基础知识·预习
问题1 说一说线段的垂直平分线的两个性质，这两个命题有什么特点？
问题2 举例说明什么是互逆命题与互逆定理。

解：
问题1
线段垂直平分线的两个性质：
1. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
两个命题的特点：两个命题的题设和结论正好互换，第一个命题的题设是点在线段的垂直平分线上，结论是该点到线段两端点的距离相等；第二个命题的题设是点到线段两端点的距离相等，结论是该点在线段的垂直平分线上。
问题2
互逆命题：如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
举例：命题“两直线平行，同位角相等”，和命题“同位角相等，两直线平行”，二者是互逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也成为一个定理，这两个定理互为互逆定理。
举例：“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是已证明的定理，它的逆命题“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”经过证明也成立，是定理，这两个定理互为互逆定理。

【典型例题1】如图，
点P在线段AB的垂直平分线上，$PC ⊥ PA$，$PD ⊥ PB$，$AC=BD$.求证:点P在线段CD的垂直平分线上.
思路导引 要证明点P在线段CD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，只需证明$PD=PC$.利用线段垂直平分线的性质提供条件，通过证明$\mathrm{Rt}△ APC$与$\mathrm{Rt}△ BPD$全等，得到所需条件.
【证明】因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以$PA=PB$.因为$PC ⊥ PA$，
$PD ⊥ PB$，所以$∠ APC=∠ BPD=90°$.在$\mathrm{Rt}△ APC$和$\mathrm{Rt}△ BPD$中，$\begin{cases} AC=BD, \\ PA=PB, \end{cases}$所以$\mathrm{Rt}△ APC ≌ \mathrm{Rt}△ BPD(\mathrm{HL})$，所以$PC=PD$，所以点P在线段CD的垂直平分线上.
规律方法 1.线段垂直平分线的性质与全等三角形的性质都是证明两条线段相等的重要依据.当要证相等的两条线段能在同一个三角形中时，不妨考虑线段垂直平分线的性质.
2.线段垂直平分线的性质可以证明一个点在一条直线上，进而也可为证明直线的垂直关系提供依据.

证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ $PA = PB$。
∵ $PC ⊥ PA$，$PD ⊥ PB$，
∴ $∠ APC = ∠ BPD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$和$\mathrm{Rt}△ BPD$中，
$\begin{cases}AC = BD \\PA = PB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ APC ≌ \mathrm{Rt}△ BPD(\mathrm{HL})$，
∴ $PC = PD$，
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。