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1.「2025安徽淮南大通期末」下列几组解中，是二元一次方程组$\begin{cases}y - x = 1, \\ 2x - y = 1\end{cases}$的解的是（ ）
A.$\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$
答案
A.把$\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases}$代入，方程②不成立；B.把$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$代入，方程①②均成立；C.把$\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$代入，方程②不成立；D.把$\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$代入，方程①②均不成立。故选B.
解析
【分析】
判断一组值是不是二元一次方程组的解，核心依据是二元一次方程组解的定义：能同时满足方程组中所有方程的未知数的值就是方程组的解。因此我们可以用代入检验法，把每个选项的x、y分别代入两个方程，只要有一个方程不成立，就不是方程组的解，两个方程都成立才是正确答案，我们依次对四个选项验证即可。
【解析】
我们逐一将选项代入方程组$\begin{cases}y - x = 1 \\ 2x - y = 1\end{cases}$检验：
A. 把$\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases}$代入，方程①成立，方程②左边=$2×(-1)-0=-2≠1$，不成立，排除A；
B. 把$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$代入，方程①左边=$3-2=1=$右边，方程②左边=$2×2-3=1=$右边，两个方程均成立；
C. 把$\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$代入，方程①成立，方程②左边=$2×(-3)-(-2)=-4≠1$，不成立，排除C；
D. 把$\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$代入，方程①左边=$-2-3=-5≠1$，方程②左边=$2×3-(-2)=8≠1$，均不成立，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解；代入检验法
【点评】
本题是基础题，重点考察对二元一次方程组解的概念的理解，解题时要注意必须同时满足两个方程的解才是方程组的解，避免只验证一个方程就下结论。
【难度系数】
0.9
判断一组值是不是二元一次方程组的解，核心依据是二元一次方程组解的定义：能同时满足方程组中所有方程的未知数的值就是方程组的解。因此我们可以用代入检验法，把每个选项的x、y分别代入两个方程，只要有一个方程不成立，就不是方程组的解，两个方程都成立才是正确答案，我们依次对四个选项验证即可。
【解析】
我们逐一将选项代入方程组$\begin{cases}y - x = 1 \\ 2x - y = 1\end{cases}$检验：
A. 把$\begin{cases} x = -1 \\ y = 0 \end{cases}$代入，方程①成立，方程②左边=$2×(-1)-0=-2≠1$，不成立，排除A；
B. 把$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$代入，方程①左边=$3-2=1=$右边，方程②左边=$2×2-3=1=$右边，两个方程均成立；
C. 把$\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$代入，方程①成立，方程②左边=$2×(-3)-(-2)=-4≠1$，不成立，排除C；
D. 把$\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$代入，方程①左边=$-2-3=-5≠1$，方程②左边=$2×3-(-2)=8≠1$，均不成立，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解；代入检验法
【点评】
本题是基础题，重点考察对二元一次方程组解的概念的理解，解题时要注意必须同时满足两个方程的解才是方程组的解，避免只验证一个方程就下结论。
【难度系数】
0.9
2.「2026 安徽宿州埇桥期末」若$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}ax+y=3, \\ x+by=4\end{cases}$的解，则$a+2b$的值为 ______ 。
答案
答案 4
解析 将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程组，得 $a+2=3,1+2b=4$，解得 $a=1,2b=3$，所以 $a+2b=1+3=4.$
解析 将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程组，得 $a+2=3,1+2b=4$，解得 $a=1,2b=3$，所以 $a+2b=1+3=4.$
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组的解的定义：能让方程组中每个方程左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解。解题时先把已知的x、y的值代入原方程组，得到两个只含a、b的一元一次方程，求解得到a和2b的取值后，再代入目标式计算即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax+y=3, \\ x+by=4\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}a+2=3 \\1+2b=4\end{cases}$
解第一个方程：$a=3-2=1$
解第二个方程：$2b=4-1=3$
代入$a+2b$计算得：$a+2b=1+3=4$
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程组解的应用，解题关键是牢记方程组的解满足组内所有方程，代入转化为一元一次方程求解即可，计算量小，掌握基础概念就能得分。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程组的解的定义：能让方程组中每个方程左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解。解题时先把已知的x、y的值代入原方程组，得到两个只含a、b的一元一次方程，求解得到a和2b的取值后，再代入目标式计算即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax+y=3, \\ x+by=4\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}a+2=3 \\1+2b=4\end{cases}$
解第一个方程：$a=3-2=1$
解第二个方程：$2b=4-1=3$
代入$a+2b$计算得：$a+2b=1+3=4$
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程组解的应用，解题关键是牢记方程组的解满足组内所有方程，代入转化为一元一次方程求解即可，计算量小，掌握基础概念就能得分。
【难度系数】
0.8
3. 学科特色教材变式「2026安徽六安九中月考」对于等式$3x - 2y = 5$，用含$x$的代数式来表示$y$，下列式子正确的是（
A.$y=\dfrac{5-3x}{2}$
B.$x=\dfrac{2y-5}{2}$
C.$x=\dfrac{5-2y}{2}$
D.$y=\dfrac{3x-5}{2}$
D
）A.$y=\dfrac{5-3x}{2}$
B.$x=\dfrac{2y-5}{2}$
C.$x=\dfrac{5-2y}{2}$
D.$y=\dfrac{3x-5}{2}$
答案
D 原方程移项，得 $2y = 3x - 5$，两边同除以 2，得 $y=\frac{3x-5}{2}.$ 故选 D.
解析
【分析】
本题要求将等式中的y用含x的代数式表示，解题核心是把x看作已知数，把y当作未知量，按照解一元一次方程的步骤求解即可。首先要注意区分“用x表示y”和“用y表示x”的区别，可先排除不符合要求的选项，再通过移项、系数化为1的步骤得到正确结果，移项时要注意符号变化。
【解析】
题目要求用含x的代数式表示y，因此将x视为已知数，对等式$3x - 2y = 5$进行变形：
第一步，移项：将含y的项留在等号左侧，其余项移到等号右侧，得 $-2y = 5 - 3x$；
第二步，两边同时乘以$-1$，得 $2y = 3x - 5$；
第三步，两边同时除以2，将y的系数化为1，得 $y=\dfrac{3x-5}{2}$。
观察选项：B、C选项是用含y的代数式表示x，不符合题意；A选项移项时符号错误，只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程变形、移项法则、系数化为1
【点评】
本题是代入消元法解二元一次方程组的基础题型，重点考查方程的恒等变形能力，解题时要注意移项需变号，同时看清题目要求表示的未知数，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.85
本题要求将等式中的y用含x的代数式表示，解题核心是把x看作已知数，把y当作未知量，按照解一元一次方程的步骤求解即可。首先要注意区分“用x表示y”和“用y表示x”的区别，可先排除不符合要求的选项，再通过移项、系数化为1的步骤得到正确结果，移项时要注意符号变化。
【解析】
题目要求用含x的代数式表示y，因此将x视为已知数，对等式$3x - 2y = 5$进行变形：
第一步，移项：将含y的项留在等号左侧，其余项移到等号右侧，得 $-2y = 5 - 3x$；
第二步，两边同时乘以$-1$，得 $2y = 3x - 5$；
第三步，两边同时除以2，将y的系数化为1，得 $y=\dfrac{3x-5}{2}$。
观察选项：B、C选项是用含y的代数式表示x，不符合题意；A选项移项时符号错误，只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程变形、移项法则、系数化为1
【点评】
本题是代入消元法解二元一次方程组的基础题型，重点考查方程的恒等变形能力，解题时要注意移项需变号，同时看清题目要求表示的未知数，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.85
4.「2025安徽亳州月考」李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名同学每人在前一人的基础上完成一步，下图是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中出现错误的同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
C $\begin{cases} 3x+2y=8①, \\5x-3y=2②,\end{cases}$ 由①，得 $x=\frac{8-2y}{3}$③，甲正确；将③代入②，得 $5×\frac{8-2y}{3}-3y=2$，乙正确；去分母，得 $40-10y-9y=6$，丙错误；解方程 $40-10y-9y=2$，得 $y=2$，将 $y=2$ 代入③，得 $x=\frac{4}{3}$，丁正确. 故选 C.
解析
【分析】
要判断哪位同学出错，需结合代入消元法解二元一次方程组的步骤，依次检查四人的运算是否符合规则：首先看甲将方程①变形为用y表示x的形式是否正确，再看乙代入方程②的过程是否正确，接着检查丙去分母的操作是否符合等式的性质，最后看丁的求解计算是否正确，尤其注意去分母时等式两边所有项都要乘公分母，不能漏乘常数项。
【解析】
我们逐人核对步骤：
1. 核对甲的步骤：由方程①$3x+2y=8$，移项得$3x=8-2y$，系数化为1可得$x=\frac{8-2y}{3}$，甲的步骤正确。
2. 核对乙的步骤：将③代入方程②$5x-3y=2$，把$x$替换为$\frac{8-2y}{3}$，可得$5×\frac{8-2y}{3}-3y=2$，乙的步骤正确。
3. 核对丙的步骤：对$5×\frac{8-2y}{3}-3y=2$去分母，根据等式的性质，等式两边需同时乘3，左边为$5×(8-2y)-9y=40-10y-9y$，右边应为$2×3=6$，即去分母后应为$40-10y-9y=6$，但丙的结果右边为2，漏乘了3，步骤错误。
4. 核对丁的步骤：按照丙给出的错误式子$40-10y-9y=2$计算，合并同类项得$40-19y=2$，解得$y=2$，代入③得$x=\frac{8-2×2}{3}=\frac{4}{3}$，丁的计算符合承接的式子，步骤无误。
因此出错的是丙，选C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组；等式的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题侧重考查解方程组的步骤规范性，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项，解题时需牢记等式变形的规则，每一步操作都要保证等式两边始终相等。
【难度系数】
0.8
要判断哪位同学出错，需结合代入消元法解二元一次方程组的步骤，依次检查四人的运算是否符合规则：首先看甲将方程①变形为用y表示x的形式是否正确，再看乙代入方程②的过程是否正确，接着检查丙去分母的操作是否符合等式的性质，最后看丁的求解计算是否正确，尤其注意去分母时等式两边所有项都要乘公分母，不能漏乘常数项。
【解析】
我们逐人核对步骤：
1. 核对甲的步骤：由方程①$3x+2y=8$，移项得$3x=8-2y$，系数化为1可得$x=\frac{8-2y}{3}$，甲的步骤正确。
2. 核对乙的步骤：将③代入方程②$5x-3y=2$，把$x$替换为$\frac{8-2y}{3}$，可得$5×\frac{8-2y}{3}-3y=2$，乙的步骤正确。
3. 核对丙的步骤：对$5×\frac{8-2y}{3}-3y=2$去分母，根据等式的性质，等式两边需同时乘3，左边为$5×(8-2y)-9y=40-10y-9y$，右边应为$2×3=6$，即去分母后应为$40-10y-9y=6$，但丙的结果右边为2，漏乘了3，步骤错误。
4. 核对丁的步骤：按照丙给出的错误式子$40-10y-9y=2$计算，合并同类项得$40-19y=2$，解得$y=2$，代入③得$x=\frac{8-2×2}{3}=\frac{4}{3}$，丁的计算符合承接的式子，步骤无误。
因此出错的是丙，选C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组；等式的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题侧重考查解方程组的步骤规范性，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项，解题时需牢记等式变形的规则，每一步操作都要保证等式两边始终相等。
【难度系数】
0.8
5.用代入法解下列方程组.
(1) $\begin{cases} x=6y+1①, \\ x=5+2y②. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x+2y=-1①, \\ y=x-3②. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 4x-3y=5①, \\ x+y=-4②. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 0.6x+0.3y=3①, \\ 5y-x=6②. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x=6y+1①, \\ x=5+2y②. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x+2y=-1①, \\ y=x-3②. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 4x-3y=5①, \\ x+y=-4②. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 0.6x+0.3y=3①, \\ 5y-x=6②. \end{cases}$
答案
(1)把①代入②,得 $6y+1=5+2y$,
解得 $y=1$,把 $y=1$ 代入①,得 $x=7$,所以$\begin{cases} x=7, \\ y=1. \end{cases}$
(2)把②代入①,得 $3x+2(x-3)=-1$,
解得 $x=1$,把 $x=1$ 代入②,得 $y=-2$,所以$\begin{cases} x=1, \\ y=-2. \end{cases}$
(3)由②,得 $y=-4-x$③,
把③代入①,得 $4x-3(-4-x)=5$,
解得 $x=-1$,把 $x=-1$ 代入③,得 $y=-3$,所以$\begin{cases} x=-1, \\ y=-3. \end{cases}$
(4)由②,得 $x=5y-6$③,
把③代入①,得 $0.6(5y-6)+0.3y=3$,
解得 $y=2$,把 $y=2$ 代入③,得 $x=4$,所以$\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
解得 $y=1$,把 $y=1$ 代入①,得 $x=7$,所以$\begin{cases} x=7, \\ y=1. \end{cases}$
(2)把②代入①,得 $3x+2(x-3)=-1$,
解得 $x=1$,把 $x=1$ 代入②,得 $y=-2$,所以$\begin{cases} x=1, \\ y=-2. \end{cases}$
(3)由②,得 $y=-4-x$③,
把③代入①,得 $4x-3(-4-x)=5$,
解得 $x=-1$,把 $x=-1$ 代入③,得 $y=-3$,所以$\begin{cases} x=-1, \\ y=-3. \end{cases}$
(4)由②,得 $x=5y-6$③,
把③代入①,得 $0.6(5y-6)+0.3y=3$,
解得 $y=2$,把 $y=2$ 代入③,得 $x=4$,所以$\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
解析
【分析】
代入法解二元一次方程组的核心是“消元”，将二元转化为一元求解，通用思考步骤为：①先观察方程组，若已有一个方程是用一个未知数表示另一个未知数的形式，可直接代入另一个方程消元；若没有，则先选系数简单的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；②代入消元后得到一元一次方程，求解得到一个未知数的值；③将求出的未知数值代回原式，求出另一个未知数的值，最终写出方程组的解。本题（1）（2）可直接代入消元，（3）（4）需要先变形其中一个方程再代入消元。
【解析】
(1) 把①代入②，得 $6y+1=5+2y$，
解得 $y=1$，把 $y=1$ 代入①，得 $x=6×1+1=7$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=1. \end{cases}$
(2) 把②代入①，得 $3x+2(x-3)=-1$，
解得 $x=1$，把 $x=1$ 代入②，得 $y=1-3=-2$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=-2. \end{cases}$
(3) 由②移项得 $y=-4-x$③，
把③代入①，得 $4x-3(-4-x)=5$，
解得 $x=-1$，把 $x=-1$ 代入③，得 $y=-4-(-1)=-3$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=-3. \end{cases}$
(4) 由②移项得 $x=5y-6$③，
把③代入①，得 $0.6(5y-6)+0.3y=3$，
解得 $y=2$，把 $y=2$ 代入③，得 $x=5×2-6=4$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=7, \\ y=1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=-2. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=-1, \\ y=-3. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组的解
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是代入法解二元一次方程组的基础训练题，覆盖了直接代入、先变形再代入两类常考形式，能帮助学生熟练掌握代入消元的基本步骤，理解消元的核心思想。
【难度系数】
0.8
代入法解二元一次方程组的核心是“消元”，将二元转化为一元求解，通用思考步骤为：①先观察方程组，若已有一个方程是用一个未知数表示另一个未知数的形式，可直接代入另一个方程消元；若没有，则先选系数简单的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；②代入消元后得到一元一次方程，求解得到一个未知数的值；③将求出的未知数值代回原式，求出另一个未知数的值，最终写出方程组的解。本题（1）（2）可直接代入消元，（3）（4）需要先变形其中一个方程再代入消元。
【解析】
(1) 把①代入②，得 $6y+1=5+2y$，
解得 $y=1$，把 $y=1$ 代入①，得 $x=6×1+1=7$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=1. \end{cases}$
(2) 把②代入①，得 $3x+2(x-3)=-1$，
解得 $x=1$，把 $x=1$ 代入②，得 $y=1-3=-2$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=-2. \end{cases}$
(3) 由②移项得 $y=-4-x$③，
把③代入①，得 $4x-3(-4-x)=5$，
解得 $x=-1$，把 $x=-1$ 代入③，得 $y=-4-(-1)=-3$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=-3. \end{cases}$
(4) 由②移项得 $x=5y-6$③，
把③代入①，得 $0.6(5y-6)+0.3y=3$，
解得 $y=2$，把 $y=2$ 代入③，得 $x=5×2-6=4$，所以该方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=7, \\ y=1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=-2. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=-1, \\ y=-3. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组的解
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是代入法解二元一次方程组的基础训练题，覆盖了直接代入、先变形再代入两类常考形式，能帮助学生熟练掌握代入消元的基本步骤，理解消元的核心思想。
【难度系数】
0.8
6.「2025 安徽阜阳期末，★☆」若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y =7c_1, \\3a_2x + 2b_2y =7c_2\end{cases}$的解是________.
答案
答案 $\begin{cases} x=7 \\ y=14 \end{cases}$
解析 因为$\begin{cases}3a_1x+2b_1y=7c_1, \\3a_2x+2b_2y=7c_2,\end{cases}$所以$\begin{cases}\frac{3}{7}a_1x+\frac{2}{7}b_1y=c_1, \\\frac{3}{7}a_2x+\frac{2}{7}b_2y=c_2,\end{cases}$
因为方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$所以$\begin{cases}\frac{3}{7}x=3, \\\frac{2}{7}y=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=7, \\y=14.\end{cases}$
解析 因为$\begin{cases}3a_1x+2b_1y=7c_1, \\3a_2x+2b_2y=7c_2,\end{cases}$所以$\begin{cases}\frac{3}{7}a_1x+\frac{2}{7}b_1y=c_1, \\\frac{3}{7}a_2x+\frac{2}{7}b_2y=c_2,\end{cases}$
因为方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$所以$\begin{cases}\frac{3}{7}x=3, \\\frac{2}{7}y=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=7, \\y=14.\end{cases}$
解析
【分析】
已知第一个二元一次方程组的解，要求第二个结构相似的方程组的解，可先利用等式的性质，将第二个方程组左右两边同时除以7，把它变形为和第一个方程组左边结构完全相同的形式，再根据二元一次方程组解的定义，变形后两个含x、y的代数式分别对应第一个方程组的解x=3、y=4，据此列出关于x、y的新方程，求解即可得到答案。
【解析】
首先将待求方程组$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y =7c_1, \\3a_2x + 2b_2y =7c_2\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以7，可得：
$\begin{cases}\frac{3}{7}a_1x+\frac{2}{7}b_1y=c_1, \\\frac{3}{7}a_2x+\frac{2}{7}b_2y=c_2,\end{cases}$
已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$，对比两个方程组的结构可得：
$\begin{cases}\frac{3}{7}x=3, \\\frac{2}{7}y=4,\end{cases}$
分别解这两个一元一次方程：
第一个方程两边同乘$\frac{7}{3}$，得$x=3×\frac{7}{3}=7$；
第二个方程两边同乘$\frac{7}{2}$，得$y=4×\frac{7}{2}=14$。
【答案】
$\begin{cases} x=7 \\ y=14 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，等式的性质，整体代换
【点评】
本题是二元一次方程组解的应用类题型，解题的关键是通过变形将待求方程组转化为已知解的方程组的结构，利用整体代换思想求解，避免了求解未知参数$a_1、b_1$等的复杂计算，是此类题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
已知第一个二元一次方程组的解，要求第二个结构相似的方程组的解，可先利用等式的性质，将第二个方程组左右两边同时除以7，把它变形为和第一个方程组左边结构完全相同的形式，再根据二元一次方程组解的定义，变形后两个含x、y的代数式分别对应第一个方程组的解x=3、y=4，据此列出关于x、y的新方程，求解即可得到答案。
【解析】
首先将待求方程组$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y =7c_1, \\3a_2x + 2b_2y =7c_2\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以7，可得：
$\begin{cases}\frac{3}{7}a_1x+\frac{2}{7}b_1y=c_1, \\\frac{3}{7}a_2x+\frac{2}{7}b_2y=c_2,\end{cases}$
已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$，对比两个方程组的结构可得：
$\begin{cases}\frac{3}{7}x=3, \\\frac{2}{7}y=4,\end{cases}$
分别解这两个一元一次方程：
第一个方程两边同乘$\frac{7}{3}$，得$x=3×\frac{7}{3}=7$；
第二个方程两边同乘$\frac{7}{2}$，得$y=4×\frac{7}{2}=14$。
【答案】
$\begin{cases} x=7 \\ y=14 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，等式的性质，整体代换
【点评】
本题是二元一次方程组解的应用类题型，解题的关键是通过变形将待求方程组转化为已知解的方程组的结构，利用整体代换思想求解，避免了求解未知参数$a_1、b_1$等的复杂计算，是此类题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
7.「2025安徽淮南期末，★☆」若方程组$\begin{cases}3x - y = 5, \\4x -7y =1\end{cases}$与关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - by =4, \\ax +3by =8\end{cases}$具有相同的解，则$a+b$的值为 ______ 。
答案
答案 3.5
解析 解方程组$\begin{cases}3x-y=5, \\4x-7y=1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2, \\y=1.\end{cases}$因为两个方程组的解相同, 所以将 $\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$ 代入 $\begin{cases}ax-by=4, \\ax+3by=8,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}2a-b=4①, \\2a+3b=8②,\end{cases}$ 由①, 得 $b=2a-4$③, 将③代入②, 得$2a+3(2a-4)=8$,解得 $a=2.5$,则 $b=2a-4=1$,所以 $a+b=3.5.$
解析 解方程组$\begin{cases}3x-y=5, \\4x-7y=1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2, \\y=1.\end{cases}$因为两个方程组的解相同, 所以将 $\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$ 代入 $\begin{cases}ax-by=4, \\ax+3by=8,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}2a-b=4①, \\2a+3b=8②,\end{cases}$ 由①, 得 $b=2a-4$③, 将③代入②, 得$2a+3(2a-4)=8$,解得 $a=2.5$,则 $b=2a-4=1$,所以 $a+b=3.5.$
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足4个方程。解题思路分为三步：第一步，先求解不含参数a、b的二元一次方程组，得到x、y的公共解；第二步，将求得的x、y代入含参数a、b的方程组，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步，解关于a、b的方程组求出a、b的值，最后计算a+b的结果。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}3x - y = 5, \\4x -7y =1\end{cases}$：
由$3x - y = 5$变形得$y = 3x - 5$，将其代入$4x -7y =1$中，得：
$4x - 7(3x - 5) = 1$
展开计算得$4x -21x +35 =1$，即$-17x = -34$，解得$x=2$。
把$x=2$代入$y=3x-5$，得$y=3×2 -5=1$，因此第一个方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$。
因为两个方程组的解相同，把$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by =4, \\ax +3by =8\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b =4 ①, \\2a + 3b =8 ②\end{cases}$
用②-①消去a，得$(2a+3b)-(2a-b)=8-4$，即$4b=4$，解得$b=1$。
把$b=1$代入①，得$2a -1=4$，解得$a=2.5$。
因此$a+b=2.5+1=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
同解方程组的性质，代入法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的常规应用题型，核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，解题时先求公共解再代入求参数，考查对二元一次方程组解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足4个方程。解题思路分为三步：第一步，先求解不含参数a、b的二元一次方程组，得到x、y的公共解；第二步，将求得的x、y代入含参数a、b的方程组，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步，解关于a、b的方程组求出a、b的值，最后计算a+b的结果。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}3x - y = 5, \\4x -7y =1\end{cases}$：
由$3x - y = 5$变形得$y = 3x - 5$，将其代入$4x -7y =1$中，得：
$4x - 7(3x - 5) = 1$
展开计算得$4x -21x +35 =1$，即$-17x = -34$，解得$x=2$。
把$x=2$代入$y=3x-5$，得$y=3×2 -5=1$，因此第一个方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$。
因为两个方程组的解相同，把$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by =4, \\ax +3by =8\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b =4 ①, \\2a + 3b =8 ②\end{cases}$
用②-①消去a，得$(2a+3b)-(2a-b)=8-4$，即$4b=4$，解得$b=1$。
把$b=1$代入①，得$2a -1=4$，解得$a=2.5$。
因此$a+b=2.5+1=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
同解方程组的性质，代入法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的常规应用题型，核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，解题时先求公共解再代入求参数，考查对二元一次方程组解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
8. 「2026 湖南娄底二中期末，」观察发现：
解方程组$\begin{cases} x+y=4①, \\ 3(x+y)+y=14②, \end{cases}$将①整体代入②，得$3×4+y=14$，解得$y=2$，将$y=2$代入①，解得$x=2$，所以原方程组的解是$\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$这种解法称为“整体代入法”。
(1) 方程组$\begin{cases}x-y-1=0, \\ 4(x-y)-y=5\end{cases}$的解为 ______ 。
(2) 实践运用：请用“整体代入法”解方程组：$\begin{cases} 2x-3y-2=0①, \\ \dfrac{2x-3y+5}{7}+2y=9②. \end{cases}$
解方程组$\begin{cases} x+y=4①, \\ 3(x+y)+y=14②, \end{cases}$将①整体代入②，得$3×4+y=14$，解得$y=2$，将$y=2$代入①，解得$x=2$，所以原方程组的解是$\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$这种解法称为“整体代入法”。
(1) 方程组$\begin{cases}x-y-1=0, \\ 4(x-y)-y=5\end{cases}$的解为 ______ 。
(2) 实践运用：请用“整体代入法”解方程组：$\begin{cases} 2x-3y-2=0①, \\ \dfrac{2x-3y+5}{7}+2y=9②. \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases} x-y-1=0①, \\4(x-y)-y=5②,\end{cases}$ 由①,得 $x-y=1$③,把③代入②,得 $4×1-y=5$,解得 $y=-1$. 把 $y=-1$ 代入①,得 $x=0$,所以原方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\ y=-1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x-3y-2=0①, \\\frac{2x-3y+5}{7}+2y=9②,\end{cases}$ 由①,得 $2x-3y=2$③,
把③代入②,得$\frac{2+5}{7}+2y=9$,解得 $y=4$,
把 $y=4$ 代入③,得 $2x-3×4=2$,解得 $x=7$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=4. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x-3y-2=0①, \\\frac{2x-3y+5}{7}+2y=9②,\end{cases}$ 由①,得 $2x-3y=2$③,
把③代入②,得$\frac{2+5}{7}+2y=9$,解得 $y=4$,
把 $y=4$ 代入③,得 $2x-3×4=2$,解得 $x=7$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=4. \end{cases}$
解析
【分析】
本题运用整体代入法解二元一次方程组，解题思路如下：首先观察方程组，找到两个方程中共同含有的相同代数式整体，从结构简单的方程变形得到这个整体的取值，再将整体取值代入另一个方程，即可消去一个未知数，将二元一次方程转化为一元一次方程求解，求出一个未知数的取值后，再代入原式计算得到另一个未知数的取值即可。
【解析】
(1) 对$\begin{cases}x-y-1=0①, \\ 4(x-y)-y=5②\end{cases}$，由①移项得$x-y=1$③，把③整体代入②，得$4×1 - y=5$，解得$y=-1$，将$y=-1$代入①，得$x - (-1) -1=0$，解得$x=0$。
(2) 对$\begin{cases} 2x-3y-2=0①, \\ \dfrac{2x-3y+5}{7}+2y=9② \end{cases}$，由①移项得$2x-3y=2$③，把③整体代入②，得$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$，化简得$1+2y=9$，解得$y=4$，将$y=4$代入③，得$2x - 3×4=2$，解得$x=7$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=7 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，代数式变形
【点评】
本题重点考查整体思想在方程组求解中的应用，解题核心是准确识别出两个方程中相同的代数式整体，通过整体代入可以简化消元步骤，降低计算难度，减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.8
本题运用整体代入法解二元一次方程组，解题思路如下：首先观察方程组，找到两个方程中共同含有的相同代数式整体，从结构简单的方程变形得到这个整体的取值，再将整体取值代入另一个方程，即可消去一个未知数，将二元一次方程转化为一元一次方程求解，求出一个未知数的取值后，再代入原式计算得到另一个未知数的取值即可。
【解析】
(1) 对$\begin{cases}x-y-1=0①, \\ 4(x-y)-y=5②\end{cases}$，由①移项得$x-y=1$③，把③整体代入②，得$4×1 - y=5$，解得$y=-1$，将$y=-1$代入①，得$x - (-1) -1=0$，解得$x=0$。
(2) 对$\begin{cases} 2x-3y-2=0①, \\ \dfrac{2x-3y+5}{7}+2y=9② \end{cases}$，由①移项得$2x-3y=2$③，把③整体代入②，得$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$，化简得$1+2y=9$，解得$y=4$，将$y=4$代入③，得$2x - 3×4=2$，解得$x=7$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=7 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，代数式变形
【点评】
本题重点考查整体思想在方程组求解中的应用，解题核心是准确识别出两个方程中相同的代数式整体，通过整体代入可以简化消元步骤，降低计算难度，减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.8
