1 [2024 浙江金华调研，中]证明“若 $ ∠ A + ∠ B = 180^{\circ} $，$ ∠ C + ∠ D = 180^{\circ} $，$ ∠ A = ∠ C $，则 $ ∠ B = ∠ D $”是真命题. 有以下语句：
①因为 $ ∠ A = ∠ C $(已知)；
②因为 $ ∠ A + ∠ B = 180^{\circ} $，$ ∠ C + ∠ D = 180^{\circ} $(已知)；
③所以 $ ∠ B = 180^{\circ} - ∠ A $，$ ∠ D = 180^{\circ} - ∠ C $(等式的性质)；
④所以 $ ∠ B = ∠ D $(等量代换)；
⑤所以 $ ∠ B = 180^{\circ} - ∠ C $(等量代换).
正确的推理顺序是()

A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④

1. C 【解析】因为 $ ∠ A+∠ B=180^{\circ} $，$ ∠ C+∠ D=180^{\circ} $（已知），所以 $ ∠ B=180^{\circ}-∠ A $，$ ∠ D=180^{\circ}-∠ C $（等式的性质）. 因为 $ ∠ A=∠ C $（已知），所以 $ ∠ B=180^{\circ}-∠ C $（等量代换），所以 $ ∠ B=∠ D $（等量代换），所以正确的推理顺序为②→③→①→⑤→④. 故选 C.

2 [2024 江苏镇江期末，中]【阅读】在证明命题“如果 $ a ＞ b ＞ 0 $，$ c ＜ 0 $，那么 $ a^{2}+bc ＞ ab + ac $”时，小明的证明方法如下：
证明：$ \because a ＞ b ＞ 0 $，$ \therefore a^{2} ＞ $，
$ \therefore a^{2}+bc ＞ $.
$ \because a ＞ b $，$ c ＜ 0 $，$ \therefore bc ＞ $，$ \therefore ab + bc ＞ $，
$ \therefore a^{2}+bc ＞ ab + ac $.
【问题解决】(1) 请将上面的证明过程填写完整；
(2) 有以下几个条件：①$ a ＞ b $；②$ a ＜ b $；③$ a ＜ 0 $；④$ b ＜ 0 $. 请从中选择两个作为已知条件，得出结论 $ |a| ＞ |b| $. 你选择的条件序号是，并给出证明过程.

2. 【解】(1)$ \because a ＞ b ＞ 0 $，$ \therefore a^{2} ＞ ab $，$ \therefore a^{2}+bc ＞ ab+bc $. $ \because a ＞ b $，$ c ＜ 0 $，$ \therefore bc ＞ ac $，$ \therefore ab+bc ＞ ab+ac $，$ \therefore a^{2}+bc ＞ ab+ac $. 故答案为 $ ab $，$ ab+bc $，$ ac $，$ ab+ac $. (2)选择②④. 证明：$ \because a ＜ b $，$ b ＜ 0 $，$ \therefore a ＜ 0 $，$ \therefore |a|=-a $，$ |b|=-b $. $ \because a ＜ b $，$ \therefore -a ＞ -b $，$ \therefore |a| ＞ |b| $.

3 [2024 江苏南京鼓楼区期中，中]如图.
(1) 已知 $ AB // CD $，$ ∠ A = ∠ D $，求证：$ ∠ BED = ∠ AFC $.
(2) 已知 $ ∠ A = ∠ D $，$ ∠ BED = ∠ AFC $，求证：$ AB // CD $.

3. 【证明】(1)$ \because AB// CD $，$ \therefore ∠ A=∠ AFC $，$ ∠ BED=∠ D $. $ \because ∠ A=∠ D $，$ \therefore ∠ BED=∠ AFC $. (2)$ \because ∠ BED=∠ AFC $，$ ∠ AFC+∠ AFD=180^{\circ} $，$ \therefore ∠ BED+∠ AFD=180^{\circ} $. $ \because ∠ BED+∠ AED=180^{\circ} $，$ \therefore ∠ AED=∠ AFD $. $ \because ∠ A=∠ D $，$ ∠ A+∠ D+∠ AED+∠ AFD=360^{\circ} $，$ \therefore 2∠ D+2∠ AED=360^{\circ} $，$ \therefore ∠ D+∠ AED=180^{\circ} $，$ \therefore AB// CD $.

4 思想方法 分类讨论 [2025 辽宁沈阳期中，较难]数学课上，老师提出一个问题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论，请按她的思路完成探究：

(1) 情况①的推理过程中的“依据”是；
(2) 请补全情况②的推理过程；
(3) 请补全情况③的发现和推理过程；
(4) 请补全结论.

4. 【解】(1)$ \because AB// DE $，$ \therefore ∠ DEF=∠ 1 $. $ \because ∠ 1 $ 和 $ ∠ DEF $ 是同位角，$ \therefore $“依据”是两直线平行，同位角相等. 故答案为两直线平行，同位角相等. (2)$ \because AB// DE $，$ \therefore ∠ DEF=∠ 2 $. $ \because EF// BC $，$ \therefore ∠ 2=∠ ABC $，$ \therefore ∠ ABC=∠ DEF $. (3)发现：$ ∠ ABC+∠ DEF=180^{\circ} $. 推理过程：$ \because EF// BC $，$ \therefore ∠ ABC=∠ APE $. $ \because AB// DE $，$ \therefore ∠ APE+∠ DEF=180^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABC+∠ DEF=180^{\circ} $. (4)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为相等或互补. 故答案为相等或互补.