20. (9分)如图18,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-x+3$与$x$轴交于点$C$,与直线$AD$交于点$A(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3})$,点$D$的坐标为$(0,1)$.
(1)求直线$AD$的解析式;
(2)直线$AD$与$x$轴交于点$B$,若点$E$是直线$AD$上一动点(不与点$B$重合),当$△ BOD$与$△ BCE$相似时,求点$E$的坐标.

解：
(1) 设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点$A(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3})$、D(0,1)代入解析式得：
$\begin{cases} b=1 \\ \dfrac{4}{3}k + b = \dfrac{5}{3} \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2} \\ b=1 \end{cases}$∴直线AD的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x + 1$。(2) 在$y=\dfrac{1}{2}x + 1$中，令y=0，得x=-2，∴点B坐标为(-2,0)。在直线y=-x+3中，令y=0，得x=3，∴点C坐标为(3,0)。∴BO=2，OD=1，BC=3 - (-2)=5，△ BOD为直角三角形，∠ BOD=90°。∵点E在直线AD上，∠ CBE为公共角，分两种情况讨论：① 当△ BOD ∽ △ BCE，即∠ BCE = ∠ BOD = 90°时，CE ⊥ x轴，点E的横坐标为3，将x=3代入$y=\dfrac{1}{2}x+1$，得$y=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$，此时点E的坐标为$(3,\dfrac{5}{2})$。② 当△ BOD ∽ △ BEC，即∠ BEC = ∠ BOD = 90°时，CE ⊥ BE，直线CE的解析式为y=-2(x-3)=-2x+6，联立$\begin{cases} y=\dfrac{1}{2}x+1 \\ y=-2x+6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$此时点E的坐标为(2,2)。综上，点E的坐标为$(3,\dfrac{5}{2})$或(2,2)。

【分析】
(1) 已知直线上两点坐标求解析式，选用待定系数法，设一次函数一般形式$y=kx+b$，将A、D两点坐标代入，解二元一次方程组求出参数即可得到直线AD的解析式。
(2) 先求出直线AD与x轴交点B、直线$y=-x+3$与x轴交点C的坐标，明确$△ BOD$是直角在O的直角三角形；由于$△ BCE$和$△ BOD$有公共角$∠ B$，相似时直角位置有两种情况：①直角在点C，②直角在点E，分两种情况结合一次函数性质计算E点坐标即可，注意排除E与B重合的情况。
【解析】
(1) 设直线AD的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3})$、$D(0,1)$代入解析式得：
$\begin{cases} b=1 \\ \dfrac{4}{3}k + b = \dfrac{5}{3} \end{cases}$
将$b=1$代入第二个方程解得$k=\dfrac{1}{2}$，
∴直线AD的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x + 1$。
(2) 求相关点坐标：
在$y=\dfrac{1}{2}x + 1$中，令$y=0$，解得$x=-2$，
∴点B坐标为$(-2,0)$；
在直线$y=-x+3$中，令$y=0$，解得$x=3$，
∴点C坐标为$(3,0)$。
由此可得$BO=2$，$OD=1$，$BC=3 - (-2)=5$，$△ BOD$为直角三角形，$∠ BOD=90°$。
∵点E在直线AD上，$∠ CBE$为两个三角形的公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ BOD ∽ △ BCE$时，对应角$∠ BCE = ∠ BOD = 90°$，即$CE ⊥ x$轴，
此时点E横坐标与C相同为3，将$x=3$代入$y=\dfrac{1}{2}x+1$，得$y=\dfrac{5}{2}$，
∴此时E坐标为$(3,\dfrac{5}{2})$，不与B重合，符合要求。
② 当$△ BOD ∽ △ BEC$时，对应角$∠ BEC = ∠ BOD = 90°$，即$CE ⊥ BE$，
直线CE斜率为$-2$，结合C点坐标得直线CE解析式为$y=-2(x-3)=-2x+6$，
联立$\begin{cases} y=\dfrac{1}{2}x+1 \\ y=-2x+6 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$，
∴此时E坐标为$(2,2)$，不与B重合，符合要求。
综上，点E的坐标为$(3,\dfrac{5}{2})$或$(2,2)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x + 1$
(2) $(3,\dfrac{5}{2})$或$(2,2)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数交点计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合常考题，既考查了一次函数的基础应用，也考查了相似三角形分类讨论的思想，解题时要注意公共角对应的相似关系不唯一，避免漏解。
【难度系数】
0.6

21. (10分)如图19,在△ABC中,AC=8 cm,BC=16 cm,点P从点A出发,沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动,点Q从点C出发,沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动,如果P与Q同时出发,经过几秒△PQC和△ABC相似?

解：设经过t秒，△PQC和△ABC相似，
此时AP = t cm，CQ = 2t cm，
则CP = AC - AP = (8 - t) cm，其中0 ＜ t ＜ 8。
∵ ∠C是△PQC和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
① 当△PQC∽△ABC时，有$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，
代入数据得：$\frac{8-t}{8}=\frac{2t}{16}$，
解得：$t=4$；
② 当△QPC∽△ABC时，有$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
代入数据得：$\frac{8-t}{16}=\frac{2t}{8}$，
解得：$t=\frac{8}{5}$。
经检验，$t=4$和$t=\frac{8}{5}$都符合题意。
答：经过$\frac{8}{5}$秒或4秒，△PQC和△ABC相似。

【分析】
这是动点结合相似三角形的求解问题，解题思路如下：首先设运动时间为t，先根据动点的运动速度和方向，用含t的式子表示出△PQC中夹公共角∠C的两条边长CP、CQ，同时明确t的取值范围；再观察到△PQC和△ABC有公共角∠C，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，由于边的对应关系不唯一，因此需要分两种对应情况列比例式；最后求解方程并检验解是否符合t的取值范围即可。
【解析】
设经过t秒，△PQC和△ABC相似，
此时AP = t cm，CQ = 2t cm，
则CP = AC - AP = (8 - t) cm，其中0 ＜ t ＜ 8。
∵ ∠C是△PQC和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
① 当△PQC∽△ABC时，有$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，
代入数据得：$\frac{8-t}{8}=\frac{2t}{16}$，
解得：$t=4$；
② 当△QPC∽△ABC时，有$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
代入数据得：$\frac{8-t}{16}=\frac{2t}{8}$，
解得：$t=\frac{8}{5}$。
经检验，$t=4$和$t=\frac{8}{5}$都在0＜t＜8的取值范围内，符合题意。
【答案】
经过$\frac{8}{5}$秒或4秒时，△PQC和△ABC相似。
【知识点】
相似三角形判定，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是相似三角形的典型动点题型，解题核心是抓住两三角形共角的不变特征，根据边的对应关系不同分类讨论列方程求解，同时要注意对解的结果进行合理性检验，避免出现不符合运动实际的增根，也不要漏解。
【难度系数】
0.6