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1.「2025甘肃中考」如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}(x＞0)$,则水流喷出的最大高度是（
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
B
）A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
答案
$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+\frac{11}{4}$,
$\because -1＜0,\therefore$ 当$x=1$时,$y$取最大值,为$\frac{11}{4}$,即2.75,$\therefore$ 水流喷出的最大高度是2.75 m,故选B.
$\because -1＜0,\therefore$ 当$x=1$时,$y$取最大值,为$\frac{11}{4}$,即2.75,$\therefore$ 水流喷出的最大高度是2.75 m,故选B.
解析
【分析】
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求二次函数$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}(x＞0)$的最大值。首先观察二次函数的二次项系数为$-1＜0$，可知抛物线开口向下，顶点处的$y$值就是函数的最大值，因此可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到最大值。
【解析】
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75$，
即水流喷出的最大高度是$2.75\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；配方法；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷水场景考查二次函数的应用，解题的关键是明确求水流最大高度对应求二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数最值即可快速求解。
【难度系数】
0.75
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求二次函数$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}(x＞0)$的最大值。首先观察二次函数的二次项系数为$-1＜0$，可知抛物线开口向下，顶点处的$y$值就是函数的最大值，因此可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到最大值。
【解析】
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75$，
即水流喷出的最大高度是$2.75\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；配方法；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷水场景考查二次函数的应用，解题的关键是明确求水流最大高度对应求二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数最值即可快速求解。
【难度系数】
0.75
2.「2026广东广州海珠期中」如图, 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 $45°$ 角的方向击出时, 小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力, 小球的飞行高度 $h$(单位: m)与飞行时间 $t$(单位: s)之间的函数关系为 $h=-2t^2+4t$. 小球飞行过程中能达到的最大高度为
2
m.答案
解析 $h=-2t^2+4t=-2(t-1)^2+2$,$\because a=-2＜0$,$\therefore$ 当$t=1$时,$h$取得最大值,为2,即小球飞行过程中能达到的最大高度为2 m.
解析
【分析】
本题需要求小球飞行的最大高度，本质是求二次函数$h=-2t^2+4t$的最大值。根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点对应的纵坐标就是函数的最大值。我们可以通过配方法将函数一般式转化为顶点式，直接得到最大值，符合当前学段的解题要求。
【解析】
对函数表达式进行配方变形：
$\begin{aligned}h&=-2t^2+4t\\&=-2(t^2-2t)\\&=-2(t^2-2t+1-1)\\&=-2[(t-1)^2-1]\\&=-2(t-1)^2+2\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合抛球的实际场景考查二次函数的相关应用，解题关键是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值问题，熟练掌握配方法求二次函数顶点式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题需要求小球飞行的最大高度，本质是求二次函数$h=-2t^2+4t$的最大值。根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点对应的纵坐标就是函数的最大值。我们可以通过配方法将函数一般式转化为顶点式，直接得到最大值，符合当前学段的解题要求。
【解析】
对函数表达式进行配方变形：
$\begin{aligned}h&=-2t^2+4t\\&=-2(t^2-2t)\\&=-2(t^2-2t+1-1)\\&=-2[(t-1)^2-1]\\&=-2(t-1)^2+2\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合抛球的实际场景考查二次函数的相关应用，解题关键是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值问题，熟练掌握配方法求二次函数顶点式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.「2026山东菏泽牡丹月考」如图所示，要修建一个矩形建筑，建筑一面靠墙，墙长为13 m，另外三面用29 m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1 m宽的门（不包括建筑材料）。所围矩形建筑的AB边的长为
9
m时，建筑面积最大（AB为整数）。答案
解析 设$AB=x\ \mathrm{m}$,建筑面积为$y\ \mathrm{m}^2$,则$BC=(30-2x)\mathrm{m}$,由题意得$y=x(30-2x)=-2(x-7.5)^2+112.5$,
$\because \begin{cases} x＞0, \\ x+x-1＜29, \\ 0＜30-2x≤ 13, \end{cases} \therefore 8.5≤ x＜15$,
易知当$8.5≤ x＜15$时,建筑面积$y$随$x$的增大而减小,
$\because x$为整数,$\therefore$ 当$x=9$时,$y$有最大值,即当$AB=9\ \mathrm{m}$时,建筑面积最大.
$\because \begin{cases} x＞0, \\ x+x-1＜29, \\ 0＜30-2x≤ 13, \end{cases} \therefore 8.5≤ x＜15$,
易知当$8.5≤ x＜15$时,建筑面积$y$随$x$的增大而减小,
$\because x$为整数,$\therefore$ 当$x=9$时,$y$有最大值,即当$AB=9\ \mathrm{m}$时,建筑面积最大.
解析
【分析】
本题是利用二次函数解决矩形面积最值的实际问题，解题思路如下：第一步，设AB的长度为x m，建筑面积为y m²，结合建筑材料总长和1m宽的门，先表示出BC边的长度；第二步，根据墙长上限、边长为正这些实际限制，列不等式组求出自变量x的取值范围；第三步，根据矩形面积公式写出y关于x的二次函数解析式，结合二次函数的增减性和AB为整数的要求，找到使面积最大的x值即可。
【解析】
解：设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，建筑面积为$y\ \mathrm{m}^2$。
已知三面建筑材料总长29 m，门宽1 m（不占用建筑材料），因此BC边的长度为$29+1-2x=(30-2x)\ \mathrm{m}$。
根据实际限制列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 0＜30-2x≤ 13 \end{cases}$
解不等式$30-2x≤ 13$，得$x≥ 8.5$；
解不等式$30-2x＞0$，得$x＜15$；
因此x的取值范围为$8.5≤ x＜15$。
由矩形面积公式可得：
$y=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-7.5)^2+112.5$
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=7.5$，因此当$x＞7.5$时，y随x的增大而减小。
结合x的取值范围$8.5≤ x＜15$且x为整数，可知当x取范围内最小整数9时，y取得最大值。
【答案】9
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；不等式组求解
【点评】
本题属于二次函数实际应用的常考题型，解题关键是准确梳理题意，正确表示各边长度，尤其要注意门宽不占材料、墙长限制BC长度、AB为整数这些隐含条件，避免忽略实际限制直接取二次函数顶点值导致错误。
【难度系数】
0.6
本题是利用二次函数解决矩形面积最值的实际问题，解题思路如下：第一步，设AB的长度为x m，建筑面积为y m²，结合建筑材料总长和1m宽的门，先表示出BC边的长度；第二步，根据墙长上限、边长为正这些实际限制，列不等式组求出自变量x的取值范围；第三步，根据矩形面积公式写出y关于x的二次函数解析式，结合二次函数的增减性和AB为整数的要求，找到使面积最大的x值即可。
【解析】
解：设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，建筑面积为$y\ \mathrm{m}^2$。
已知三面建筑材料总长29 m，门宽1 m（不占用建筑材料），因此BC边的长度为$29+1-2x=(30-2x)\ \mathrm{m}$。
根据实际限制列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 0＜30-2x≤ 13 \end{cases}$
解不等式$30-2x≤ 13$，得$x≥ 8.5$；
解不等式$30-2x＞0$，得$x＜15$；
因此x的取值范围为$8.5≤ x＜15$。
由矩形面积公式可得：
$y=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-7.5)^2+112.5$
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=7.5$，因此当$x＞7.5$时，y随x的增大而减小。
结合x的取值范围$8.5≤ x＜15$且x为整数，可知当x取范围内最小整数9时，y取得最大值。
【答案】9
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；不等式组求解
【点评】
本题属于二次函数实际应用的常考题型，解题关键是准确梳理题意，正确表示各边长度，尤其要注意门宽不占材料、墙长限制BC长度、AB为整数这些隐含条件，避免忽略实际限制直接取二次函数顶点值导致错误。
【难度系数】
0.6
4.如图,要在夹角为$30°$的两条小路$OA$与$OB$形成的角状空地上建一个三角形花坛,分别在边$OA$和边$OB$上取点$P$和点$Q$,并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若$OP$和$OQ$两段篱笆的总长为$60\ \mathrm{m}$,则该花坛($△ POQ$)面积的最大值为
225
$\mathrm{m}^2$.答案
解析 如图,过$P$作$PC⊥ OB$于点$C$,设$OP$的长为$x\ \mathrm{m}$,$△ POQ$的面积为$S\ \mathrm{m}^2$,则$OQ$的长为$(60-x)\ \mathrm{m}$,$\because ∠ POQ=30°$,$\therefore PC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x\ \mathrm{m}$,$\therefore S=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x·(60-x)=-\frac{1}{4}(x-30)^2+225(0＜x＜60)$,$\because -\frac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 当$x=30$时,$S$取得最大值,为225,即当$OP$的长为30 m时,$△ POQ$的面积最大,为$225\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先梳理已知条件：$∠ POQ=30°$，$OP+OQ=60\ \mathrm{m}$，要求$△ POQ$的最大面积。首先我们可以通过作高把三角形面积和已知的边、角联系起来，利用含$30°$角的直角三角形的性质表示出三角形的高，再设其中一条边的长度为变量，将面积表示为关于该变量的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解最大面积即可。
【解析】
解：如图，过点$P$作$PC⊥ OB$于点$C$。
设$OP$的长为$x\ \mathrm{m}$，$△ POQ$的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则$OQ$的长为$(60-x)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ POQ=30°$，$PC⊥ OB$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ POC$中，$PC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x\ \mathrm{m}$。
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}· OQ· PC=\frac{1}{2}×(60-x)×\frac{1}{2}x$
整理得：$S=-\frac{1}{4}x^2+15x=-\frac{1}{4}(x-30)^2+225$（$0＜x＜60$）
$\because -\frac{1}{4}＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=30$时，$S$取得最大值，最大值为$225$。
【答案】
$\boxed{225}$
【知识点】
二次函数的最值应用，含$30°$角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的典型应用题，解题的关键是通过设元，结合几何性质将面积转化为二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最值，能很好地考察学生数形结合的思想和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们先梳理已知条件：$∠ POQ=30°$，$OP+OQ=60\ \mathrm{m}$，要求$△ POQ$的最大面积。首先我们可以通过作高把三角形面积和已知的边、角联系起来，利用含$30°$角的直角三角形的性质表示出三角形的高，再设其中一条边的长度为变量，将面积表示为关于该变量的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解最大面积即可。
【解析】
解：如图，过点$P$作$PC⊥ OB$于点$C$。
设$OP$的长为$x\ \mathrm{m}$，$△ POQ$的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则$OQ$的长为$(60-x)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ POQ=30°$，$PC⊥ OB$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ POC$中，$PC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}x\ \mathrm{m}$。
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}· OQ· PC=\frac{1}{2}×(60-x)×\frac{1}{2}x$
整理得：$S=-\frac{1}{4}x^2+15x=-\frac{1}{4}(x-30)^2+225$（$0＜x＜60$）
$\because -\frac{1}{4}＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=30$时，$S$取得最大值，最大值为$225$。
【答案】
$\boxed{225}$
【知识点】
二次函数的最值应用，含$30°$角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的典型应用题，解题的关键是通过设元，结合几何性质将面积转化为二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最值，能很好地考察学生数形结合的思想和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
5.某年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，为庆祝节日，学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为x cm.
(1)若此包装盒的容积为1500 cm³，请列出关于x的方程，并求出x的值.
(2)学科特色多解法 是否存在这样的x，使得此包装盒的容积为1560 cm³？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由.
(1)若此包装盒的容积为1500 cm³，请列出关于x的方程，并求出x的值.
(2)学科特色多解法 是否存在这样的x，使得此包装盒的容积为1560 cm³？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由.
答案
(1)由题图得,包装盒的宽为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\mathrm{cm}$,高为$x\ \mathrm{cm}$,长为15 cm,$\because$ 此包装盒的容积为$1\ 500\ \mathrm{cm}^3$,$\therefore 15x(20-x)=1\ 500$,解得$x_1=x_2=10$,$\therefore x$的值为10.
(2)【解法一】利用二次函数的性质解答:不存在.理由:设该包装盒的容积为$y\ \mathrm{cm}^3$,依题意得$y=(20-x)×15x=-15(x-10)^2+1\ 500$.$\because -15＜0$,$\therefore$ 当$x=10$时,此包装盒的容积最大,为$1\ 500\ \mathrm{cm}^3$,$\therefore$ 不存在这样的$x$,使得此包装盒的容积为$1\ 560\ \mathrm{cm}^3$.
【解法二】利用一元二次方程根的判别式解答:不存在.理由:假设存在这样的$x$,则$15x(20-x)=1\ 560$,整理得$x^2-20x+104=0$.
$\because \Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$,$\therefore$ 此方程无实数根,$\therefore$ 不存在这样的$x$,使得此包装盒的容积为$1\ 560\ \mathrm{cm}^3$.
(2)【解法一】利用二次函数的性质解答:不存在.理由:设该包装盒的容积为$y\ \mathrm{cm}^3$,依题意得$y=(20-x)×15x=-15(x-10)^2+1\ 500$.$\because -15＜0$,$\therefore$ 当$x=10$时,此包装盒的容积最大,为$1\ 500\ \mathrm{cm}^3$,$\therefore$ 不存在这样的$x$,使得此包装盒的容积为$1\ 560\ \mathrm{cm}^3$.
【解法二】利用一元二次方程根的判别式解答:不存在.理由:假设存在这样的$x$,则$15x(20-x)=1\ 560$,整理得$x^2-20x+104=0$.
$\because \Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$,$\therefore$ 此方程无实数根,$\therefore$ 不存在这样的$x$,使得此包装盒的容积为$1\ 560\ \mathrm{cm}^3$.
解析
【分析】
本题是结合立体图形展开图的代数应用问题，解题思路如下：①先从展开图推导包装盒的长宽高表达式：已知包装盒的长为15cm，高为x cm，观察展开图的总长度40cm包含2个高和2个宽，因此宽可表示为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\mathrm{cm}$；②结合长方体容积公式“容积=长×宽×高”求解：第(1)问代入容积1500$\mathrm{cm}^3$列一元二次方程求解即可；第(2)问可通过两种思路判断：一是将容积表示为关于x的二次函数，求出最大值后和1560比较；二是直接列方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根，进而确定是否存在符合条件的x。
【解析】
(1) 根据展开图可得：包装盒的长为15 cm，高为x cm，宽为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\ \mathrm{cm}$。
由长方体容积公式列方程：
$15x(20-x) = 1500$
整理得$x^2-20x+100=0$，因式分解为$(x-10)^2=0$，解得$x_1=x_2=10$。
(2) 不存在，理由如下：
解法一：设包装盒的容积为$y\ \mathrm{cm}^3$，依题意得：
$y=15x(20-x)=-15(x-10)^2+1500$
$\because -15＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=10$时，容积取得最大值1500$\mathrm{cm}^3$，
$\because 1560＞1500$，因此不存在这样的x，使得包装盒的容积为1560$\mathrm{cm}^3$。
解法二：假设存在符合条件的x，列方程得：
$15x(20-x)=1560$
整理得$x^2-20x+104=0$，
根的判别式$\Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$，
因此该方程无实数根，即不存在这样的x，使得包装盒的容积为1560$\mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 关于x的方程为$15x(20-x)=1500$，x的值为10；
(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，根的判别式
【点评】
本题结合生活中的包装盒展开图命题，既考查了空间想象能力，又考查了一元二次方程、二次函数相关知识的灵活应用，同时体现了一题多解的思维，解题时要注意所求结果需符合实际意义。
【难度系数】
0.65
本题是结合立体图形展开图的代数应用问题，解题思路如下：①先从展开图推导包装盒的长宽高表达式：已知包装盒的长为15cm，高为x cm，观察展开图的总长度40cm包含2个高和2个宽，因此宽可表示为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\mathrm{cm}$；②结合长方体容积公式“容积=长×宽×高”求解：第(1)问代入容积1500$\mathrm{cm}^3$列一元二次方程求解即可；第(2)问可通过两种思路判断：一是将容积表示为关于x的二次函数，求出最大值后和1560比较；二是直接列方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根，进而确定是否存在符合条件的x。
【解析】
(1) 根据展开图可得：包装盒的长为15 cm，高为x cm，宽为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)\ \mathrm{cm}$。
由长方体容积公式列方程：
$15x(20-x) = 1500$
整理得$x^2-20x+100=0$，因式分解为$(x-10)^2=0$，解得$x_1=x_2=10$。
(2) 不存在，理由如下：
解法一：设包装盒的容积为$y\ \mathrm{cm}^3$，依题意得：
$y=15x(20-x)=-15(x-10)^2+1500$
$\because -15＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=10$时，容积取得最大值1500$\mathrm{cm}^3$，
$\because 1560＞1500$，因此不存在这样的x，使得包装盒的容积为1560$\mathrm{cm}^3$。
解法二：假设存在符合条件的x，列方程得：
$15x(20-x)=1560$
整理得$x^2-20x+104=0$，
根的判别式$\Delta=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$，
因此该方程无实数根，即不存在这样的x，使得包装盒的容积为1560$\mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 关于x的方程为$15x(20-x)=1500$，x的值为10；
(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，根的判别式
【点评】
本题结合生活中的包装盒展开图命题，既考查了空间想象能力，又考查了一元二次方程、二次函数相关知识的灵活应用，同时体现了一题多解的思维，解题时要注意所求结果需符合实际意义。
【难度系数】
0.65
