两块平面镜OM,ON,且∠MON=α,入射光线AB经过两次反射,得到反射光线CD.

(1)如图3,光线AB与CD相交于点E,则∠BEC=.
(2)如图4,光线AB与光线CD所在的直线相交于点E,∠BED=β,则α与β之间满足的等量关系是.

(1)180°−2α
(2)β=2α

【分析】
本题结合平面镜反射规律考查几何角度计算，解题思路如下：
1. 对于(1)问，先根据平面镜反射“入射角等于反射角”的性质，得到入射光线、反射光线与镜面的夹角相等；再在△OBC中利用三角形内角和求出两个底角的和；接着用平角性质表示出△BEC的两个内角，最后代入△BEC内角和公式即可求出∠BEC。
2. 对于(2)问，观察到∠BED和(1)中求出的∠BEC是邻补角，结合邻补角和为180°的性质，代入(1)的结论化简即可得到α与β的等量关系。
【解析】
设平面镜OM上的入射点为B，ON上的入射点为C。
(1) 根据平面镜反射性质，得$∠ ABO=∠ CBO$，$∠ BCO=∠ DCO$。
在$△ OBC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ CBO + ∠ BCO = 180° - ∠ MON = 180° - α$
由平角性质得：$∠ EBC = 180° - 2∠ CBO$，$∠ ECB = 180° - 2∠ BCO$
在$△ BEC$中，由内角和为$180°$得：
$\begin{aligned}∠ BEC &= 180° - (∠ EBC + ∠ ECB)\\&=180° - [(180° - 2∠ CBO)+(180° - 2∠ BCO)]\\&=180° - [360° - 2(∠ CBO + ∠ BCO)]\end{aligned}$
将$∠ CBO + ∠ BCO = 180° - α$代入得：
$∠ BEC=180° - [360° - 2(180° - α)]=180° - 2α$
(2)
∵光线AB与CD所在直线交于点E，$∠ BEC$和$∠ BED$是邻补角
∴$∠ BEC + ∠ BED=180°$
将$∠ BEC=180° - 2α$，$∠ BED=β$代入得：
$180° - 2α + β=180°$
化简得：$β=2α$
【答案】
(1) $\boxed{180° - 2α}$
(2) $\boxed{β=2α}$
【知识点】
平面镜反射性质、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题跨学科结合物理反射规律和几何角度运算，核心是通过反射性质得到等角关系，再利用三角形内角和、邻补角的性质完成角度转化，重点考查逻辑推导和角度运算能力。
【难度系数】
0.7

【径赛项目跑道的设计问题探究】
如图5,田径运动场通常是由两个半圆和一个长方形组成的.要求它的周长、面积,关键是要求出直跑道长度和两边半圆的半径.设直跑道长度为$a$,半圆的半径为$r$,则周长=$2a+2π r$,面积=$2ra+π r^2$.


【问题情境】
如图6,某中学因场地限制,操场上设置的是200 m的环形跑道,由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,有4条跑道,跑道的弯道是半圆形,环形跑道第一圈(最内圈)弯道半径为$r$ m,每条跑道的宽度为$d$ m,直跑道长度为46.8 m.现要分别进行200 m,400 m和800 m跑步比赛(终点相同),第1条跑道(最内侧跑道)长度记为200 m,且起跑位置已经确定,请探究第$n$条跑道的起跑线的位置.

解：
第n条跑道的弯道半径为 $r + (n-1)d$（$1 ≤ n ≤ 4$，$n$ 为正整数）。
所有跑道的直道长度均相等，跑道间的长度差仅由弯道部分产生。
1. 200m跑的起跑线位置：
200m跑需跑完该200m环形跑道的1整圈，包含2个弯道，两个弯道可拼接为1个完整的圆。
第n条跑道的弯道总长度与第1条跑道的弯道总长度的差为：
$2π · [r+(n-1)d] - 2π r = 2π(n-1)d$
因此第n条跑道的起跑线需比第1条跑道的起跑线向前偏移 $2π(n-1)d \ \mathrm{m}$。
2. 400m跑的起跑线位置：
400m跑需跑完该200m环形跑道的2整圈，总长度差为：
$2 × 2π(n-1)d = 4π(n-1)d$
因此第n条跑道的起跑线需比第1条跑道的起跑线向前偏移 $4π(n-1)d \ \mathrm{m}$。
3. 800m跑的起跑线位置：
800m跑需跑完该200m环形跑道的4整圈，总长度差为：
$4 × 2π(n-1)d = 8π(n-1)d$
因此第n条跑道的起跑线需比第1条跑道的起跑线向前偏移 $8π(n-1)d \ \mathrm{m}$。
答：200m跑时第n条跑道起跑线比第1条向前偏移$2π(n-1)d\ \mathrm{m}$，400m跑时向前偏移$4π(n-1)d\ \mathrm{m}$，800m跑时向前偏移$8π(n-1)d\ \mathrm{m}$。

【分析】
要确定第n条跑道的起跑线位置，核心是找不同跑道的长度差：①所有跑道的直道长度完全相同，长度差仅由弯道部分产生；②先推出第n条跑道的弯道半径为$r+(n-1)d$（n为1~4的正整数），每圈的两个弯道可拼接成1个整圆，因此跑1圈的弯道长度差就是第n条和第1条弯道对应圆的周长差；③再根据200m、400m、800m对应的跑圈数，用每圈的长度差乘圈数，就能得到对应比赛第n条跑道相比第1条的起跑线向前偏移的距离。
【解析】
第n条跑道的弯道半径为 $r + (n-1)d$（$1 ≤ n ≤ 4$，$n$ 为正整数），所有跑道的直道长度均相等，跑道间的长度差仅由弯道部分产生。
1. 200m跑的起跑线位置：
200m跑需跑完200m环形跑道的1整圈，包含2个弯道，两个弯道可拼接为1个完整的圆。
第n条跑道的弯道总长度与第1条跑道的弯道总长度的差为：
$2π · [r+(n-1)d] - 2π r = 2π(n-1)d$
因此第n条跑道的起跑线需比第1条跑道的起跑线向前偏移 $2π(n-1)d \ \mathrm{m}$。
2. 400m跑的起跑线位置：
400m跑需跑完该200m环形跑道的2整圈，总长度差为：
$2 × 2π(n-1)d = 4π(n-1)d$
因此第n条跑道的起跑线需比第1条跑道的起跑线向前偏移 $4π(n-1)d \ \mathrm{m}$。
3. 800m跑的起跑线位置：
800m跑需跑完该200m环形跑道的4整圈，总长度差为：
$4 × 2π(n-1)d = 8π(n-1)d$
因此第n条跑道的起跑线需比第1条跑道的起跑线向前偏移 $8π(n-1)d \ \mathrm{m}$。
【答案】
200m跑时第n条跑道起跑线比第1条向前偏移$2π(n-1)d\ \mathrm{m}$，400m跑时向前偏移$4π(n-1)d\ \mathrm{m}$，800m跑时向前偏移$8π(n-1)d\ \mathrm{m}$。
【知识点】
圆的周长计算，代数式应用，环形跑道问题
【点评】
本题结合田径比赛的实际场景命题，解题关键是明确不同跑道的长度差仅来源于弯道部分，结合圆的周长公式即可计算不同跑距下的起跑线偏移量，能够锻炼运用数学知识解决生活实际问题的能力。
【难度系数】
0.7