18. 如图 1 - 2 - 19,在△ABC 中,已知∠CDB = 110°,∠ABD = 30°。
(1)请用直尺和圆规在图中直接作出∠A 的平分线 AE 交 BD 于点 E(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,求出∠AED 的度数。

解:(1)如图所示。

(2)$\because ∠CDB=110^{\circ}$,$∠ABD=30^{\circ}$,
$\therefore ∠CAB=110^{\circ}-30^{\circ}=80^{\circ}$。
$\because AE$平分$∠CAB$,
$\therefore ∠DAE=40^{\circ}$,
$\therefore ∠AED=110^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$。

19. 如图 1 - 2 - 20,已知△ABC 为等边三角形,D 为 BC 延长线上的一点,CE 平分∠ACD,CE = BD。求证：△ADE 为等边三角形。

证明:如图所示。

$\because △ABC$为等边三角形,
$\therefore ∠B=∠ACB=60^{\circ}$,$AB=AC$,
$\therefore ∠ACD=120^{\circ}$。
$\because CE$平分$∠ACD$,
$\therefore ∠1=∠2=60^{\circ}$。
在$△ABD$和$△ACE$中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠B=∠1,\\ BD=CE,\end{array}\right.$
$\therefore △ABD≌△ACE(SAS)$,
$\therefore AD=AE$,$∠BAD=∠CAE$。
又$\because ∠BAC=60^{\circ}$,$\therefore ∠DAE=60^{\circ}$,
$\therefore △ADE$为等边三角形。

20. 如图 1 - 2 - 21,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = BC,D 为 BC 边的中点,CE⊥AD,垂足为 E,BF//AC 交 CE 的延长线于点 F,连接 DF。求证：AB 垂直平分 DF。

证明:$\because ∠BCE+∠ACE=90^{\circ}$,$∠ACE+∠CAE=90^{\circ}$,
$\therefore ∠BCE=∠CAE$。
$\because AC⊥BC$,$BF// AC$,
$\therefore BF⊥BC$,
$\therefore ∠ACD=∠CBF=90^{\circ}$。
$\because AC=CB$,
$\therefore △ACD≌△CBF(ASA)$,
$\therefore CD=BF$。
$\because D$为$BC$的中点,
$\therefore CD=BD=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore BF=BD$,
$\therefore △BFD$为等腰直角三角形。
$\because ∠ACB=90^{\circ}$,$CA=CB$,
$\therefore ∠ABC=45^{\circ}$。
$\because ∠FBD=90^{\circ}$,$\therefore ∠ABF=45^{\circ}$,
$\therefore ∠ABC=∠ABF$,即$BA$是$∠FBD$的平分线,
$\therefore AB$垂直平分$DF$。