20. (10分)(2023·黑龙江中考)如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-3, 0) $，$ B(1, 0) $ 两点，交 $ y $ 轴于点 $ C $。
(1)求抛物线的解析式。
(2)抛物线上是否存在一点 $ P $，使得 $ S_{△ PBC} = \dfrac{1}{2} S_{△ ABC} $？若存在，请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

20. 解：(1)
∵抛物线 $y=ax^{2}+bx+3$ 经过点 $A(-3,0)$ 和点 $B(1,0)$ 两点，
∴$\begin{cases}9a-3b+3=0\\a+b+3=0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=-1\\b=-2\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y=-x^{2}-2x+3$
(2) 存在. 如图，设线段 $AB$ 的中点为点 $D$，可知点 $D$ 的坐标为 $(-1,0)$，过点 $D$ 作与 $BC$ 平行的直线 $l$，假设与抛物线交于点 $P_{1},P_{2}(P_{1}$ 在 $P_{2}$ 的左边，$P_{2}$ 在图中未能显示).
　　　　　
设直线 $BC$ 的函数解析式为 $y=kx+b_{1}(k≠0)$
∵直线 $BC$ 经过点 $B(1,0)$ 和 $C(0,3)$，
∴$\begin{cases}k+b_{1}=0\\b_{1}=3\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-3\\b_{1}=3\end{cases}$
∴直线 $BC$ 的函数解析式为 $y=-3x+3$
又 $P_{1}P_{2}// BC$，
可设直线 $P_{1}P_{2}$ 的函数解析式为 $y=-3x+b_{2}$
∵直线 $P_{1}P_{2}$ 经过点 $D(-1,0)$，
∴$3+b_{2}=0$，解得 $b_{2}=-3$，
∴直线 $P_{1}P_{2}$ 的函数解析式为 $y=-3x-3$
根据题意可知，$S_{△ DBC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
又 $P_{1}P_{2}// BC$，
∴直线 $P_{1}P_{2}$ 上任意一点 $P'$ 与点 $B$、点 $C$ 连线组成的 $△ P'BC$ 的面积都满足 $S_{△ P'BC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
∴直线 $P_{1}P_{2}$ 与抛物线 $y=-x^{2}-2x+3$ 的交点 $P_{1},P_{2}$ 即为所求，可得 $-3x-3=-x^{2}-2x+3$，化简得 $x^{2}-x-6=0$，
解得 $x_{1}=3,x_{2}=-2$
∴点 $P_{1}$ 的坐标为 $(-2,3)$，点 $P_{2}$ 的坐标为 $(3,-12)$