9. 如图，在$△ ABC$中，D是$△ ABC$的边BC上的中点，$AF:FD=1:2$，BF的延长线交AC于点E，则$AE:CE$的值为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$

9.C

10. 如图，矩形$ABCD$的四个顶点分别在直线$l_1,l_3,l_4,l_2$上，直线$l_1// l_2// l_3$且相邻两直线间的距离相等.若$AB=6,BC=4$,则$l_2,l_3$之间的距离为.

10.$\frac{12}{5}$ 【点拨】如图,过点 A 作 AN⊥$l_3$ 于点 N,交 $l_2$ 于点 M.
∵在矩形 ABCD 中,BC=4,
∴AD=BC=4,∠BAD=90°.
∵直线 $l_1 // l_2 // l_3$ 且相邻两直线间的距离相等,AN⊥$l_3$,
∴AM=NM,$\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{NM}=1$.
∵AB=6,
∴AE=EB=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴在 Rt△EAD 中,$ED=\sqrt{AE^2+AD^2}=5$.
∵$S_{△ EAD}=\frac{1}{2}AE· AD=\frac{1}{2}AM· ED$,
∴AM=$\frac{AE· AD}{ED}=\frac{12}{5}$.
∴MN=$\frac{12}{5}$,即 $l_2,l_3$ 之间的距离为 $\frac{12}{5}$.

11. 2025·宜宾 新趋势·学科内综合 如图，O是坐标原点，反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＞0)$与直线$y=-2x$交于点A，点B在$y=-\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上，直线AB与y轴交于点C。连接OB。若$AB=3AC$，则OB的长为。

11.$\frac{\sqrt{130}}{2}$ 【点拨】如图所示,过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E.
∵反比例函数 $y=-\frac{4}{x}(x＞0)$ 与直线y=-2x 交于点 A,
∴联立,得 $-\frac{4}{x}=-2x$,解得 $x=\sqrt{2}$ 或 $-\sqrt{2}$(舍去),
∴OD=$\sqrt{2}$.
∵AD⊥x 轴,BE⊥x 轴,
∴AD//BE,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{OD}$.
∵AB=3AC,
∴3=$\frac{DE}{\sqrt{2}}$,即 DE=3$\sqrt{2}$,
∴OE=$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,
∴将 x=4$\sqrt{2}$ 代入 $y=-\frac{4}{x}$,得 $y=-\frac{4}{4\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴OB=$\sqrt{OE^2+BE^2}=\frac{\sqrt{130}}{2}$.

12. 如图，$AC// BD$，$AD$，$BC$相交于点$E$，$EF// BD$。
求证：$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$

12.【证明】
∵AC//BD,EF//BD,
∴AC//EF//BD.
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{AB}$,$\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{AB}$.
∴$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF+AF}{AB}=\frac{AB}{AB}=1. \therefore \frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$.

创新拓展题
13. ★★★ 一题多解【课本再现】
思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直,反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【定理证明】(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图①),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在$□ ABCD$中,对角线$BD\bot AC$,垂足为O.求证:$□ ABCD$是菱形.

13.(1)【证明】
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BO=DO.
又
∵BD⊥AC,垂足为 O,
∴AC 是 BD 的垂直平分线.
∴AB=AD.
∴□ABCD 是菱形.

【知识应用】(2)如图②,在$□ ABCD$中,对角线AC和BD相交于点O,$AD=5,AC=8,BD=6$.
①求证:$□ ABCD$是菱形;
②延长BC至点E,连接OE交CD于点F,若$∠ E=\frac{1}{2}∠ ACD$,求$\frac{OF}{EF}$的值.

13.(2)①【证明】
∵在□ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,
AC=8,BD=6,
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=4,DO=$\frac{1}{2}$BD=3.
又
∵AD=5,
∴$AD^2=AO^2+DO^2$.
∴△AOD 为直角三角形,且∠AOD=90°,即 BD⊥AC.
∴□ABCD 是菱形.
②【解】解法 1:如图①,过点 E 作 EG//CD,交 BD 的延长线于点 G.
由①知四边形 ABCD 是菱形，
∴BC=AD=5,∠ACD=∠ACB.
∵∠CEO=$\frac{1}{2}$∠ACD,
∴∠CEO=$\frac{1}{2}$∠ACB.
又
∵∠ACB=∠CEO+∠COE,
∴∠CEO=∠COE.
∴CE=CO=$\frac{1}{2}$AC=4.
∵CD//EG,
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{BD}{DG}$,即 $\frac{5}{4}=\frac{6}{DG}$,解得 DG=$\frac{24}{5}$.
∵DF//GE,
∴$\frac{OF}{EF}=\frac{OD}{GD}=\frac{3}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{8}$.
解法 2:如图②,过点 O 作 OH//CD,交 BC 于点 H,易得 OH=$\frac{1}{2}$CD,∠HOC=∠OCF,由①知四边形 ABCD 为菱形,
∴BC=CD=AD=5,∠ACD=∠ACB,
∴OH=$\frac{5}{2}$,∠HOC=∠HCO,
∴HC=HO=$\frac{5}{2}$.
∵∠E=$\frac{1}{2}$∠ACD,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB.
又
∵∠ACB=∠E+∠COF,
∴∠E=∠COF,
∴CE=CO=$\frac{1}{2}$AC=4.
∵OH//CD,
∴$\frac{OF}{EF}=\frac{HC}{CE}=\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{5}{8}$.