1.（教材例题变式）(2024·福建)如图,已知点 A、B 在$\odot O$上,$∠ AOB=72°$,直线 MN 与$\odot O$相切,切点为 C,且 C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$∠ ACM$的度数为 （ ）
A. $18°$
B. $30°$
C. $36°$
D. $72°$

A

2. 如图，AC是$\odot O$的切线，B为切点，连接OA、OC. 若$∠ A=30°$，$AB=2\sqrt{3}$，$BC=4$，则OC的长为 （ ）
A. $2\sqrt{5}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $5$
D. $\sqrt{13}$

A

3. 如图，AB是$\odot O$的直径，PA切$\odot O$于点A，PO交$\odot O$于点C，连接BC，若$∠ ABC=28°$，则$∠ P$的度数为______．

34°

4. (2023·北京)如图，OA是$\odot O$的半径，BC是$\odot O$的弦，$OA⊥ BC$于点D，AE是$\odot O$的切线，交OC的延长线于点E.若$∠ AOC=45°$，$BC=2$，则线段AE的长为$\underline{\hspace{5em}}$.

$\sqrt{2}$

5. (教材例题变式)如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交$\odot O$于点E，连接AC，求证：AC平分$∠ DAB$.

证明：连接$OC。$ $\because CD$为$\odot O$的切线，$\therefore OC\perp CD，$$\therefore \angle OCD = 90^{\circ}。$ $\because AD\perp CD，$$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}，$$\therefore \angle OCD+\angle ADC = 180^{\circ}，$$\therefore AD// OC。$ $\therefore \angle DAC = \angle OCA。$ $\because OA = OC，$$\therefore \angle OCA = \angle OAC。$ $\therefore \angle DAC=\angle OAC，$即$AC$平分$\angle DAB。$ ;

6. (教材习题变式)在以点O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为2,大圆的弦AB与小圆交于点C、D,AC=CD,且∠COD=60°.
(1)求大圆的半径.
(2)若大圆的弦AE与小圆切于点F,求AE的长.

（1）解：连接$OA。$ $\because OC = OD$且$\angle COD = 60^{\circ}，$$\therefore \triangle OCD$为等边三角形， $\therefore CD = OD = OC = 2。$ $\because AC = CD，$$\therefore AD = 4$且$OC=\frac{1}{2}AD，$$\therefore CO = CA = CD，$ $\therefore A$、$O$、$D$在以点$C$为圆心、$CO$的长为半径的圆上， $\therefore \angle AOD = 90^{\circ}，$ $\therefore OA=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}，$$\therefore$大圆的半径为$2\sqrt{3}。$ （2）解：连接$OF。$ $\because$大圆的弦$AE$与小圆切于点$F，$$\therefore OF\perp AE，$$\therefore AF=\frac{1}{2}AE。$ 在$Rt\triangle AFO$中，$AF=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{2}，$$\therefore AE = 4\sqrt{2}。$ ;