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2.(真题·台州路桥)综合与实践
根据以下素材,探索完成任务:
背景
据国际田联《田径场地设施标准手册》,400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,有8条跑道,每条跑道宽1.2米,直道长87米;跑道的弯道是半圆形,跑道第一圈(最内圈边线)弯道半径为35.0米到38.0米之间。
素材1
某校根据国际田联标准和学校场地实际,建成第一圈(最内圈边线)弯道半径为36米的标准跑道(如图)。小轩计算了各圈(各跑道内圈边线)的长(π取3.14,结果保留1位小数):
第一圈长:$87×2+2π(36+1.2×0)≈400.1$(米);
第二圈长:$87×2+2π(36+1.2×1)≈407.6$(米);
第三圈长:$87×2+2π(36+1.2×2)≈415.2$(米)。
续表
素材2
小轩紧靠第一圈边线逆时针跑步。邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车(均以所在跑道内侧边线长计路程),在图中起跑线的位置同时出发,经过20秒两人在直道第一次相遇。已知邓教练平均速度是小轩平均速度的2倍。
问题解决
任务1
(1)第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米?
(2)小轩计算的第八圈的长是多少米?
任务2
(3)小轩与教练的平均速度各是多少?
(注:在同侧直道,过两人所在点的直线与跑道边线垂直时,称两人直道相遇)
根据以下素材,探索完成任务:
背景
据国际田联《田径场地设施标准手册》,400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,有8条跑道,每条跑道宽1.2米,直道长87米;跑道的弯道是半圆形,跑道第一圈(最内圈边线)弯道半径为35.0米到38.0米之间。
素材1
某校根据国际田联标准和学校场地实际,建成第一圈(最内圈边线)弯道半径为36米的标准跑道(如图)。小轩计算了各圈(各跑道内圈边线)的长(π取3.14,结果保留1位小数):
第一圈长:$87×2+2π(36+1.2×0)≈400.1$(米);
第二圈长:$87×2+2π(36+1.2×1)≈407.6$(米);
第三圈长:$87×2+2π(36+1.2×2)≈415.2$(米)。
续表
素材2
小轩紧靠第一圈边线逆时针跑步。邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车(均以所在跑道内侧边线长计路程),在图中起跑线的位置同时出发,经过20秒两人在直道第一次相遇。已知邓教练平均速度是小轩平均速度的2倍。
问题解决
任务1
(1)第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米?
(2)小轩计算的第八圈的长是多少米?
任务2
(3)小轩与教练的平均速度各是多少?
(注:在同侧直道,过两人所在点的直线与跑道边线垂直时,称两人直道相遇)
答案
(1)$π×1.2×2≈7.5$(米)。答:第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多7.5米。
(2)$87×2+2π(36+1.2×7)≈452.8$(米)。答:小轩计算的第八圈长约是452.8米。
(3)设小轩的平均速度为x米/秒,教练的平均速度为y米/秒。
由题意得$\begin{cases} y=2x, \\ 20(x+y)=400.1+7.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{1019}{150}, \\ y=\dfrac{1019}{75} \end{cases}$。答:小轩的平均速度为$\dfrac{1019}{150}$米/秒,教练的平均速度为$\dfrac{1019}{75}$米/秒。
(2)$87×2+2π(36+1.2×7)≈452.8$(米)。答:小轩计算的第八圈长约是452.8米。
(3)设小轩的平均速度为x米/秒,教练的平均速度为y米/秒。
由题意得$\begin{cases} y=2x, \\ 20(x+y)=400.1+7.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{1019}{150}, \\ y=\dfrac{1019}{75} \end{cases}$。答:小轩的平均速度为$\dfrac{1019}{150}$米/秒,教练的平均速度为$\dfrac{1019}{75}$米/秒。
解析
【分析】
1. 任务1(1)：第三圈与第一圈的半圆形弯道长的差，本质是两圈整圆弯道的周长差，利用圆周长公式，半径差为1.2米，直接计算周长差即可简化计算，无需分别求两个半圆长度。
2. 任务1(2)：第n圈的弯道半径为第一圈半径加(n-1)个跑道宽度，第八圈对应n=8，先算出第八圈弯道半径，再结合直道长度，总跑道长=2×直道长度+2π×弯道半径，代入计算即可。
3. 任务2(3)：设小轩速度为x米/秒，教练速度为y米/秒，根据“教练速度是小轩的2倍”得y=2x；两人20秒后在直道第一次相遇，合跑总路程为第一圈长度加第三圈比第一圈多的弯道长度，据此列方程组求解。
【解析】
(1) 第三圈与第一圈的弯道周长差：
两圈弯道合为整圆，周长差=2π×半径差，半径差为1.2米，代入π=3.14得：
2×3.14×1.2≈7.5（米）
(2) 第八圈弯道半径=36 +1.2×(8-1)=44.4（米），总长度=2×87 +2×3.14×44.4≈174 +278.8≈452.8（米）
(3) 设小轩平均速度为x米/秒，教练平均速度为y米/秒，根据题意列方程组：
$\begin{cases} y=2x \\ 20(x+y)=400.1+7.5 \end{cases}$
化简第二个方程得：x+y=20.38，代入y=2x得3x=20.38，解得x=$\dfrac{1019}{150}$，y=$\dfrac{1019}{75}$
【答案】
(1) 7.5米；(2) 452.8米；(3) 小轩平均速度为$\dfrac{1019}{150}$米/秒，教练平均速度为$\dfrac{1019}{75}$米/秒
【知识点】
圆的周长公式，一元一次方程组的应用
【点评】
本题结合实际跑道场景，考查圆周长计算与行程问题的方程组应用，需理解跑道半径变化规律和相遇路程关系，是联系实际的综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 任务1(1)：第三圈与第一圈的半圆形弯道长的差，本质是两圈整圆弯道的周长差，利用圆周长公式，半径差为1.2米，直接计算周长差即可简化计算，无需分别求两个半圆长度。
2. 任务1(2)：第n圈的弯道半径为第一圈半径加(n-1)个跑道宽度，第八圈对应n=8，先算出第八圈弯道半径，再结合直道长度，总跑道长=2×直道长度+2π×弯道半径，代入计算即可。
3. 任务2(3)：设小轩速度为x米/秒，教练速度为y米/秒，根据“教练速度是小轩的2倍”得y=2x；两人20秒后在直道第一次相遇，合跑总路程为第一圈长度加第三圈比第一圈多的弯道长度，据此列方程组求解。
【解析】
(1) 第三圈与第一圈的弯道周长差：
两圈弯道合为整圆，周长差=2π×半径差，半径差为1.2米，代入π=3.14得：
2×3.14×1.2≈7.5（米）
(2) 第八圈弯道半径=36 +1.2×(8-1)=44.4（米），总长度=2×87 +2×3.14×44.4≈174 +278.8≈452.8（米）
(3) 设小轩平均速度为x米/秒，教练平均速度为y米/秒，根据题意列方程组：
$\begin{cases} y=2x \\ 20(x+y)=400.1+7.5 \end{cases}$
化简第二个方程得：x+y=20.38，代入y=2x得3x=20.38，解得x=$\dfrac{1019}{150}$，y=$\dfrac{1019}{75}$
【答案】
(1) 7.5米；(2) 452.8米；(3) 小轩平均速度为$\dfrac{1019}{150}$米/秒，教练平均速度为$\dfrac{1019}{75}$米/秒
【知识点】
圆的周长公式，一元一次方程组的应用
【点评】
本题结合实际跑道场景，考查圆周长计算与行程问题的方程组应用，需理解跑道半径变化规律和相遇路程关系，是联系实际的综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6
