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7.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，连接$OB$，$OC$，若$OB=BC$，$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，求$∠ ABC$的度数。
答案
解 如图,连接OA.
∵OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°.
又C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°.
8. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，$OF ⊥ BC$于点F，$∠ BOF = 65°$，则$∠ AOD$的度数为(
A.$70°$
B.$65°$
C.$50°$
D.$45°$
（第8题图）
（第9题图）
C
).A.$70°$
B.$65°$
C.$50°$
D.$45°$
（第8题图）
（第9题图）
答案
8. C 解析
∵OF⊥BC,
∴∠BFO=90°.
∵∠BOF=65°,
∴∠B=90°−65°=25°.
∵弦CD⊥AB,AB为⊙O的直径，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$,
∴∠AOD=2∠B=50°.故选C.
∵OF⊥BC,
∴∠BFO=90°.
∵∠BOF=65°,
∴∠B=90°−65°=25°.
∵弦CD⊥AB,AB为⊙O的直径，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$,
∴∠AOD=2∠B=50°.故选C.
9.如图，A是$\odot O$上一点，BC是$\odot O$的直径，AC=2，AB=4，点D在$\odot O$上，且平分$\overset{\frown}{BC}$，则DC的长为（
A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
D
）.A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
答案
9. D 解析
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°.
∵AC=2,AB=4，
∴BC²=AB²+AC²=4²+2²=20.
∵点D在⊙O上,且平分$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴CD=BD.
在Rt△BDC中,DC²+BD²=BC²，
∴2DC²=20,
∴DC=$\sqrt{10}$.故选D.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°.
∵AC=2,AB=4，
∴BC²=AB²+AC²=4²+2²=20.
∵点D在⊙O上,且平分$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴CD=BD.
在Rt△BDC中,DC²+BD²=BC²，
∴2DC²=20,
∴DC=$\sqrt{10}$.故选D.
10. 如图，BC是$\odot O$的直径，且$AC=AB$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，则$∠ CBD$的度数为
$22.5°$
。答案
10. $22.5°$ 解析
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠CAB=90°.
∵AC=AB,
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∴∠DAB=∠DBA=67.5°，
∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=67.5°−45°=22.5°.
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠CAB=90°.
∵AC=AB,
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∴∠DAB=∠DBA=67.5°，
∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=67.5°−45°=22.5°.
11. 如图，已知AB为$\odot O$的直径，CD是弦，且$AB ⊥ CD$于点E. 连接AC，OC，BC.
(1)若$∠ ACO=25°$，求$∠ BCD$的度数；
(2)若$EB=4$，$AB=20$，求CD的长.
(1)若$∠ ACO=25°$，求$∠ BCD$的度数；
(2)若$EB=4$，$AB=20$，求CD的长.
答案
11. 解 (1)
∵OA,OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC.
∵∠ACO=25°，
∴∠OAC=∠ACO=25°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,即∠OAC+∠ABC=90°.
又AB⊥CD于点E，
∴∠BEC=90°,即∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠BCD=∠OAC=25°.
(2)
∵AB=20,AB为⊙O的直径，
∴OC=OB=10.
∵EB=4,
∴OE=OB−EB=10−4=6.
∵AB⊥CD于点E，
∴CE=DE,且△OEC为直角三角形.
在Rt△OEC中,根据勾股定理,得EC²+OE²=OC²,即EC²+6²=10²,EC²=100−36=64,解得EC=8,
∴CD=2EC=2×8=16.
∵OA,OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC.
∵∠ACO=25°，
∴∠OAC=∠ACO=25°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,即∠OAC+∠ABC=90°.
又AB⊥CD于点E，
∴∠BEC=90°,即∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠BCD=∠OAC=25°.
(2)
∵AB=20,AB为⊙O的直径，
∴OC=OB=10.
∵EB=4,
∴OE=OB−EB=10−4=6.
∵AB⊥CD于点E，
∴CE=DE,且△OEC为直角三角形.
在Rt△OEC中,根据勾股定理,得EC²+OE²=OC²,即EC²+6²=10²,EC²=100−36=64,解得EC=8,
∴CD=2EC=2×8=16.
12.如图，C为$\odot O$上一动点，$\odot O$的直径AB为10 cm，$∠ ACB$的平分线CD交$\odot O$于点D.
(1)若弦AC为6 cm，求BC，AD的长.
(2)当点C在$\odot O$上半部分运动时，试判断点D是否随着点C的变化而变化？请说明理由.
(1)若弦AC为6 cm，求BC，AD的长.
(2)当点C在$\odot O$上半部分运动时，试判断点D是否随着点C的变化而变化？请说明理由.
答案
12. 解 (1)连接OD,如图所示.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵AB=10 cm,AC=6 cm,
∴BC=8 cm.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠AOD = 2 ∠ACD = 90°, ∠BOD = 2∠BCD=90°.
在Rt△AOD 中, AD = $\sqrt{AO^2+OD^2}$ = $\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$(cm).
∴BC的长为8 cm,AD的长为$5\sqrt{2}$ cm.
(2)点D不随着点C的变化而变化.理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴在点C的运动过程中,∠ACB=90°保持不变，
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴当点C在⊙O的上半部分运动时,点D不随着点C的变化而变化.
