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14. (1) 观察下面按次序排列的每一列数，研究它们各自的规律，然后填出后面的两个数：
① 1，0，−1，0，1，0，−1，0，1，0，−1，0，
② 2，−4，6，−8，10，−12，14，−16，
③ $\frac{1}{2}$，$-\frac{2}{3}$，$-\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，$-\frac{5}{6}$，$-\frac{6}{7}$，$\frac{7}{8}$，$-\frac{8}{9}$，
(2) 你能说出(1)中各列数中第99个数和第100个数分别是什么吗？
① 1，0，−1，0，1，0，−1，0，1，0，−1，0，
1
，0
…；② 2，−4，6，−8，10，−12，14，−16，
18
，-20
，…；③ $\frac{1}{2}$，$-\frac{2}{3}$，$-\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，$-\frac{5}{6}$，$-\frac{6}{7}$，$\frac{7}{8}$，$-\frac{8}{9}$，
$-\frac{9}{10}$
，$\frac{10}{11}$
，….(2) 你能说出(1)中各列数中第99个数和第100个数分别是什么吗？
答案
14. (1) ①1 0 ②18 -20 ③$-\frac{9}{10}$ $\frac{10}{11}$ (2) ①第99个数是−1,第100个数是0;②第99个数是198,第100个数是−200;③第99个数是$-\frac{99}{100}$,第100个数是$\frac{100}{101}$
解析
【分析】
解决数列找规律题可从三个维度入手：一是观察数字绝对值的变化规律，二是分析符号的正负变化规律，三是判断是否存在周期性重复特征，再结合推导的规律填空、求解指定位置的数。
对于①：观察可知数列以“1，0，-1，0”4个数字为1个周期循环，用位置序号除以4看余数，即可确定对应位置的数字。
对于②：数字绝对值是位置序号的2倍，符号规律为奇数位为正、偶数位为负，结合两个特征即可写出任意位置的数。
对于③：数字部分的分子等于位置序号，分母比分子大1；符号以“+、-、-”3个为1个周期循环，用位置序号除以3看余数即可确定符号。
【解析】
(1) ① 数列周期为4，已给出的末尾两个数是周期的最后两位，接下来进入新周期，前两位为1、0，故填1，0；
② 第n个数的绝对值为2n，第9位是奇数位，绝对值为2×9=18，符号为正，得18；第10位是偶数位，绝对值为2×10=20，符号为负，得-20，故填18，-20；
③ 第n个数的数字部分为$\frac{n}{n+1}$，第9位：9÷3=3，刚好整除，对应周期最后一个符号为负，得$-\frac{9}{10}$；第10位：10÷3=3余1，对应周期第一个符号为正，得$\frac{10}{11}$，故填$-\frac{9}{10}$，$\frac{10}{11}$。
(2) ① 99÷4=24余3，对应周期第3个数为-1；100÷4=25，刚好整除，对应周期第4个数为0，故第99个数是-1，第100个数是0；
② 第99位是奇数位，绝对值为2×99=198，符号为正，得198；第100位是偶数位，绝对值为2×100=200，符号为负，得-200，故第99个数是198，第100个数是-200；
③ 99÷3=33，刚好整除，对应符号为负，数字部分为$\frac{99}{100}$，得$-\frac{99}{100}$；100÷3=33余1，对应符号为正，数字部分为$\frac{100}{101}$，得$\frac{100}{101}$，故第99个数是$-\frac{99}{100}$，第100个数是$\frac{100}{101}$。
【答案】
(1) ①1 0 ②18 -20 ③$-\frac{9}{10}$ $\frac{10}{11}$ (2) ①第99个数是−1,第100个数是0;②第99个数是198,第100个数是−200;③第99个数是$-\frac{99}{100}$,第100个数是$\frac{100}{101}$
【知识点】
数字规律探究，周期规律，有理数符号判断
【点评】
本题是典型的数列规律探究基础题，核心考查观察与归纳能力，掌握从绝对值、符号、周期性三个角度拆分分析的方法，就能快速推导规律完成求解。
【难度系数】
0.7
解决数列找规律题可从三个维度入手：一是观察数字绝对值的变化规律，二是分析符号的正负变化规律，三是判断是否存在周期性重复特征，再结合推导的规律填空、求解指定位置的数。
对于①：观察可知数列以“1，0，-1，0”4个数字为1个周期循环，用位置序号除以4看余数，即可确定对应位置的数字。
对于②：数字绝对值是位置序号的2倍，符号规律为奇数位为正、偶数位为负，结合两个特征即可写出任意位置的数。
对于③：数字部分的分子等于位置序号，分母比分子大1；符号以“+、-、-”3个为1个周期循环，用位置序号除以3看余数即可确定符号。
【解析】
(1) ① 数列周期为4，已给出的末尾两个数是周期的最后两位，接下来进入新周期，前两位为1、0，故填1，0；
② 第n个数的绝对值为2n，第9位是奇数位，绝对值为2×9=18，符号为正，得18；第10位是偶数位，绝对值为2×10=20，符号为负，得-20，故填18，-20；
③ 第n个数的数字部分为$\frac{n}{n+1}$，第9位：9÷3=3，刚好整除，对应周期最后一个符号为负，得$-\frac{9}{10}$；第10位：10÷3=3余1，对应周期第一个符号为正，得$\frac{10}{11}$，故填$-\frac{9}{10}$，$\frac{10}{11}$。
(2) ① 99÷4=24余3，对应周期第3个数为-1；100÷4=25，刚好整除，对应周期第4个数为0，故第99个数是-1，第100个数是0；
② 第99位是奇数位，绝对值为2×99=198，符号为正，得198；第100位是偶数位，绝对值为2×100=200，符号为负，得-200，故第99个数是198，第100个数是-200；
③ 99÷3=33，刚好整除，对应符号为负，数字部分为$\frac{99}{100}$，得$-\frac{99}{100}$；100÷3=33余1，对应符号为正，数字部分为$\frac{100}{101}$，得$\frac{100}{101}$，故第99个数是$-\frac{99}{100}$，第100个数是$\frac{100}{101}$。
【答案】
(1) ①1 0 ②18 -20 ③$-\frac{9}{10}$ $\frac{10}{11}$ (2) ①第99个数是−1,第100个数是0;②第99个数是198,第100个数是−200;③第99个数是$-\frac{99}{100}$,第100个数是$\frac{100}{101}$
【知识点】
数字规律探究，周期规律，有理数符号判断
【点评】
本题是典型的数列规律探究基础题，核心考查观察与归纳能力，掌握从绝对值、符号、周期性三个角度拆分分析的方法，就能快速推导规律完成求解。
【难度系数】
0.7
15. 将一串有理数按下列规律排列：
回答下列问题：
（1）在B处的数是正数还是负数？
（2）正数排在A、B、C、D中的哪个位置？
（3）第2025个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D、E中的哪个位置？
回答下列问题：
（1）在B处的数是正数还是负数？
（2）正数排在A、B、C、D中的哪个位置？
（3）第2025个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D、E中的哪个位置？
答案
(1) 负数 (2) A和C的位置 (3) 第2025个数是负数,排在对应于B的位置
解析
【分析】
首先观察这列数的基本规律：数的绝对值是从1开始的连续正整数，符号规律为奇数是负数，偶数是正数；再观察位置排列规律，从第2个数开始每4个数为一个循环周期，位置依次对应C、D、A、B，对应数的符号依次为正、负、正、负，结合该规律即可解答三个问题。
【解析】
（1）观察B位置的数：-5、-9均为负数，且B位置对应的数都是奇数，因此B处的数是负数。
（2）观察各位置的数的符号：A位置是4、8，均为偶数，是正数；B位置是-5、-9，均为奇数，是负数；C位置是2、6、10，均为偶数，是正数；D位置是-3、-7，均为奇数，是负数，因此正数排在A和C的位置。
（3）第一步判断符号：2025是奇数，根据规律奇数为负，因此第2025个数是负数；
第二步判断位置：计算$2025÷4=506······1$，即余数为1，结合排列规律，除以4余1的数（第1个数除外）均排在B位置，因此第2025个数排在B位置。
【答案】
(1) 负数 (2) A和C的位置 (3) 第2025个数是负数,排在对应于B的位置
【知识点】
有理数的分类，规律探究
【点评】
本题属于有理数规律探究类题型，解题的核心是先梳理清楚数的符号规律，再找准位置的循环周期，结合余数判断对应位置，掌握周期规律的分析方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先观察这列数的基本规律：数的绝对值是从1开始的连续正整数，符号规律为奇数是负数，偶数是正数；再观察位置排列规律，从第2个数开始每4个数为一个循环周期，位置依次对应C、D、A、B，对应数的符号依次为正、负、正、负，结合该规律即可解答三个问题。
【解析】
（1）观察B位置的数：-5、-9均为负数，且B位置对应的数都是奇数，因此B处的数是负数。
（2）观察各位置的数的符号：A位置是4、8，均为偶数，是正数；B位置是-5、-9，均为奇数，是负数；C位置是2、6、10，均为偶数，是正数；D位置是-3、-7，均为奇数，是负数，因此正数排在A和C的位置。
（3）第一步判断符号：2025是奇数，根据规律奇数为负，因此第2025个数是负数；
第二步判断位置：计算$2025÷4=506······1$，即余数为1，结合排列规律，除以4余1的数（第1个数除外）均排在B位置，因此第2025个数排在B位置。
【答案】
(1) 负数 (2) A和C的位置 (3) 第2025个数是负数,排在对应于B的位置
【知识点】
有理数的分类，规律探究
【点评】
本题属于有理数规律探究类题型，解题的核心是先梳理清楚数的符号规律，再找准位置的循环周期，结合余数判断对应位置，掌握周期规律的分析方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
