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8. 甲、乙两人同时解方程组$\begin{cases} ax + by = 2, \\ mx -7y = 8。 \end{cases}$ 甲解对了，得$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2。 \end{cases}$ 乙看错了$m$，解得$\begin{cases} x = -2, \\ y = -2。 \end{cases}$ 试求原方程组中$a,b,m$的值。
答案
8. 解:把 $\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$ 代入方程组,得 3a+2b=2,3m-14=8,
解得 $m=\dfrac{22}{3}$。
把 $\begin{cases} x=-2, \\ y=-2 \end{cases}$ 代入方程组中第一个方程,得 -2a-2b=2,
即 a+b=-1,
所以 $\begin{cases} a+b=-1①, \\ 3a+2b=2②。 \end{cases}$
②-①×2,得 a=4,
把 a=4 代入②,得 b=-5。
所以 $a=4,b=-5,m=\dfrac{22}{3}$。
解得 $m=\dfrac{22}{3}$。
把 $\begin{cases} x=-2, \\ y=-2 \end{cases}$ 代入方程组中第一个方程,得 -2a-2b=2,
即 a+b=-1,
所以 $\begin{cases} a+b=-1①, \\ 3a+2b=2②。 \end{cases}$
②-①×2,得 a=4,
把 a=4 代入②,得 b=-5。
所以 $a=4,b=-5,m=\dfrac{22}{3}$。
解析
【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组解的含义：①甲解得的结果是原方程组的正确解，因此同时满足两个方程，代入后既能直接求出m的值，还能得到一个关于a、b的方程；②乙仅看错了m，说明a、b的数值他没看错，因此他解得的结果仍然满足不含m的第一个方程$ax+by=2$，代入后可得到另一个关于a、b的方程，联立两个关于a、b的方程即可求出a、b的取值。
【解析】
解：把甲的正确解$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$代入原方程组，得：
$3a+2b=2$，$3m-14=8$，
解$3m-14=8$得$m=\dfrac{22}{3}$。
因为乙仅看错了m，所以他的解满足第一个方程，把$\begin{cases} x=-2, \\ y=-2 \end{cases}$代入$ax+by=2$，得：
$-2a-2b=2$，化简得$a+b=-1$，
联立得关于a、b的方程组$\begin{cases} a+b=-1①, \\ 3a+2b=2②。 \end{cases}$
用②-①×2，得$a=4$，
把$a=4$代入①，得$4+b=-1$，解得$b=-5$。
【答案】
$a=4,b=-5,m=\dfrac{22}{3}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义、解二元一次方程组、待定系数法
【点评】
本题是二元一次方程组的经典应用题型，解题的关键是读懂题意，准确理解“看错某一系数”的含义，结合方程组解的性质建立对应的方程即可求解。
【难度系数】
0.65
解题的核心是明确二元一次方程组解的含义：①甲解得的结果是原方程组的正确解，因此同时满足两个方程，代入后既能直接求出m的值，还能得到一个关于a、b的方程；②乙仅看错了m，说明a、b的数值他没看错，因此他解得的结果仍然满足不含m的第一个方程$ax+by=2$，代入后可得到另一个关于a、b的方程，联立两个关于a、b的方程即可求出a、b的取值。
【解析】
解：把甲的正确解$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$代入原方程组，得：
$3a+2b=2$，$3m-14=8$，
解$3m-14=8$得$m=\dfrac{22}{3}$。
因为乙仅看错了m，所以他的解满足第一个方程，把$\begin{cases} x=-2, \\ y=-2 \end{cases}$代入$ax+by=2$，得：
$-2a-2b=2$，化简得$a+b=-1$，
联立得关于a、b的方程组$\begin{cases} a+b=-1①, \\ 3a+2b=2②。 \end{cases}$
用②-①×2，得$a=4$，
把$a=4$代入①，得$4+b=-1$，解得$b=-5$。
【答案】
$a=4,b=-5,m=\dfrac{22}{3}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义、解二元一次方程组、待定系数法
【点评】
本题是二元一次方程组的经典应用题型，解题的关键是读懂题意，准确理解“看错某一系数”的含义，结合方程组解的性质建立对应的方程即可求解。
【难度系数】
0.65
二、拓展性作业
9. 已知实数 $ m $，$ n $ 满足 $ m + n = 5 $，且
$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$
求 $ k $ 的值。
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于 $ m $，$ n $ 的方程组
$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$
再求 $ k $ 的值。
乙同学：先将原方程组中的两个方程相加，再求 $ k $ 的值。
丙同学：先解方程组 $ \begin{cases} m + n = 5, \\ 8m + 9n = 10, \end{cases} $ 再求 $ k $ 的值。
（1）试选择其中一位同学的思路，解答此题；
（2）试说明在关于 $ x $，$ y $ 的方程组
$\begin{cases}x + 3y = 4 - a, \\x - 5y = 3a\end{cases}$
中，不论 $ a $ 取什么实数，$ x + y $ 的值始终不变。
9. 已知实数 $ m $，$ n $ 满足 $ m + n = 5 $，且
$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$
求 $ k $ 的值。
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于 $ m $，$ n $ 的方程组
$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$
再求 $ k $ 的值。
乙同学：先将原方程组中的两个方程相加，再求 $ k $ 的值。
丙同学：先解方程组 $ \begin{cases} m + n = 5, \\ 8m + 9n = 10, \end{cases} $ 再求 $ k $ 的值。
（1）试选择其中一位同学的思路，解答此题；
（2）试说明在关于 $ x $，$ y $ 的方程组
$\begin{cases}x + 3y = 4 - a, \\x - 5y = 3a\end{cases}$
中，不论 $ a $ 取什么实数，$ x + y $ 的值始终不变。
答案
9. 解:(1) $\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13①, \\8m + 9n = 10②。\end{cases}$
①+②,得 17(m+n)=11k-3,
因为 m+n=5,
所以 17×5=11k-3,
解得 k=8。
(选一种思路解答即可)
(2) $\begin{cases}x + 3y = 4 - a③, \\x - 5y = 3a④。\end{cases}$
③×3+④,得 4x+4y=12,
所以 x+y=3,
所以不论 a 取什么实数,x+y 的值始终不变。
①+②,得 17(m+n)=11k-3,
因为 m+n=5,
所以 17×5=11k-3,
解得 k=8。
(选一种思路解答即可)
(2) $\begin{cases}x + 3y = 4 - a③, \\x - 5y = 3a④。\end{cases}$
③×3+④,得 4x+4y=12,
所以 x+y=3,
所以不论 a 取什么实数,x+y 的值始终不变。
解析
【分析】
（1）选择乙同学的思路解题最简便：观察原方程组中m、n的系数，两个方程相加后m和n的系数均为17，提取公因式可得到含$m+n$的整体表达式，直接代入已知$m+n=5$即可建立关于k的一元一次方程，无需单独求解m、n，计算更简便。
（2）要证明x+y的值与a无关，只需通过消元法消去方程组中的参数a，整理得到$x+y$的定值即可说明其不受a取值的影响。
【解析】
（1）选择乙同学的思路解答：
记$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13&①\\8m + 9n = 10&②\end{cases}$
①+②，得$17m + 17n = 11k - 3$，即$17(m+n)=11k-3$
将$m+n=5$代入上式，得$17×5=11k-3$
计算得$85=11k-3$，移项得$11k=88$，解得$k=8$。
（2）记$\begin{cases}x + 3y = 4 - a&③\\x - 5y = 3a&④\end{cases}$
③$×3$，得$3x + 9y = 12 - 3a$ ⑤
⑤+④，得$4x + 4y = 12$，两边同时除以4得$x+y=3$
因此不论a取什么实数，$x+y$的值始终为3，固定不变。
【答案】
（1）$k=8$；（2）不论$a$取何实数，$x+y$的值始终为3，保持不变。
【知识点】
二元一次方程组消元法；整体代入思想；参数方程组求解
【点评】
本题侧重考察二元一次方程组的灵活运用，解题时优先观察式子特征，利用整体思想凑出目标表达式可大幅简化计算，能有效锻炼对消元法的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）选择乙同学的思路解题最简便：观察原方程组中m、n的系数，两个方程相加后m和n的系数均为17，提取公因式可得到含$m+n$的整体表达式，直接代入已知$m+n=5$即可建立关于k的一元一次方程，无需单独求解m、n，计算更简便。
（2）要证明x+y的值与a无关，只需通过消元法消去方程组中的参数a，整理得到$x+y$的定值即可说明其不受a取值的影响。
【解析】
（1）选择乙同学的思路解答：
记$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13&①\\8m + 9n = 10&②\end{cases}$
①+②，得$17m + 17n = 11k - 3$，即$17(m+n)=11k-3$
将$m+n=5$代入上式，得$17×5=11k-3$
计算得$85=11k-3$，移项得$11k=88$，解得$k=8$。
（2）记$\begin{cases}x + 3y = 4 - a&③\\x - 5y = 3a&④\end{cases}$
③$×3$，得$3x + 9y = 12 - 3a$ ⑤
⑤+④，得$4x + 4y = 12$，两边同时除以4得$x+y=3$
因此不论a取什么实数，$x+y$的值始终为3，固定不变。
【答案】
（1）$k=8$；（2）不论$a$取何实数，$x+y$的值始终为3，保持不变。
【知识点】
二元一次方程组消元法；整体代入思想；参数方程组求解
【点评】
本题侧重考察二元一次方程组的灵活运用，解题时优先观察式子特征，利用整体思想凑出目标表达式可大幅简化计算，能有效锻炼对消元法的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 请根据所给的三个素材，完成要求的三个任务。
答案
10. 解:(1)设每辆 A 型客车的租金是 x 元,每辆 B 型客车的租金是 y 元。
根据题意得 $\begin{cases}3x + 2y = 3\ 800, \\x + 3y = 3\ 600,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=600, \\ y=1\ 000。 \end{cases}$
所以每辆 A 型客车的租金是 600 元,每辆 B 型客车的租金是 1 000 元。
(2)设租用 m 辆 A 型客车,n 辆 B 型客车。
根据题意得 25m+55n=485,
所以 $m=\dfrac{97-11n}{5}$。
又因为 m,n 均为非负整数,
所以 $\begin{cases} m=15, \\ n=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=4, \\ n=7, \end{cases}$
所以共有 2 种租车方案。
方案 1:租用 15 辆 A 型客车,2 辆 B 型客车;
方案 2:租用 4 辆 A 型客车,7 辆 B 型客车。
(3)选择方案 1 所需总租金为 600×15+1 000×2=11 000(元),
选择方案 2 所需总租金为 600×4+1 000×7=9 400(元)。
因为 11 000＞9 400＞9 000,9 400-9 000=400(元),
所以不存在租车费用不超过预算的租车方案,至少要追加 400 元预算金额。
根据题意得 $\begin{cases}3x + 2y = 3\ 800, \\x + 3y = 3\ 600,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=600, \\ y=1\ 000。 \end{cases}$
所以每辆 A 型客车的租金是 600 元,每辆 B 型客车的租金是 1 000 元。
(2)设租用 m 辆 A 型客车,n 辆 B 型客车。
根据题意得 25m+55n=485,
所以 $m=\dfrac{97-11n}{5}$。
又因为 m,n 均为非负整数,
所以 $\begin{cases} m=15, \\ n=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=4, \\ n=7, \end{cases}$
所以共有 2 种租车方案。
方案 1:租用 15 辆 A 型客车,2 辆 B 型客车;
方案 2:租用 4 辆 A 型客车,7 辆 B 型客车。
(3)选择方案 1 所需总租金为 600×15+1 000×2=11 000(元),
选择方案 2 所需总租金为 600×4+1 000×7=9 400(元)。
因为 11 000＞9 400＞9 000,9 400-9 000=400(元),
所以不存在租车费用不超过预算的租车方案,至少要追加 400 元预算金额。
解析
【分析】
(1) 任务1需计算A、B两种客车的租金，属于二元一次方程组的应用类问题，我们可以分别设两种车型的租金为未知数，结合表格中两组租车数量与总费用的对应关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2) 任务2需寻找恰好坐满所有师生的租车方案，我们可以设租用两种车型的数量分别为m、n，结合总人数和两种车的座位数列出二元一次方程，再根据车辆数为非负整数的隐藏条件，求出所有符合要求的整数解，即可得到全部租车方案。
(3) 任务3要判断是否存在符合预算的方案，只需计算出任务2中所有租车方案的总费用，与9000元预算对比即可；若所有方案均超预算，用最低的总费用减去预算，就能得到至少需要追加的金额。
【解析】
(1) 设每辆A型客车的租金是x元，每辆B型客车的租金是y元。
根据题意得：$\begin{cases}3x + 2y = 3800 \\x + 3y = 3600\end{cases}$
解方程组，将第二个方程变形为$x=3600-3y$，代入第一个方程得：
$3×(3600-3y)+2y=3800$，解得$y=1000$，再代入得$x=600$，即$\begin{cases} x=600 \\ y=1000 \end{cases}$。
(2) 设租用m辆A型客车，n辆B型客车，且每辆车恰好坐满。
根据总人数列方程：$25m+55n=485$，化简得$5m+11n=97$，变形为$m=\dfrac{97-11n}{5}$。
由于m、n均为非负整数，因此$97-11n$需为非负的5的倍数，代入验证得两组符合条件的解：$\begin{cases} m=15 \\ n=2 \end{cases}$或$\begin{cases} m=4 \\ n=7 \end{cases}$，对应两种租车方案：
方案1：租用15辆A型客车，2辆B型客车；
方案2：租用4辆A型客车，7辆B型客车。
(3) 分别计算两种方案的总租金：
方案1总租金：$600×15 + 1000×2 = 11000$（元）
方案2总租金：$600×4 + 1000×7 = 9400$（元）
对比预算9000元，$11000＞9400＞9000$，两种方案均超过预算，最低总费用为9400元，因此需追加的金额为$9400-9000=400$（元）。
【答案】
(1) 每辆A型客车租金为600元，每辆B型客车租金为1000元；
(2) 共有2种租车方案：方案1租用15辆A型客车、2辆B型客车；方案2租用4辆A型客车、7辆B型客车；
(3) 不存在租车费用不超过预算的方案，至少要追加400元预算。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，方案优化计算
【点评】
本题结合实际租车场景考查方程的应用，解题核心是找准等量关系准确列方程，同时要注意车辆数为非负整数的隐藏限制条件，能够有效锻炼学生的逻辑分析能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 任务1需计算A、B两种客车的租金，属于二元一次方程组的应用类问题，我们可以分别设两种车型的租金为未知数，结合表格中两组租车数量与总费用的对应关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2) 任务2需寻找恰好坐满所有师生的租车方案，我们可以设租用两种车型的数量分别为m、n，结合总人数和两种车的座位数列出二元一次方程，再根据车辆数为非负整数的隐藏条件，求出所有符合要求的整数解，即可得到全部租车方案。
(3) 任务3要判断是否存在符合预算的方案，只需计算出任务2中所有租车方案的总费用，与9000元预算对比即可；若所有方案均超预算，用最低的总费用减去预算，就能得到至少需要追加的金额。
【解析】
(1) 设每辆A型客车的租金是x元，每辆B型客车的租金是y元。
根据题意得：$\begin{cases}3x + 2y = 3800 \\x + 3y = 3600\end{cases}$
解方程组，将第二个方程变形为$x=3600-3y$，代入第一个方程得：
$3×(3600-3y)+2y=3800$，解得$y=1000$，再代入得$x=600$，即$\begin{cases} x=600 \\ y=1000 \end{cases}$。
(2) 设租用m辆A型客车，n辆B型客车，且每辆车恰好坐满。
根据总人数列方程：$25m+55n=485$，化简得$5m+11n=97$，变形为$m=\dfrac{97-11n}{5}$。
由于m、n均为非负整数，因此$97-11n$需为非负的5的倍数，代入验证得两组符合条件的解：$\begin{cases} m=15 \\ n=2 \end{cases}$或$\begin{cases} m=4 \\ n=7 \end{cases}$，对应两种租车方案：
方案1：租用15辆A型客车，2辆B型客车；
方案2：租用4辆A型客车，7辆B型客车。
(3) 分别计算两种方案的总租金：
方案1总租金：$600×15 + 1000×2 = 11000$（元）
方案2总租金：$600×4 + 1000×7 = 9400$（元）
对比预算9000元，$11000＞9400＞9000$，两种方案均超过预算，最低总费用为9400元，因此需追加的金额为$9400-9000=400$（元）。
【答案】
(1) 每辆A型客车租金为600元，每辆B型客车租金为1000元；
(2) 共有2种租车方案：方案1租用15辆A型客车、2辆B型客车；方案2租用4辆A型客车、7辆B型客车；
(3) 不存在租车费用不超过预算的方案，至少要追加400元预算。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，方案优化计算
【点评】
本题结合实际租车场景考查方程的应用，解题核心是找准等量关系准确列方程，同时要注意车辆数为非负整数的隐藏限制条件，能够有效锻炼学生的逻辑分析能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
