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【典例1】如图，$AC⊥ BC$，$AC=BC$，$BE⊥ BC$，$AD⊥ CE$交$BC$于$D$，求证：$BE=CD$.
答案
证明:$\because ∠BCE+∠ACE=90^{\circ },∠A+∠ACE=90^{\circ },$
$\therefore ∠BCE=∠A,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠A=∠BCE,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠B, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(ASA),\therefore BE=CD.$
$\therefore ∠BCE=∠A,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠A=∠BCE,\\ AC=CB,\\ ∠ACD=∠B, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(ASA),\therefore BE=CD.$
变式.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB⊥ AC$,过$A$作直线$l$,$BD⊥ l$于$D$,$CE⊥ l$于$E$,求证:$DE=BD+CE.$
答案
证明:$\because ∠DAB+∠CAE=90^{\circ },$
$∠ACE+∠CAE=90^{\circ },\therefore ∠DAB=∠ACE,$
在$△ ABD$和$△ CAE$中,$\begin{cases} ∠DAB=∠ACE,\\ ∠ADB=∠AEC=90^{\circ },\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CAE(AAS),BD=AE,AD=CE,$
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE.$
$∠ACE+∠CAE=90^{\circ },\therefore ∠DAB=∠ACE,$
在$△ ABD$和$△ CAE$中,$\begin{cases} ∠DAB=∠ACE,\\ ∠ADB=∠AEC=90^{\circ },\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CAE(AAS),BD=AE,AD=CE,$
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE.$
【典例2】如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$BE⊥ CE$于$E$，$AD⊥ CE$于$D$，$AD=7$，$BE=3$.求$△ BDE$的面积.
答案
解:$\because ∠CAD+∠ACD=90^{\circ },∠BCE+∠ACD=90^{\circ },$
$\therefore ∠CAD=∠BCE,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠CAD=∠BCE,\\ ∠CDA=∠BEC=90^{\circ },\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(AAS),$
$\therefore CD=BE=3,CE=AD=7,$
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×4×3=6.$
$\therefore ∠CAD=∠BCE,$
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠CAD=∠BCE,\\ ∠CDA=∠BEC=90^{\circ },\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(AAS),$
$\therefore CD=BE=3,CE=AD=7,$
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×4×3=6.$
变式.如图，AC⊥BC，AC＝BC，AM⊥CM，CM＝4，求△BCM 的面积.
答案
解:过 B 点作$BN⊥CM$于 N 点，
证$△ BCN≌ △ CAM(AAS),$
$\therefore BN=CM=4,$
$\therefore S_{△ BCM}=\frac{1}{2}×4×4=8.$
【典例3】如图，CA＝CB，CA⊥CB，CE＝EF，CE⊥EF，连接BF交CE于M点，求证：BM＝FM.
答案
证明:过 B 点作$BH⊥CE$于 H 点，
在$△ BCH$和$△ CAE$中，
$\begin{cases} ∠CBH=∠ACE,\\ ∠BHC=∠E,\\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ BCH≌ △ CAE(AAS),$
$\therefore BH=CE=EF,$
在$△ BMH$和$△ FME$中,$\begin{cases} ∠BHM=∠E,\\ ∠BMH=∠EMF,\\ BH=EF, \end{cases}$
$\therefore △ BMH≌ △ FME(AAS),\therefore BM=FM.$
