5}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$\frac{5}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{6}{5}$。
当$a=-\frac{3}{2}$时，原方程为$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 - 16 = 0$，
移项得$(-\frac{3}{2}x - 1)^2 = 16$，
由平方根的意义，得$-\frac{3}{2}x - 1 = \pm4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{10}{3}$。
所以方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$。
【答案】
方程的另一个根为$-\frac{6}{5}$或$-\frac{10}{3}$
【知识点】
方程根的定义，直接开平方法解方程，平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的理解和直接开平方法的运用，解题时需注意分类讨论参数a的不同取值，开平方时不要漏掉负的平方根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
