1. 已知$∠ MAN=120°$,点$C$是$∠ MAN$的平分线$AQ$上的一个定点,点$B,D$分别在$AN,AM$上,连接$BD$.
(1)如图①,若$∠ ABC=∠ ADC=90°$,则$∠ BCD=\_\_\_\_\_\_°$,$△ CBD$是________三角形;
(2)如图②,若$∠ ABC+∠ ADC=180°$,请判断$△ CBD$的形状,并证明你的结论;
(3)如图③,已知$∠ EOF=120°$,$OP$平分$∠ EOF$,且$OP=1$,若点$G,H$分别在射线$OE,OF$上,且$△ PGH$为等边三角形,则满足上述条件的$△ PGH$一共有________.(填序号)
① 2个 ② 3个 ③ 4个 ④ 4个以上

1.(1) 60 等边 解析:
∵ ∠ABC=∠ADC=90°,∠MAN=120°,
∴ ∠BCD=360°-(∠ABC+∠ADC+∠MAN)=60°.
∵ AC是∠MAN的平分线,CD⊥AM,CB⊥AN,
∴ CD=CB,
∴ △CBD是等边三角形.
(2) 如图①,同(1)得出∠BCD=60°.过点 C 作 CE ⊥ AM 于点 E,CF ⊥ AN 于点 F,
∵ AC 是∠MAN 的平分线,
∴ CE = CF.
∵ ∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°,
∴ ∠CDE=∠ABC.
在△CDE 和 △CBF 中, $\begin{cases} ∠CDE=∠CBF, \\ ∠CED=∠CFB=90°, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴ △CDE ≌ △CBF(AAS),
∴ CD=CB.
∵ ∠BCD=60°,
∴ △CBD 是等边三角形.
(3) ④ 解析:如图②,
∵ OP 平分 ∠EOF,∠EOF = 120°,
∴ ∠POE=∠POF=60°,在 OE 上截取 OG'=OP=1,连接 PG',
∴ △G'OP 是等边三角形,此时点 H'和点 O 重合.
同理,△OPH 是等边三角形,此时点 G 和点 O 重合.将等边△PHG绕点 P 逆时针旋转到等边△PG'H',在旋转的过程中,边 PG,PH 分别和 OE,OF 相交(如图②中G'',H'')所得的点和点 P 围成的三角形全部是等边三角形(旋转角的范围为 0°到60°,包括 0°和 60°),所以有无数个.故答案为④.

2. 如图，D为等边$△ ABC$的边BC的延长线上一点，$∠ ADE = ∠ ACE = 60°$.求证：$AD = DE$.

证法一:过点 D 作 DM//AC 交 EC 于点 M,如图①所示,
∴ ∠DMC=∠ACE=60°,∠MDC=∠ACB,
∴ ∠DME=120°.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠ACB=60°,
∴ ∠MDC=60°,∠ACD=120°,
∴ △MCD 为等边三角形,
∴ MD=CD.
∵ ∠ACE=∠ADE=60°,
∴ ∠CAD=∠CED.
∵ ∠ACD=∠EMD=120°,
∴ △ACD≌△EMD,
∴ AD=DE.
证法二:过点 D 作 DN//AB 交 AC 的延长线于点 N,如图②所示,
∴ ∠NDC=∠B.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠B=∠ACB=60°,
∴ ∠NDC=60°,∠NCD=∠ACB=60°,
∴ △CDN 为等边三角形,
∴ DN=CD,∠N=60°.
∵ ∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=180°-60°-60°=60°,
∴ ∠ECD=∠N=60°.
∵ ∠ADE=∠NDC=60°,
∴ ∠EDC=∠ADN,
∴ △AND≌△ECD,
∴ AD=DE.