登录
1.分式的乘法法则
分式乘分式，用作为积的分子，作为积的分母，即
$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a · c}{b · d}$
分式乘分式，用作为积的分子，作为积的分母，即
$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a · c}{b · d}$
答案
解：分子的积
分母的积
分母的积
解析
【分析】
本题是对分式乘法法则基础概念的考查，解题时先回忆分式乘法的运算规则，再结合给出的分式乘法公式对应分析积的分子、分母的构成即可得出答案。
【解析】
根据分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。结合给出的公式$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a · c}{b · d}$可验证：积的分子是两个分式的分子a、c的乘积，积的分母是两个分式的分母b、d的乘积，因此两个空依次对应填入分子的积、分母的积。
【答案】
分子的积；分母的积
【知识点】
分式的乘法法则
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心是对分式乘法基本运算规则的记忆，掌握该概念是后续进行复杂分式乘除运算的基础。
【难度系数】
0.9
本题是对分式乘法法则基础概念的考查，解题时先回忆分式乘法的运算规则，再结合给出的分式乘法公式对应分析积的分子、分母的构成即可得出答案。
【解析】
根据分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。结合给出的公式$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a · c}{b · d}$可验证：积的分子是两个分式的分子a、c的乘积，积的分母是两个分式的分母b、d的乘积，因此两个空依次对应填入分子的积、分母的积。
【答案】
分子的积；分母的积
【知识点】
分式的乘法法则
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心是对分式乘法基本运算规则的记忆，掌握该概念是后续进行复杂分式乘除运算的基础。
【难度系数】
0.9
2.分式的除法法则
分式除以分式，把后，与相乘，即$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a · d}{b · c}$
分式除以分式，把后，与相乘，即$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a · d}{b · c}$
答案
解：
除式的分子、分母颠倒位置
被除式
$\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$
除式的分子、分母颠倒位置
被除式
$\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$
解析
【分析】
本题考查分式除法法则的记忆与理解，我们可以类比小学学过的分数除法法则来思考：分数除法是除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，分式除法的逻辑和分数除法完全一致。解题时先回忆分式除法的操作步骤：第一步处理除式，将除式的分子分母互换位置（即取除式的倒数），第二步把除法运算转化为乘法运算，和被除式相乘，再结合给出的除法公式推导对应变形结果即可。
【解析】
根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
对应公式推导：$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d}$（$b、c、d$均不为0），将除式$\frac{c}{d}$的分子分母颠倒得到$\frac{d}{c}$，再和被除式$\frac{a}{b}$相乘，即$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b}·\frac{d}{c} = \frac{a · d}{b · c}$。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
除式的分子、分母颠倒位置；被除式；$\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$
【知识点】
分式的除法法则
【点评】
本题是对分式除法基本概念的直接考查，属于基础题，核心是要求学生熟记分式除法的运算规则，掌握除法转乘法的变形方法，是后续学习分式乘除混合运算、分式化简的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查分式除法法则的记忆与理解，我们可以类比小学学过的分数除法法则来思考：分数除法是除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，分式除法的逻辑和分数除法完全一致。解题时先回忆分式除法的操作步骤：第一步处理除式，将除式的分子分母互换位置（即取除式的倒数），第二步把除法运算转化为乘法运算，和被除式相乘，再结合给出的除法公式推导对应变形结果即可。
【解析】
根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
对应公式推导：$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d}$（$b、c、d$均不为0），将除式$\frac{c}{d}$的分子分母颠倒得到$\frac{d}{c}$，再和被除式$\frac{a}{b}$相乘，即$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b}·\frac{d}{c} = \frac{a · d}{b · c}$。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
除式的分子、分母颠倒位置；被除式；$\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$
【知识点】
分式的除法法则
【点评】
本题是对分式除法基本概念的直接考查，属于基础题，核心是要求学生熟记分式除法的运算规则，掌握除法转乘法的变形方法，是后续学习分式乘除混合运算、分式化简的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】填空：
(1)$\frac{4a^2}{b^2} · \frac{b^3}{6a^2} =$ ；
(2)$\frac{x-y}{y} · \frac{y}{x(x-y)} =$ ；
(3)$-8z^2 · \frac{3xy^2}{4z} =$ 。
【变式1】计算：
(1)$\frac{3ab^2}{2cd} · \frac{4c^2d^3}{3a^2b^4}$；
(2)$\frac{x^2 -4y^2}{x^2 +4x +4} · \frac{x+2}{3x^2 +6xy}$。
(1)$\frac{4a^2}{b^2} · \frac{b^3}{6a^2} =$ ；
(2)$\frac{x-y}{y} · \frac{y}{x(x-y)} =$ ；
(3)$-8z^2 · \frac{3xy^2}{4z} =$ 。
【变式1】计算：
(1)$\frac{3ab^2}{2cd} · \frac{4c^2d^3}{3a^2b^4}$；
(2)$\frac{x^2 -4y^2}{x^2 +4x +4} · \frac{x+2}{3x^2 +6xy}$。
答案
解：
【例1】
(1) $\frac{4a^2}{b^2}·\frac{b^3}{6a^2}=\frac{4a^2· b^3}{b^2·6a^2}=\frac{2b}{3}$
(2) $\frac{x-y}{y}·\frac{y}{x(x-y)}=\frac{(x-y)· y}{y· x(x-y)}=\frac{1}{x}$
(3) $-8z^2·\frac{3xy^2}{4z}=\frac{-8z^2·3xy^2}{4z}=-6xy^2z$
【变式1】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3ab^2·4c^2d^3}{2cd·3a^2b^4}\\&=\frac{12ab^2c^2d^3}{6a^2b^4cd}\\&=\frac{2cd^2}{ab^2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，$3x^2+6xy=3x(x+2y)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+2)^2}·\frac{x+2}{3x(x+2y)}\\&=\frac{(x+2y)(x-2y)(x+2)}{(x+2)^2·3x(x+2y)}\\&=\frac{x-2y}{3x(x+2)}\end{aligned}$
【例1】
(1) $\frac{4a^2}{b^2}·\frac{b^3}{6a^2}=\frac{4a^2· b^3}{b^2·6a^2}=\frac{2b}{3}$
(2) $\frac{x-y}{y}·\frac{y}{x(x-y)}=\frac{(x-y)· y}{y· x(x-y)}=\frac{1}{x}$
(3) $-8z^2·\frac{3xy^2}{4z}=\frac{-8z^2·3xy^2}{4z}=-6xy^2z$
【变式1】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3ab^2·4c^2d^3}{2cd·3a^2b^4}\\&=\frac{12ab^2c^2d^3}{6a^2b^4cd}\\&=\frac{2cd^2}{ab^2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，$3x^2+6xy=3x(x+2y)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+2)^2}·\frac{x+2}{3x(x+2y)}\\&=\frac{(x+2y)(x-2y)(x+2)}{(x+2)^2·3x(x+2y)}\\&=\frac{x-2y}{3x(x+2)}\end{aligned}$
解析
【分析】
解题时遵循分式乘法的运算逻辑：①牢记分式乘法法则：分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母；②运算前先观察分子、分母的公因式，能约分的先约分再计算，可简化运算步骤；③若分子或分母含有多项式，先利用因式分解的方法把多项式化成乘积形式，再找公因式约分，最终结果要化为最简分式或整式。
例1的三个小题分子、分母都是单项式或可直接提取公因式的整式，直接约去相同的字母因式、化简系数即可；变式1第(2)题含多项式，优先因式分解再约分，能降低出错概率。
【解析】
【例1】
(1) 根据分式乘法法则计算：
$\frac{4a^2}{b^2}·\frac{b^3}{6a^2}=\frac{4a^2· b^3}{b^2·6a^2}$，约去公因式$2a^2b^2$，得$\frac{2b}{3}$。
(2) 根据分式乘法法则计算：
$\frac{x-y}{y}·\frac{y}{x(x-y)}=\frac{(x-y)· y}{y· x(x-y)}$，约去公因式$y(x-y)$（隐含条件$x≠y,y≠0$），得$\frac{1}{x}$。
(3) 将整式看作分母为1的分式计算：
$-8z^2·\frac{3xy^2}{4z}=\frac{-8z^2·3xy^2}{4z}$，约去公因式$4z$，得$-6xy^2z$。
---
【变式1】
(1) 按照分式乘法法则展开后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3ab^2·4c^2d^3}{2cd·3a^2b^4}\\&=\frac{12ab^2c^2d^3}{6a^2b^4cd}\\&=\frac{2cd^2}{ab^2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
由平方差公式得$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，由完全平方公式得$x^2+4x+4=(x+2)^2$，提公因式得$3x^2+6xy=3x(x+2y)$。
代入原式约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+2)^2}·\frac{x+2}{3x(x+2y)}\\&=\frac{(x+2y)(x-2y)(x+2)}{(x+2)^2·3x(x+2y)}\\&=\frac{x-2y}{3x(x+2)}\end{aligned}$
【答案】
【例1】(1)$\boldsymbol{\frac{2b}{3}}$；(2)$\boldsymbol{\frac{1}{x}}$；(3)$\boldsymbol{-6xy^2z}$
【变式1】(1)$\boldsymbol{\frac{2cd^2}{ab^2}}$；(2)$\boldsymbol{\frac{x-2y}{3x(x+2)}}$
【知识点】
分式乘法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，核心是掌握“先约分再计算”的运算技巧，遇到多项式先因式分解再找公因式约分，能有效减少运算量，同时要注意运算结果必须化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.75
解题时遵循分式乘法的运算逻辑：①牢记分式乘法法则：分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母；②运算前先观察分子、分母的公因式，能约分的先约分再计算，可简化运算步骤；③若分子或分母含有多项式，先利用因式分解的方法把多项式化成乘积形式，再找公因式约分，最终结果要化为最简分式或整式。
例1的三个小题分子、分母都是单项式或可直接提取公因式的整式，直接约去相同的字母因式、化简系数即可；变式1第(2)题含多项式，优先因式分解再约分，能降低出错概率。
【解析】
【例1】
(1) 根据分式乘法法则计算：
$\frac{4a^2}{b^2}·\frac{b^3}{6a^2}=\frac{4a^2· b^3}{b^2·6a^2}$，约去公因式$2a^2b^2$，得$\frac{2b}{3}$。
(2) 根据分式乘法法则计算：
$\frac{x-y}{y}·\frac{y}{x(x-y)}=\frac{(x-y)· y}{y· x(x-y)}$，约去公因式$y(x-y)$（隐含条件$x≠y,y≠0$），得$\frac{1}{x}$。
(3) 将整式看作分母为1的分式计算：
$-8z^2·\frac{3xy^2}{4z}=\frac{-8z^2·3xy^2}{4z}$，约去公因式$4z$，得$-6xy^2z$。
---
【变式1】
(1) 按照分式乘法法则展开后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3ab^2·4c^2d^3}{2cd·3a^2b^4}\\&=\frac{12ab^2c^2d^3}{6a^2b^4cd}\\&=\frac{2cd^2}{ab^2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
由平方差公式得$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，由完全平方公式得$x^2+4x+4=(x+2)^2$，提公因式得$3x^2+6xy=3x(x+2y)$。
代入原式约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+2)^2}·\frac{x+2}{3x(x+2y)}\\&=\frac{(x+2y)(x-2y)(x+2)}{(x+2)^2·3x(x+2y)}\\&=\frac{x-2y}{3x(x+2)}\end{aligned}$
【答案】
【例1】(1)$\boldsymbol{\frac{2b}{3}}$；(2)$\boldsymbol{\frac{1}{x}}$；(3)$\boldsymbol{-6xy^2z}$
【变式1】(1)$\boldsymbol{\frac{2cd^2}{ab^2}}$；(2)$\boldsymbol{\frac{x-2y}{3x(x+2)}}$
【知识点】
分式乘法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，核心是掌握“先约分再计算”的运算技巧，遇到多项式先因式分解再找公因式约分，能有效减少运算量，同时要注意运算结果必须化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.75
【例2】计算：
(1) $\dfrac{3y}{10x} ÷ \dfrac{6y^2}{5x^3}$；(2) $\dfrac{x-2}{x+1} ÷ (x-2)$。
(1) $\dfrac{3y}{10x} ÷ \dfrac{6y^2}{5x^3}$；(2) $\dfrac{x-2}{x+1} ÷ (x-2)$。
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{3y}{10x} · \dfrac{5x^3}{6y^2}$
$=\dfrac{3y · 5x^3}{10x · 6y^2}$
$=\dfrac{x^2}{4y}$
(2) 原式$=\dfrac{x-2}{x+1} · \dfrac{1}{x-2}$
$=\dfrac{1}{x+1}$
(1) 原式$=\dfrac{3y}{10x} · \dfrac{5x^3}{6y^2}$
$=\dfrac{3y · 5x^3}{10x · 6y^2}$
$=\dfrac{x^2}{4y}$
(2) 原式$=\dfrac{x-2}{x+1} · \dfrac{1}{x-2}$
$=\dfrac{1}{x+1}$
解析
【分析】
解决分式除法运算的核心是先将除法转化为乘法，再按分式乘法规则计算，最后约分化为最简分式：
1. 对于第(1)题，两个分式相除，直接根据分式除法法则，把除式$\dfrac{6y^2}{5x^3}$的分子分母颠倒位置，和被除式$\dfrac{3y}{10x}$相乘，再将分子分母分别相乘后约去公因式即可。
2. 对于第(2)题，除式是整式$x-2$，可以先把它看作分母为1的分式$\dfrac{x-2}{1}$，再转化为乘法运算，约去分子分母的公因式$x-2$（默认分式有意义的前提下）即可得到结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{3y}{10x} · \dfrac{5x^3}{6y^2}$
分子、分母分别相乘：
$=\dfrac{3y · 5x^3}{10x · 6y^2}$
约去分子分母的公因式$3×5× x× y$：
$=\dfrac{x^2}{4y}$
(2) 先将整式$x-2$看作分母为1的分式，再转化为乘法：
原式$=\dfrac{x-2}{x+1} · \dfrac{1}{x-2}$
约去公因式$x-2$（$x≠2$且$x≠-1$，分式有意义）：
$=\dfrac{1}{x+1}$
【答案】
(1) $\dfrac{x^2}{4y}$；(2) $\dfrac{1}{x+1}$
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 分式约分
3. 分式乘法运算
【点评】
本题是分式除法的基础练习题，重点考察分式除法转乘法的变形规则，以及约分的计算方法，解题时注意整式可看作分母为1的分式，最终运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
解决分式除法运算的核心是先将除法转化为乘法，再按分式乘法规则计算，最后约分化为最简分式：
1. 对于第(1)题，两个分式相除，直接根据分式除法法则，把除式$\dfrac{6y^2}{5x^3}$的分子分母颠倒位置，和被除式$\dfrac{3y}{10x}$相乘，再将分子分母分别相乘后约去公因式即可。
2. 对于第(2)题，除式是整式$x-2$，可以先把它看作分母为1的分式$\dfrac{x-2}{1}$，再转化为乘法运算，约去分子分母的公因式$x-2$（默认分式有意义的前提下）即可得到结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{3y}{10x} · \dfrac{5x^3}{6y^2}$
分子、分母分别相乘：
$=\dfrac{3y · 5x^3}{10x · 6y^2}$
约去分子分母的公因式$3×5× x× y$：
$=\dfrac{x^2}{4y}$
(2) 先将整式$x-2$看作分母为1的分式，再转化为乘法：
原式$=\dfrac{x-2}{x+1} · \dfrac{1}{x-2}$
约去公因式$x-2$（$x≠2$且$x≠-1$，分式有意义）：
$=\dfrac{1}{x+1}$
【答案】
(1) $\dfrac{x^2}{4y}$；(2) $\dfrac{1}{x+1}$
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 分式约分
3. 分式乘法运算
【点评】
本题是分式除法的基础练习题，重点考察分式除法转乘法的变形规则，以及约分的计算方法，解题时注意整式可看作分母为1的分式，最终运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
【变式2】计算：
(1) $\frac{mn}{m-n} ÷ \frac{m}{m^2 -n^2}$；
(2) $\frac{2x-6}{x^2 -4x +4} ÷ \frac{x-3}{x^2 -4}$。
(1) $\frac{mn}{m-n} ÷ \frac{m}{m^2 -n^2}$；
(2) $\frac{2x-6}{x^2 -4x +4} ÷ \frac{x-3}{x^2 -4}$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{mn}{m-n} · \frac{m^2-n^2}{m}$
$=\frac{mn}{m-n} · \frac{(m+n)(m-n)}{m}$
$=n(m+n)$
$=mn + n^2$
(2) 原式$=\frac{2x-6}{x^2-4x+4} · \frac{x^2-4}{x-3}$
$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x-3}$
$=\frac{2(x+2)}{x-2}$
$=\frac{2x+4}{x-2}$
(1) 原式$=\frac{mn}{m-n} · \frac{m^2-n^2}{m}$
$=\frac{mn}{m-n} · \frac{(m+n)(m-n)}{m}$
$=n(m+n)$
$=mn + n^2$
(2) 原式$=\frac{2x-6}{x^2-4x+4} · \frac{x^2-4}{x-3}$
$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x-3}$
$=\frac{2(x+2)}{x-2}$
$=\frac{2x+4}{x-2}$
解析
【分析】
这两道题均为分式除法运算，解题思路可分为三步：第一步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以该分式的倒数；第二步对分子、分母中的多项式进行因式分解，可采用提公因式法、平方差公式、完全平方公式完成分解；第三步约去分子和分母的公因式，最终将结果整理为最简整式或最简分式即可。
【解析】
(1) 先将除法转换为乘法：
原式$=\frac{mn}{m-n} · \frac{m^2-n^2}{m}$
利用平方差公式分解$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
$=\frac{mn}{m-n} · \frac{(m+n)(m-n)}{m}$
约去公因式$m$和$m-n$，得：
$=n(m+n)$
展开计算得：
$=mn + n^2$
(2) 先将除法转换为乘法：
原式$=\frac{2x-6}{x^2-4x+4} · \frac{x^2-4}{x-3}$
分别对各多项式因式分解：提公因式得$2x-6=2(x-3)$，完全平方公式得$x^2-4x+4=(x-2)^2$，平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入得：
$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x-3}$
约去公因式$x-3$和$x-2$，得：
$=\frac{2(x+2)}{x-2}$
展开计算得：
$=\frac{2x+4}{x-2}$
【答案】
(1) $mn + n^2$；(2) $\frac{2x+4}{x-2}$
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分式除法的转换规则，以及常见多项式的因式分解方法，运算时注意因式分解要准确，避免因分解错误导致后续约分出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均为分式除法运算，解题思路可分为三步：第一步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以该分式的倒数；第二步对分子、分母中的多项式进行因式分解，可采用提公因式法、平方差公式、完全平方公式完成分解；第三步约去分子和分母的公因式，最终将结果整理为最简整式或最简分式即可。
【解析】
(1) 先将除法转换为乘法：
原式$=\frac{mn}{m-n} · \frac{m^2-n^2}{m}$
利用平方差公式分解$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
$=\frac{mn}{m-n} · \frac{(m+n)(m-n)}{m}$
约去公因式$m$和$m-n$，得：
$=n(m+n)$
展开计算得：
$=mn + n^2$
(2) 先将除法转换为乘法：
原式$=\frac{2x-6}{x^2-4x+4} · \frac{x^2-4}{x-3}$
分别对各多项式因式分解：提公因式得$2x-6=2(x-3)$，完全平方公式得$x^2-4x+4=(x-2)^2$，平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入得：
$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x-3}$
约去公因式$x-3$和$x-2$，得：
$=\frac{2(x+2)}{x-2}$
展开计算得：
$=\frac{2x+4}{x-2}$
【答案】
(1) $mn + n^2$；(2) $\frac{2x+4}{x-2}$
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分式除法的转换规则，以及常见多项式的因式分解方法，运算时注意因式分解要准确，避免因分解错误导致后续约分出错。
【难度系数】
0.8
