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9.「2026福建泉州月考，★☆」已知$a=2025×2027$，$b=2024×2028$，$c=2026×2026$，则$a,b,c$的大小关系是（
A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a=c＞b$
D.$c＞a＞b$
D
）A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a=c＞b$
D.$c＞a＞b$
答案
设$n=2\ 026$,
则$a=(n-1)(n+1)=n^2-1$,$b=(n-2)(n+2)=n^2-4$,$c=n^2$,$\because n^2＞n^2-1＞n^2-4$,$\therefore c＞a＞b$.故选D.
则$a=(n-1)(n+1)=n^2-1$,$b=(n-2)(n+2)=n^2-4$,$c=n^2$,$\because n^2＞n^2-1＞n^2-4$,$\therefore c＞a＞b$.故选D.
10.「2025贵州毕节期末，★☆」如图，点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上，点E,F在CD上，若正方形ABCD的面积等于10，图中阴影部分的面积和为4，则正方形EFGH的面积为（
A.3
B.2.5
C.2
D.1.5
C
）A.3
B.2.5
C.2
D.1.5
答案
设正方形$ABCD$,正方形$EFGH$的边长分别为$a$,$b$,则有$a^2=10$,阴影部分面积和为$\dfrac{1}{2}×(a+b)(a-b)=4$,$\therefore a^2-b^2=8$,$\therefore b^2=2$,$\therefore$ 正方形$EFGH$的面积是2.故选C.
11. 学科$\frac{特色}{换元法}$「2026 上海浦东新区期中，★☆」已知$(2026 - a)(2024 - a) = 16$，那么$(a - 2025)^2 =$
17
答案
17
解析 设$t=a-2\ 025$,则$a=2\ 025+t$,
$\therefore 2\ 026-a=2\ 026-(2\ 025+t)=1-t$,
$2\ 024-a=2\ 024-(2\ 025+t)=-1-t$,
$\because (2\ 026-a)(2\ 024-a)=16$,$\therefore (1-t)(-1-t)=16$,
$\therefore -(1-t^2)=16$,$\therefore t^2=17$,$\therefore (a-2\ 025)^2=17$.
解析 设$t=a-2\ 025$,则$a=2\ 025+t$,
$\therefore 2\ 026-a=2\ 026-(2\ 025+t)=1-t$,
$2\ 024-a=2\ 024-(2\ 025+t)=-1-t$,
$\because (2\ 026-a)(2\ 024-a)=16$,$\therefore (1-t)(-1-t)=16$,
$\therefore -(1-t^2)=16$,$\therefore t^2=17$,$\therefore (a-2\ 025)^2=17$.
12.聚焦中考 过程性学习「2026山西太原月考，★☆」化简：$(2+1)×(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$时，小刚同学想到用一个“引子”就可以使这个式子的计算有规律，思路如下：
(1)根据小刚同学的解题思路，将上述过程补充完整.
(2)计算：$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}}).$
(1)根据小刚同学的解题思路，将上述过程补充完整.
(2)计算：$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}}).$
答案
(1)$2^4-1$;$2^{16}-1$.
(2)$(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})=2×(1-\dfrac{1}{2^{16}})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^{32}})=2-\dfrac{1}{2^{31}}$.
(2)$(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})=2×(1-\dfrac{1}{2^{16}})(1+\dfrac{1}{2^{16}})$
$=2×(1-\dfrac{1}{2^{32}})=2-\dfrac{1}{2^{31}}$.
13. 核心素养 运算能力 「2026 上海进华中学期中」请完成以下题目：
(1)如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b＜a)的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积.方法①：
(2)类似地，如图2，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为b(b＜a)的小正方体，通过不同的方法计算图中余下几何体的体积.方法①：
(3)结合并使用(2)得到的等式计算：$(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.
(1)如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b＜a)的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积.方法①：
$(a+b)(a-b)$
；方法②：$a^2-b^2$
.由此可以验证的乘法公式是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
.(2)类似地，如图2，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为b(b＜a)的小正方体，通过不同的方法计算图中余下几何体的体积.方法①：
$(a-b)(a^2+ab+b^2)$
；方法②：$a^3-b^3$
.由此可以得的等式是$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
，并用所学过的知识说明这个等式成立.(3)结合并使用(2)得到的等式计算：$(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.
答案
(1)$(a+b)(a-b)$;$a^2-b^2$;$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(前两空可互换位置).
(2)余下几何体的体积为$a^2(a-b)+ab(a-b)+b^2(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$,
也可以表示为$a^3-b^3$,
$\therefore$ 可以得到的等式为$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.
故答案为$(a-b)(a^2+ab+b^2)$;$a^3-b^3$;$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$(前两空可互换位置).
证明:$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$.
(3)$(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)=(2x-y)·[(2x)^2+2xy+y^2]=(2x)^3-y^3=8x^3-y^3$.
(2)余下几何体的体积为$a^2(a-b)+ab(a-b)+b^2(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$,
也可以表示为$a^3-b^3$,
$\therefore$ 可以得到的等式为$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.
故答案为$(a-b)(a^2+ab+b^2)$;$a^3-b^3$;$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$(前两空可互换位置).
证明:$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$.
(3)$(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)=(2x-y)·[(2x)^2+2xy+y^2]=(2x)^3-y^3=8x^3-y^3$.
