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7. (2024·重庆)如图,在矩形$ABCD$中,分别以点$A$和$C$为圆心、$AD$长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若$AD=4$,则图中阴影部分的面积为（
A.$32-8π$
B.$16\sqrt{3}-4π$
C.$32-4π$
D.$16\sqrt{3}-8π$
D
）A.$32-8π$
B.$16\sqrt{3}-4π$
C.$32-4π$
D.$16\sqrt{3}-8π$
答案
7. D 解析:如图,连接AC.
∵两弧有且仅有一个公共点,AD=4,
∴AC=2AD=8. 在Rt△ADC中,$CD=\sqrt{AC^2−AD^2}=\sqrt{8^2−4^2}=4\sqrt{3}$,
∴$S_{矩形ABCD}=AD·CD=16\sqrt{3}$.
∵两个扇形均为$\frac{1}{4}$圆,而且它们的半径相等,
∴两个扇形为$\frac{1}{2}$圆,面积之和为$S_{两个扇形}=\frac{1}{2}πAD^2=8π$,
∴$S_{阴影部分}=S_{矩形ABCD}−S_{两个扇形}=16\sqrt{3}−8π$.
解析
【分析】
要计算阴影部分面积，需先明确矩形的边长，再计算两个扇形的总面积，最后用矩形面积减去两个扇形面积之和。首先根据“两弧有且仅有一个公共点”，判断两圆外切，圆心距AC等于两半径之和，即AC=2AD；再利用勾股定理求出矩形的边CD；接着计算矩形面积和两个扇形的总面积（两个扇形均为圆心角90°的扇形，合起来是半径为AD的半圆）；最终通过矩形面积减去两个扇形面积得到阴影部分面积。
【解析】
连接AC。
因为以A和C为圆心、AD长为半径画弧，且两弧有且仅有一个公共点，所以两圆外切，圆心距AC=AD+AD=2×4=8。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
CD=√(AC² - AD²)=√(8² - 4²)=√(64-16)=4√3。
矩形ABCD的面积：S矩形=AD×CD=4×4√3=16√3。
两个扇形的半径均为AD=4，每个扇形的圆心角为90°，因此两个扇形的面积和为：
2×(90°/360°)×π×AD²=2×(1/4)×π×4²=8π。
所以阴影部分面积：S阴影=S矩形 - S两个扇形=16√3 -8π。
【答案】
D
【知识点】
矩形面积计算、扇形面积计算、勾股定理
【点评】
本题结合矩形和扇形的性质，利用两圆外切的位置关系确定对角线长度，再通过勾股定理求矩形边长，最终用“矩形面积减两个扇形面积”的方法计算阴影面积，关键是理清图形间的关系，属于几何面积计算的典型题型，需熟练掌握相关公式和图形性质。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分面积，需先明确矩形的边长，再计算两个扇形的总面积，最后用矩形面积减去两个扇形面积之和。首先根据“两弧有且仅有一个公共点”，判断两圆外切，圆心距AC等于两半径之和，即AC=2AD；再利用勾股定理求出矩形的边CD；接着计算矩形面积和两个扇形的总面积（两个扇形均为圆心角90°的扇形，合起来是半径为AD的半圆）；最终通过矩形面积减去两个扇形面积得到阴影部分面积。
【解析】
连接AC。
因为以A和C为圆心、AD长为半径画弧，且两弧有且仅有一个公共点，所以两圆外切，圆心距AC=AD+AD=2×4=8。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
CD=√(AC² - AD²)=√(8² - 4²)=√(64-16)=4√3。
矩形ABCD的面积：S矩形=AD×CD=4×4√3=16√3。
两个扇形的半径均为AD=4，每个扇形的圆心角为90°，因此两个扇形的面积和为：
2×(90°/360°)×π×AD²=2×(1/4)×π×4²=8π。
所以阴影部分面积：S阴影=S矩形 - S两个扇形=16√3 -8π。
【答案】
D
【知识点】
矩形面积计算、扇形面积计算、勾股定理
【点评】
本题结合矩形和扇形的性质，利用两圆外切的位置关系确定对角线长度，再通过勾股定理求矩形边长，最终用“矩形面积减两个扇形面积”的方法计算阴影面积，关键是理清图形间的关系，属于几何面积计算的典型题型，需熟练掌握相关公式和图形性质。
【难度系数】
0.5
8. 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形$ABC$；分别以点$A$、$B$、$C$为圆心，以$AB$的长为半径作$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AB}$. 三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形. 若该“莱洛三角形”的周长为$3π$，则它的面积是
$\frac{9π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{2}$
.答案
8. $\frac{9π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{2}$ 解析:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{3}×3π=π$,即$\frac{60}{180}×πr=π$,
∴r=3,即AB=BC=AC=3,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$,
∴$S_{弓形AB}=S_{弓形BC}=S_{弓形AC}=\frac{60}{360}×π×3^2−\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{3π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{4}$,
∴该“莱洛三角形”的面积为$3S_{弓形AB}+S_{△ABC}=3×(\frac{3π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{4})+\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{9π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{3}×3π=π$,即$\frac{60}{180}×πr=π$,
∴r=3,即AB=BC=AC=3,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$,
∴$S_{弓形AB}=S_{弓形BC}=S_{弓形AC}=\frac{60}{360}×π×3^2−\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{3π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{4}$,
∴该“莱洛三角形”的面积为$3S_{弓形AB}+S_{△ABC}=3×(\frac{3π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{4})+\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{9π}{2}−\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
要解决莱洛三角形的面积问题，首先明确其周长由三段等长的弧组成，每段弧是以等边三角形ABC的顶点为圆心、边长为半径、圆心角60°的弧。第一步，利用总周长求出单段弧长，再通过弧长公式算出等边三角形的边长；第二步，分析莱洛三角形的面积组成，它可看作三个圆心角为60°的扇形面积之和减去重叠部分（两个等边三角形的面积），进而计算出面积。
【解析】
1. 求等边三角形的边长：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴三段弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AC}$长度相等，
已知莱洛三角形周长为$3π$，则单段弧长为$\frac{3π}{3}=π$。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$l=π$、$n=60°$得：
$π=\frac{60πr}{180}$，解得$r=3$，即等边三角形边长$AB=BC=AC=3$。
2. 计算莱洛三角形的面积：
莱洛三角形的面积 = 3个圆心角60°的扇形面积和 - 2个等边三角形的面积。
单个扇形面积：$\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$，3个扇形面积和为$3×\frac{3π}{2}=\frac{9π}{2}$；
等边三角形ABC的面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，2个等边三角形面积和为$2×\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
因此，莱洛三角形的面积为$\frac{9π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{9π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长公式，扇形面积，等边三角形性质，组合图形面积计算
【点评】
本题考查组合图形的周长与面积计算，核心是理解莱洛三角形的构成，利用弧长公式求边长，再结合扇形和等边三角形面积公式求解，需注意面积计算中重叠部分的处理，避免出错。
【难度系数】
0.5
要解决莱洛三角形的面积问题，首先明确其周长由三段等长的弧组成，每段弧是以等边三角形ABC的顶点为圆心、边长为半径、圆心角60°的弧。第一步，利用总周长求出单段弧长，再通过弧长公式算出等边三角形的边长；第二步，分析莱洛三角形的面积组成，它可看作三个圆心角为60°的扇形面积之和减去重叠部分（两个等边三角形的面积），进而计算出面积。
【解析】
1. 求等边三角形的边长：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴三段弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AC}$长度相等，
已知莱洛三角形周长为$3π$，则单段弧长为$\frac{3π}{3}=π$。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$l=π$、$n=60°$得：
$π=\frac{60πr}{180}$，解得$r=3$，即等边三角形边长$AB=BC=AC=3$。
2. 计算莱洛三角形的面积：
莱洛三角形的面积 = 3个圆心角60°的扇形面积和 - 2个等边三角形的面积。
单个扇形面积：$\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$，3个扇形面积和为$3×\frac{3π}{2}=\frac{9π}{2}$；
等边三角形ABC的面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，2个等边三角形面积和为$2×\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
因此，莱洛三角形的面积为$\frac{9π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{9π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长公式，扇形面积，等边三角形性质，组合图形面积计算
【点评】
本题考查组合图形的周长与面积计算，核心是理解莱洛三角形的构成，利用弧长公式求边长，再结合扇形和等边三角形面积公式求解，需注意面积计算中重叠部分的处理，避免出错。
【难度系数】
0.5
9. (2025·烟台)如图,正六边形ABCDEF的边长为4,中心为点O,以点O为圆心、AB的长为半径作圆心角为$120°$的扇形,则图中阴影部分的面积为
$\frac{16π}{3}−8\sqrt{3}$
.答案
9. $\frac{16π}{3}−8\sqrt{3}$ 解析:如图,连接OA、OE、OF,过点O作OM⊥AF于点M.
∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴OA=OE=OF,∠AOF=∠EOF=$\frac{360°}{6}=60°$,∠BAF=120°,
∴△OAF和△OEF为等边三角形,
∴∠AOE=60°+60°=120°,∠OEF=∠OAF=60°.
∵OM⊥AF,
∴AM=FM=$\frac{1}{2}AF=2$,
∴$OM=\sqrt{OA^2−AM^2}=\sqrt{4^2−2^2}=2\sqrt{3}$,
∴$S_{△AOF}=\frac{1}{2}AF·OM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
∵∠BAF=120°,
∴∠OAG=∠BAF−∠OAF=120°−60°=60°,
∴∠OAG=∠OEH.
∵∠GOA+∠AOH=∠AOH+∠EOH=120°,
∴∠GOA=∠HOE,
∴△GOA≌△HOE(ASA),
∴$S_{△GOA}=S_{△HOE}$,
∴$S_{△GOA}+S_{四边形AOHF}=S_{△HOE}+S_{四边形AOHF}$,
∴$S_{五边形AGOHF}=S_{四边形AOEF}=2S_{△AOF}=8\sqrt{3}$,
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形}−S_{五边形AGOHF}=\frac{120π×4^2}{360}−8\sqrt{3}=\frac{16π}{3}−8\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要计算阴影部分面积，观察图形可知阴影部分面积等于圆心角为120°的扇形面积减去中间五边形的面积。利用正六边形的中心角性质推出等边三角形，再通过证明三角形全等转化不规则五边形的面积，最终代入公式计算。
【解析】
如图，连接OA、OF，过点O作OM⊥AF于点M。
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴中心角∠AOF = $\frac{360°}{6}$ = 60°，OA = OF = AB = 4，
∴△OAF是等边三角形，AF = OA = 4。
∵OM⊥AF，
∴AM = $\frac{1}{2}$AF = 2，
由勾股定理得OM = $\sqrt{OA^2 - AM^2}$ = $\sqrt{4^2 - 2^2}$ = $2\sqrt{3}$，
∴$S_{△AOF}$ = $\frac{1}{2}×AF×OM$ = $\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$ = $4\sqrt{3}$。
∵正六边形内角∠BAF = 120°，
∴∠OAG = ∠BAF - ∠OAF = 120° - 60° = 60°，
又
∵∠GOA + ∠AOH = ∠AOH + ∠EOH = 120°，
∴∠GOA = ∠HOE，且OA = OE，∠OAG = ∠OEH = 60°，
∴△GOA ≌ △HOE（ASA），
∴$S_{△GOA}$ = $S_{△HOE}$，
因此$S_{五边形AGOHF}$ = $S_{四边形AOEF}$ = 2×$S_{△AOF}$ = 2×$4\sqrt{3}$ = $8\sqrt{3}$。
扇形的圆心角为120°，半径为4，
∴$S_{扇形}$ = $\frac{120°×π×4^2}{360°}$ = $\frac{16π}{3}$，
故阴影部分面积 = $S_{扇形}$ - $S_{五边形AGOHF}$ = $\frac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$![]()
【知识点】
正多边形性质、扇形面积计算、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查正六边形性质、扇形面积公式及全等三角形的应用，核心是利用转化思想将不规则五边形面积转化为规则图形面积，体现了几何割补法的应用，对学生的逻辑推理和面积计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分面积，观察图形可知阴影部分面积等于圆心角为120°的扇形面积减去中间五边形的面积。利用正六边形的中心角性质推出等边三角形，再通过证明三角形全等转化不规则五边形的面积，最终代入公式计算。
【解析】
如图，连接OA、OF，过点O作OM⊥AF于点M。
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴中心角∠AOF = $\frac{360°}{6}$ = 60°，OA = OF = AB = 4，
∴△OAF是等边三角形，AF = OA = 4。
∵OM⊥AF，
∴AM = $\frac{1}{2}$AF = 2，
由勾股定理得OM = $\sqrt{OA^2 - AM^2}$ = $\sqrt{4^2 - 2^2}$ = $2\sqrt{3}$，
∴$S_{△AOF}$ = $\frac{1}{2}×AF×OM$ = $\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$ = $4\sqrt{3}$。
∵正六边形内角∠BAF = 120°，
∴∠OAG = ∠BAF - ∠OAF = 120° - 60° = 60°，
又
∵∠GOA + ∠AOH = ∠AOH + ∠EOH = 120°，
∴∠GOA = ∠HOE，且OA = OE，∠OAG = ∠OEH = 60°，
∴△GOA ≌ △HOE（ASA），
∴$S_{△GOA}$ = $S_{△HOE}$，
因此$S_{五边形AGOHF}$ = $S_{四边形AOEF}$ = 2×$S_{△AOF}$ = 2×$4\sqrt{3}$ = $8\sqrt{3}$。
扇形的圆心角为120°，半径为4，
∴$S_{扇形}$ = $\frac{120°×π×4^2}{360°}$ = $\frac{16π}{3}$，
故阴影部分面积 = $S_{扇形}$ - $S_{五边形AGOHF}$ = $\frac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形性质、扇形面积计算、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查正六边形性质、扇形面积公式及全等三角形的应用，核心是利用转化思想将不规则五边形面积转化为规则图形面积，体现了几何割补法的应用，对学生的逻辑推理和面积计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
10. 如图,把 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的斜边 $AB$ 放在直线 $l$ 上,按顺时针方向在 $l$ 上转动两次,使它转到$△ A''B''C'$ 的位置上. 设 $BC=1,AC=\sqrt{3}$, 则顶点 $A$ 运动到点 $A''$ 的位置时,点 $A$ 经过的路线长为
$(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$
,点 $A$ 经过的路线与直线 $l$ 所围成的面积为$\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
10. $(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$ $\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解析:在Rt△ABC中,
∵AC=$\sqrt{3}$,BC=1,
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=2$,
∴CB=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
∴点A运动的路线长$l=\overset{\frown}{AA'}+\overset{\frown}{A'A''}=\frac{120×π×2}{180}+\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{4π}{3}+\frac{\sqrt{3}π}{2}=(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$,点A经过的路线与直线l围成的面积$S=S_{扇形BAA'}+S_{△A'BC'}+S_{扇形C'A'A''}=\frac{120}{360}×π×2^2+\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1+\frac{90}{360}×π×(\sqrt{3})^2=\frac{4π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3π}{4}=\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵AC=$\sqrt{3}$,BC=1,
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=2$,
∴CB=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
∴点A运动的路线长$l=\overset{\frown}{AA'}+\overset{\frown}{A'A''}=\frac{120×π×2}{180}+\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{4π}{3}+\frac{\sqrt{3}π}{2}=(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$,点A经过的路线与直线l围成的面积$S=S_{扇形BAA'}+S_{△A'BC'}+S_{扇形C'A'A''}=\frac{120}{360}×π×2^2+\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1+\frac{90}{360}×π×(\sqrt{3})^2=\frac{4π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3π}{4}=\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
要解决该问题，首先利用直角三角形的性质求出Rt△ABC的边长和内角，再根据旋转的性质确定点A两次旋转的旋转中心、旋转角和半径，进而计算点A经过的路线长（两段弧长之和），以及路线与直线l围成的面积（两个扇形面积与中间三角形面积之和）。
【解析】
在Rt△ABC中，已知AC=√3，BC=1，根据勾股定理：
AB = √(AC² + BC²) = √[(√3)² + 1²] = 2。
由此可得BC=½AB，故∠CAB=30°，则∠ABC=90°-30°=60°。
点A的运动分为两次旋转：
1. 第一次旋转：以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到△A'BC'，旋转角∠ABA' = 180° - ∠ABC = 120°，旋转半径为AB=2，对应弧长：
$\overset{\frown}{AA'}$的长 = $\frac{120×π×2}{180}$ = $\frac{4π}{3}$。
2. 第二次旋转：以点C'为旋转中心，将△A'BC'顺时针旋转得到△A''B''C'，旋转角∠A'C'A''=90°，旋转半径为A'C'=AC=√3，对应弧长：
$\overset{\frown}{A'A''}$的长 = $\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}$ = $\frac{\sqrt{3}π}{2}$。
因此，点A经过的路线长为两段弧长之和：
$\frac{4π}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}π}{2}$ = $(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$。
计算路线与直线l围成的面积，该面积由两个扇形和中间三角形组成：
扇形BAA'的面积：$\frac{120}{360}×π×2²$ = $\frac{4π}{3}$；
△A'BC'的面积：$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$；
扇形C'A'A''的面积：$\frac{90}{360}×π×(\sqrt{3})²$ = $\frac{3π}{4}$。
总面积为：$\frac{4π}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{3π}{4}$ = $\frac{25π}{12}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$；$\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长计算；扇形面积；旋转的性质
【点评】
本题结合直角三角形性质与旋转性质，考查弧长和扇形面积的计算，关键是明确两次旋转的旋转中心、旋转角和半径，需熟练掌握弧长、扇形面积公式及直角三角形边角关系，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，首先利用直角三角形的性质求出Rt△ABC的边长和内角，再根据旋转的性质确定点A两次旋转的旋转中心、旋转角和半径，进而计算点A经过的路线长（两段弧长之和），以及路线与直线l围成的面积（两个扇形面积与中间三角形面积之和）。
【解析】
在Rt△ABC中，已知AC=√3，BC=1，根据勾股定理：
AB = √(AC² + BC²) = √[(√3)² + 1²] = 2。
由此可得BC=½AB，故∠CAB=30°，则∠ABC=90°-30°=60°。
点A的运动分为两次旋转：
1. 第一次旋转：以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到△A'BC'，旋转角∠ABA' = 180° - ∠ABC = 120°，旋转半径为AB=2，对应弧长：
$\overset{\frown}{AA'}$的长 = $\frac{120×π×2}{180}$ = $\frac{4π}{3}$。
2. 第二次旋转：以点C'为旋转中心，将△A'BC'顺时针旋转得到△A''B''C'，旋转角∠A'C'A''=90°，旋转半径为A'C'=AC=√3，对应弧长：
$\overset{\frown}{A'A''}$的长 = $\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}$ = $\frac{\sqrt{3}π}{2}$。
因此，点A经过的路线长为两段弧长之和：
$\frac{4π}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}π}{2}$ = $(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$。
计算路线与直线l围成的面积，该面积由两个扇形和中间三角形组成：
扇形BAA'的面积：$\frac{120}{360}×π×2²$ = $\frac{4π}{3}$；
△A'BC'的面积：$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$；
扇形C'A'A''的面积：$\frac{90}{360}×π×(\sqrt{3})²$ = $\frac{3π}{4}$。
总面积为：$\frac{4π}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{3π}{4}$ = $\frac{25π}{12}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})π$；$\frac{25π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长计算；扇形面积；旋转的性质
【点评】
本题结合直角三角形性质与旋转性质，考查弧长和扇形面积的计算，关键是明确两次旋转的旋转中心、旋转角和半径，需熟练掌握弧长、扇形面积公式及直角三角形边角关系，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
11. 如图,已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$AC$是直径,$∠ BAC=30°$,$BC=2$,$D$是$AB$的中点,连接$DO$并延长交$\odot O$于点$P$,过点$P$作$PF⊥ AC$于点$F$.
(1)求$\overset{\frown}{PC}$的长.
(2)求图中阴影部分的面积.
(1)求$\overset{\frown}{PC}$的长.
(2)求图中阴影部分的面积.
答案
11. (1)连接OB.
∵OA=OB,D是AB的中点,
∴PD⊥AB.
∵∠BAC=30°,
∴∠AOD=60°,
∴∠POC=∠AOD=60°.
∵∠BOC=2∠A=60°,OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC=2,即⊙O的半径为2,
∴$\overset{\frown}{PC}$的长$l=\frac{60×π×2}{180}=\frac{2π}{3}$.
(2)
∵∠POC=60°,PF⊥AC,
∴∠OPF=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$. 在Rt△OPF中,由勾股定理得$PF=\sqrt{OP^2−OF^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形OCP}−S_{△OPF}=\frac{60}{360}×π×2^2−\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{2π}{3}−\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵OA=OB,D是AB的中点,
∴PD⊥AB.
∵∠BAC=30°,
∴∠AOD=60°,
∴∠POC=∠AOD=60°.
∵∠BOC=2∠A=60°,OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC=2,即⊙O的半径为2,
∴$\overset{\frown}{PC}$的长$l=\frac{60×π×2}{180}=\frac{2π}{3}$.
(2)
∵∠POC=60°,PF⊥AC,
∴∠OPF=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$. 在Rt△OPF中,由勾股定理得$PF=\sqrt{OP^2−OF^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形OCP}−S_{△OPF}=\frac{60}{360}×π×2^2−\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{2π}{3}−\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先利用直径所对圆周角为直角的性质，结合30°直角三角形的性质求出圆的半径；再通过中位线、对顶角关系确定弧PC对应的圆心角，用弧长公式计算弧长；对于阴影面积，将其转化为扇形面积减去直角三角形面积，结合三角函数求出直角三角形边长，进而计算面积。
【解析】
(1) 求$\overset{\frown}{PC}$的长：
连接$OB$。
因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，$BC=2$，故$AC=2BC=4$，因此$\odot O$的半径$OA=OB=OC=\frac{AC}{2}=2$。
因为$D$是$AB$中点，$O$是$AC$中点，所以$OD$是$△ ABC$的中位线，$OD// BC$，则$∠ ADO=∠ ABC=90°$。
在$Rt△ ADO$中，$∠ BAC=30°$，所以$∠ AOD=60°$，因此$∠ POC=∠ AOD=60°$（对顶角相等）。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=60°$，$r=2$，得$\overset{\frown}{PC}$的长为$\frac{60×π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
(2) 求阴影部分的面积：
因为$PF⊥ AC$，所以$△ OPF$是直角三角形，$∠ OFP=90°$。
已知$∠ POC=60°$，$OP=2$，在$Rt△ OPF$中，$∠ OPF=30°$，故$OF=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$。
由勾股定理得$PF=\sqrt{OP^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积为扇形$OCP$面积减去$△ OPF$面积：
扇形面积$S_{扇形OCP}=\frac{60}{360}×π×2^2=\frac{2π}{3}$，
$△ OPF$面积$S_{△ OPF}=\frac{1}{2}× OF× PF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此$S_{阴影}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{2π}{3}$；(2) $\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的相关知识，解题关键是确定圆心角和半径，以及阴影面积的转化方法，需熟练掌握弧长、扇形面积公式，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先利用直径所对圆周角为直角的性质，结合30°直角三角形的性质求出圆的半径；再通过中位线、对顶角关系确定弧PC对应的圆心角，用弧长公式计算弧长；对于阴影面积，将其转化为扇形面积减去直角三角形面积，结合三角函数求出直角三角形边长，进而计算面积。
【解析】
(1) 求$\overset{\frown}{PC}$的长：
连接$OB$。
因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，$BC=2$，故$AC=2BC=4$，因此$\odot O$的半径$OA=OB=OC=\frac{AC}{2}=2$。
因为$D$是$AB$中点，$O$是$AC$中点，所以$OD$是$△ ABC$的中位线，$OD// BC$，则$∠ ADO=∠ ABC=90°$。
在$Rt△ ADO$中，$∠ BAC=30°$，所以$∠ AOD=60°$，因此$∠ POC=∠ AOD=60°$（对顶角相等）。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=60°$，$r=2$，得$\overset{\frown}{PC}$的长为$\frac{60×π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
(2) 求阴影部分的面积：
因为$PF⊥ AC$，所以$△ OPF$是直角三角形，$∠ OFP=90°$。
已知$∠ POC=60°$，$OP=2$，在$Rt△ OPF$中，$∠ OPF=30°$，故$OF=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$。
由勾股定理得$PF=\sqrt{OP^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积为扇形$OCP$面积减去$△ OPF$面积：
扇形面积$S_{扇形OCP}=\frac{60}{360}×π×2^2=\frac{2π}{3}$，
$△ OPF$面积$S_{△ OPF}=\frac{1}{2}× OF× PF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此$S_{阴影}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{2π}{3}$；(2) $\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的相关知识，解题关键是确定圆心角和半径，以及阴影面积的转化方法，需熟练掌握弧长、扇形面积公式，难度适中。
【难度系数】
0.4
12. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD ⊥ AB$于点$E$,点$M$在$\odot O$上,$MD$恰好经过圆心$O$,连接$MB$.
(1)根据条件,写出一对相等的线段或相等的角.
(2)若$CD=16$,$BE=4$,求$\odot O$的半径.
(3)若$\odot O$的半径是(2)中求得的半径,且$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BD}$,求$\overset{\frown}{CAD}$的长.
(1)根据条件,写出一对相等的线段或相等的角.
(2)若$CD=16$,$BE=4$,求$\odot O$的半径.
(3)若$\odot O$的半径是(2)中求得的半径,且$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BD}$,求$\overset{\frown}{CAD}$的长.
答案
12. (1)
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=DE.
(2)设⊙O的半径为r.
∵AB⊥CD,
∴CE=DE=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×16=8$. 在Rt△DEO中,OE=OB−BE=r−4,OD=r.
∵OE²+DE²=OD²,
∴(r−4)²+8²=r²,解得r=10,
∴⊙O的半径为10.
(3)如图,连接OC.
∵OM=OB,
∴∠OBM=∠OMB,
∴∠DOB=∠OBM+∠OMB=2∠OBM.
∵∠DOB−∠ODC=90°,
∴2∠OBM+∠ODC=90°.
∵$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BD}$,
∴∠M=∠ODC,
∴∠OBM=∠ODC,
∴2∠ODC+∠ODC=90°,
∴∠ODC=30°,
∴∠DOE=60°,
∴∠COD=120°,
∴$\overset{\frown}{CAD}$的长为$\frac{240π×10}{180}=\frac{40π}{3}$.
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，AB是⊙O的直径且CD⊥AB，可直接得到相等线段CE=DE；
(2) 求半径时，设半径为r，结合垂径定理得DE=8，再在Rt△ODE中用勾股定理建立方程求解r；
(3) 利用弧相等对应的圆周角关系，结合直角三角形的角度性质求出∠COD，再用弧长公式计算优弧$\overset{\frown}{CAD}$的长度。
【解析】
(1)
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴CE=DE；
(2) 设⊙O的半径为r，则OD=r，OE=OB - BE = r - 4，
∵CD⊥AB，
∴DE=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×16=8$，在Rt△ODE中，由勾股定理：$OE^2 + DE^2 = OD^2$，代入得：$(r-4)^2 + 8^2 = r^2$，展开化简得：$r^2 -8r +80 = r^2$，解得$r=10$，
∴⊙O的半径为10；
(3) 连接OC，
∵$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠M=∠ODC（同弧所对圆周角相等），又
∵OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM，∠DOB是△OMB的外角，故∠DOB=∠OMB+∠OBM=2∠OBM，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE + ∠ODC=90°，结合∠M=∠ODC，得∠DOE=2∠OBM=2∠ODC，代入得$2∠ODC + ∠ODC=90°$，解得∠ODC=30°，
∴∠DOE=60°，
∵OC=OD，CD⊥AB，AB平分∠COD，故∠COD=2∠DOE=120°，优弧$\overset{\frown}{CAD}$的度数为$360°-120°=240°$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入n=240，R=10，得$\overset{\frown}{CAD}$的长为$\frac{240π×10}{180}=\frac{40π}{3}$。
【答案】
(1) CE=DE；
(2) ⊙O的半径为10；
(3) $\overset{\frown}{CAD}$的长为$\frac{40π}{3}$；
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，将垂径定理、勾股定理、弧长公式结合应用，是圆章节的典型综合题，需学生熟练掌握圆的基本性质，具备几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.5
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，AB是⊙O的直径且CD⊥AB，可直接得到相等线段CE=DE；
(2) 求半径时，设半径为r，结合垂径定理得DE=8，再在Rt△ODE中用勾股定理建立方程求解r；
(3) 利用弧相等对应的圆周角关系，结合直角三角形的角度性质求出∠COD，再用弧长公式计算优弧$\overset{\frown}{CAD}$的长度。
【解析】
(1)
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴CE=DE；
(2) 设⊙O的半径为r，则OD=r，OE=OB - BE = r - 4，
∵CD⊥AB，
∴DE=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×16=8$，在Rt△ODE中，由勾股定理：$OE^2 + DE^2 = OD^2$，代入得：$(r-4)^2 + 8^2 = r^2$，展开化简得：$r^2 -8r +80 = r^2$，解得$r=10$，
∴⊙O的半径为10；
(3) 连接OC，
∵$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠M=∠ODC（同弧所对圆周角相等），又
∵OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM，∠DOB是△OMB的外角，故∠DOB=∠OMB+∠OBM=2∠OBM，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE + ∠ODC=90°，结合∠M=∠ODC，得∠DOE=2∠OBM=2∠ODC，代入得$2∠ODC + ∠ODC=90°$，解得∠ODC=30°，
∴∠DOE=60°，
∵OC=OD，CD⊥AB，AB平分∠COD，故∠COD=2∠DOE=120°，优弧$\overset{\frown}{CAD}$的度数为$360°-120°=240°$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入n=240，R=10，得$\overset{\frown}{CAD}$的长为$\frac{240π×10}{180}=\frac{40π}{3}$。
【答案】
(1) CE=DE；
(2) ⊙O的半径为10；
(3) $\overset{\frown}{CAD}$的长为$\frac{40π}{3}$；
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，将垂径定理、勾股定理、弧长公式结合应用，是圆章节的典型综合题，需学生熟练掌握圆的基本性质，具备几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.5
