8. 如图,在平面直角坐标系中,$ A $是反比例函数$ y=\dfrac{k}{x}(x＞0) $图象上一点,作$ AB⊥ x $轴于$ B $点,$ AC⊥ y $轴于$ C $点,正方形$ OBAC $的面积为$ 16 $.
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)若点$ P $在反比例函数的图象上,连接$ PO $,$ PC $,且$ S_{\triangle PCO}=6 $,求$ P $点的坐标.

(1) ；(2)

(1) $ y = \dfrac{16}{x} $；(2) $ (3,\dfrac{16}{3}) $

(1) 设点$ A $的坐标为$ (a,b) $，因为$ AB ⊥ x $轴，$ AC ⊥ y $轴，所以四边形$ OBAC $为矩形，又因其为正方形，故$ a = b $，且正方形面积为$ a · b = a^2 = 16 $，解得$ a = 4 $（$ a ＞ 0 $），则$ A(4,4) $。将$ A(4,4) $代入$ y = \dfrac{k}{x} $，得$ 4 = \dfrac{k}{4} $，解得$ k = 16 $，故反比例函数表达式为$ y = \dfrac{16}{x} $。
(2) 由正方形$ OBAC $知$ C(0,4) $，设$ P(x,y) $，因$ P $在$ y = \dfrac{16}{x} $上，故$ y = \dfrac{16}{x} $。$ S_{\triangle PCO} = \dfrac{1}{2} × OC × |x| $，$ OC = 4 $，则$ \dfrac{1}{2} × 4 × x = 6 $（$ x ＞ 0 $），解得$ x = 3 $，代入$ y = \dfrac{16}{x} $得$ y = \dfrac{16}{3} $，故$ P(3,\dfrac{16}{3}) $。

函数$ y=\dfrac{k}{x + a} $的图象可以由函数$ y=\dfrac{k}{x} $的图象左右平移得到.
(1)将函数$ y=\dfrac{1}{x} $的图象向右平移$ 4 $个单位得到函数$ y=\dfrac{1}{x + a} $的图象,则$ a= $.
(2)下列关于函数$ y=\dfrac{1}{x + a} $的性质:
①图象关于点$(-a,0)$对称;②$ y $随$ x $的增大而减小;③图象关于直线$ y=-x + a $对称;④$ y $的取值范围为$ y\neq0 $.
其中说法正确的是(填写序号).
(3)根据(1)中$ a $的值,写出不等式$ \dfrac{1}{x + a}＞\dfrac{1}{x} $的解集.

(1)$- 4$
(2)①④
(3)$x \lt 0$或$x \gt 4$

(1)函数$ y = \frac{1}{x} $向右平移4个单位后，得到的函数为$ y = \frac{1}{x - 4} $，与$ y = \frac{1}{x + a} $对比，可得$a = -4$。
(2)对于①：函数$ y = \frac{1}{x + a} $的图像是将$ y = \frac{1}{x} $的图像左右平移，原对称中心$(0,0)$平移至$(-a,0)$，故①正确。
对于②：函数$ y = \frac{1}{x + a} $在每一个区间内$y$随$x$的增大而减小，但不能简单地说$y$随$x$的增大而减小（例如当$x_1 = -a - 1$和$x_2 = -a + 1$时，$y_1 = -1$，$y_2 = 1$，此时$x_1 \lt x_2$，但$y_1 \lt y_2$不成立反而在增大后减小的情况下的特殊值对比），故②错误。
对于③：例如函数$ y = \frac{1}{x} $的图像关于$y = -x$对称，平移后，对称直线也相应平移，即关于$y = -x - a$（题目给出的是$y = -x + a$）对称是错误的，通过举例原函数对称直线后，左右平移$a$个单位应为$y=-x-a$,故③错误。
对于④：由于分母$x + a \neq 0$，所以$y$的取值范围为$y \neq 0$，故④正确。
所以，正确的有①④。
(3)根据(1)中$a = -4$，不等式变为$\frac{1}{x - 4} ＞ \frac{1}{x}$，
移项，得$\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x} ＞ 0$，
通分，得$\frac{x - (x - 4)}{x(x - 4)} ＞ 0$，
即$\frac{4}{x(x - 4)} ＞ 0$，
分析此不等式，得到$x(x - 4) ＞ 0$，
解得$x ＜ 0$或$x ＞ 4$，
再考虑分母不能为0，即$x \neq 0$且$x \neq 4$，
综合以上分析，解集为$x ＜ 0$或$x ＞ 4$。