2. 二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图象和性质
函数
$y=a(x-h)^2+k$
$(a＞$$)$
$y=a(x-h)^2+k$
$(a＜0)$
开口方向
向
向
续 表
函数
$y=a(x-h)^2+k$
$(a＞0)$
$y=a(x-h)^2+k$
$(a＜0)$
对称轴
直线
顶点坐标

顶点位置
当 $h＞0$ 时，顶点在 $y$ 轴的 侧；
当 $h＜0$ 时，顶点在 $y$ 轴的 侧
增减性
当 $x＜h$ 时， 随 $x$ 的增大而 ；
当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而
当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而 ；
当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而
最值
当 $x=h$ 时，$y$ 取最小值，最小值为
当 $x=h$ 时，$y$ 取最大值，最大值为

2. 上 下 $x=h$ $(h,k)$ 右 左 减小 增大 增大 减小 $k$ $k$

典例1 将抛物线 $y=-x^2$ 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新抛物线对应的函数解析式为().

A.$y=-(x-3)^2 -2$
B.$y=-(x+3)^2 -2$
C.$y=(x+3)^2 -2$
D.$y=-(x+2)^2 -3$

B

根据二次函数图象平移“左加右减、上加下减”的规律，将抛物线$y=-x^2$向左平移3个单位长度，得到解析式$y=-(x+3)^2$，再向下平移2个单位长度，最终所得新抛物线的解析式为$y=-(x+3)^2-2$。

举一反三 将抛物线 $y=2(x-1)^2+2$ 的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得抛物线对应的函数解析式为().

A.$y=2(x-2)^2$
B.$y=2x^2$
C.$y=2(x-2)^2+4$
D.$y=2x^2+4$

B

典例2 已知抛物线$y=(x-2)^2+1$，则下列结论错误的是().

A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标为$(2,1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大

D

对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，本题中$a=1$，$h=2$，$k=1$：
1. 由$a=1＞0$，可得抛物线开口向上，A结论正确；
2. 该抛物线对称轴为直线$x=h=2$，B结论正确；
3. 该抛物线顶点坐标为$(h,k)$即$(2,1)$，C结论正确；
4. 因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧即$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，D结论错误。

举一反三 函数$y=2(x+6)^2 +5$的图象的顶点坐标为,对称轴为.

顶点坐标为$(-6,5)$，对称轴为直线$x=-6$