4. 如图 1，点 $P$ 从等腰直角三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到 $AC$ 的中点 $D$. 设点 $P$ 运动的路程为 $x$，$\triangle PBC$ 的面积为 $y$，图 2 是点 $P$ 运动时 $y$ 随 $x$ 变化的函数关系图象，则 $BC$ 的长为()


A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

B

设等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle A=90°$，$AB=AC=b$，则 $BC=b\sqrt{2}$。$\triangle PBC$ 的面积 $y=\frac{1}{2} × BC × h$（$h$ 为 $P$ 到 $BC$ 的距离），故 $y$ 与 $h$ 成正比。
由图2知，$P$ 运动分两段：①从 $A$ 到内部点 $M$，$y$ 从 $2k$ 降至 $k$；②从 $M$ 到 $AC$ 中点 $D$，$y$ 保持 $k$ 不变，说明 $MD // BC$，即 $M$、$D$ 到 $BC$ 距离相等。
$A$ 到 $BC$ 距离为 $\frac{b}{\sqrt{2}}$（等腰直角三角形斜边上的高），此时 $y=\frac{1}{2} × b\sqrt{2} × \frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{b^2}{2}=2k$。$D$ 为 $AC$ 中点，$D$ 到 $BC$ 距离为 $\frac{b}{2\sqrt{2}}$，此时 $y=\frac{1}{2} × b\sqrt{2} × \frac{b}{2\sqrt{2}}=\frac{b^2}{4}=k$，故 $k=\frac{b^2}{4}$。
$A$ 到 $M$ 与 $M$ 到 $D$ 路程均为 $k$，$M$ 坐标为 $(\frac{b}{4},\frac{b}{4})$，$AM=\sqrt{(\frac{b}{4})^2+(\frac{b}{4})^2}=\frac{b}{2\sqrt{2}}=k$。联立 $k=\frac{b^2}{4}$ 与 $k=\frac{b}{2\sqrt{2}}$，解得 $b=\sqrt{2}$，则 $BC=b\sqrt{2}=2$。

5. (2025 浙江) 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方. 如图 1，点 $P$ 是一个固定观测点，运动点 $Q$ 从 $A$ 处出发，沿笔直公路 $AB$ 向目的地 $B$ 处运动. 设 $AQ$ 为 $x$(单位：$km$)$(0 \leq x \leq n)$，$PQ^{2}$ 为 $y$(单位：$km^{2}$). 如图 2，$y$ 关于 $x$ 的函数图象与 $y$ 轴交于点 $C$，最低点 $D(m,81)$，且经过 $E(1,225)$ 和 $F(n,225)$ 两点. 下列选项正确的是()


A.$m = 12$
B.$n = 24$
C.点 $C$ 的纵坐标为 $240$
D.点 $(15,85)$ 在该函数图象上

D

6. 如图 1，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，直线 $l ⊥ AB$. 当直线 $l$ 沿射线 $BC$ 方向从点 $B$ 开始向右平移时，直线 $l$ 与四边形 $ABCD$ 的边分别交于点 $E$，$F$. 设直线 $l$ 向右平移的距离为 $x$，线段 $EF$ 的长为 $y$，$y$ 关于 $x$ 的函数关系如图 2 所示，则四边形 $ABCD$ 的面积是.

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由图2知，$x$从0到8时，$y=0.5x$；$x$从8到12时，$y=-x+12$。直线$l$平移过程中，$EF$长度$y$与平移距离$x$围成的图形面积即为四边形$ABCD$的面积。计算积分：$\int_{0}^{8}0.5x\,dx + \int_{8}^{12}(-x+12)\,dx$。
$\int_{0}^{8}0.5x\,dx = 0.25x^2\big|_0^8 = 0.25×64 = 16$；
$\int_{8}^{12}(-x+12)\,dx = \left(-0.5x^2 + 12x\right)\big|_8^{12} = ( -72 + 144 ) - ( -32 + 96 ) = 72 - 64 = 8$。
总面积为$16 + 8 = 24$。

7. (2025 河南三模) 如图 1，在 $□ ABCD$ 中，$BC ⊥ BD$，点 $F$ 从点 $B$ 出发，以 $2cm/s$ 的速度沿 $B \to C \to D$ 匀速运动，点 $E$ 同时从点 $A$ 出发，以 $2cm/s$ 的速度沿 $A \to B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图 2 是 $\triangle BEF$ 的面积 $S(cm^{2})$ 随时间 $t(s)$ 变化的函数图象(图中 $MN$ 为线段)，则 $BC=$_________$cm$；当 $\triangle BEF$ 的面积为 $\frac{45}{2}cm^{2}$ 时，运动时间 $t$ 为$s$.

9；$\frac{15}{4}$

设$BC=a$，$BD=b$，$AB=c$，由平行四边形性质知$CD=AB=c$，$AD=BC=a$。以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BD$为$y$轴建立坐标系，$B(0,0)$，$C(a,0)$，$D(0,b)$，$A(-a,b)$，$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
点$E$速度$2cm/s$，$t$时刻$AE=2t$，$E\left(-a+\frac{2at}{c},b-\frac{2bt}{c}\right)$；点$F$速度$2cm/s$，$0\leq t\leq\frac{a}{2}$时在$BC$上，$F(2t,0)$；$\frac{a}{2}＜t\leq\frac{c}{2}$时在$CD$上。
第一阶段（$0\leq t\leq\frac{a}{2}$）：$S=\frac{1}{2}×|y_E|×2t= t\left(b-\frac{2bt}{c}\right)=bt-\frac{2b}{c}t^2$（开口向下抛物线，对称轴$t=\frac{c}{4}$）。
第二阶段（$\frac{a}{2}＜t\leq\frac{c}{2}$）：$S=\frac{ab}{2}-\frac{ab}{c}t$（线段，斜率负）。
由图像$MN$为线段，知第二阶段为线性函数。当$S=\frac{45}{2}$时，抛物线顶点处取最大值，此时$t=\frac{c}{4}$，$S_{\mathrm{max}}=\frac{bc}{8}=\frac{45}{2}\Rightarrow bc=180$。
取$a=9$，$b=12$，$c=15$（勾股数$9,12,15$），满足$c=\sqrt{9^2+12^2}=15$，$bc=12×15=180$。此时顶点$t=\frac{c}{4}=\frac{15}{4}$，$S=\frac{45}{2}$。

例2 化学实验小组查阅资料了解到：在一定体积的水中，某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中的悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的. 该小组实验后得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：

(1) 随着加入絮凝剂的体积的增大，净水率先后；(填“增大”或“减小”)
(2) 未加入絮凝剂时，净水率是$\%$；
(3) 当加入絮凝剂的体积是 $0.2mL$ 时，净水率达到$\%$；
(4) 当加入絮凝剂的体积为$mL$ 时，净水率达到最高，为$\%$.

(1) 增大；减小
(2) 12.48
(3) 84.60
(4) 0.4；88.15

(1) 观察图象，从体积0到0.4mL，净水率从12.48%上升到88.15%，呈增大趋势；从0.4mL到0.6mL，净水率从88.15%下降到75.34%，呈减小趋势，故先增大后减小。
(2) 未加入絮凝剂时，体积为0mL，对应净水率为12.48%。
(3) 体积为0.2mL时，图象上对应点的净水率为84.60%。
(4) 图象最高点对应的体积为0.4mL，此时净水率为88.15%。