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6. (2025·达州)化简：$\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{y - x} =$
$\frac{5}{x - y}$
.答案
6. $\frac{5}{x - y}$
7. 如果$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{6}{a + b}$，那么$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值是
4
.答案
7. 4
8. 已知$A = \frac{x + 4}{x + 2} - \frac{x + 2}{x}$，$B = 2x^2 + 4x + 2$.若$B = 0$，则$A$的值为
4
.答案
8. 4
9. 计算：
(1)$\frac{x + y}{y - x} + \frac{y}{x - y} - \frac{2x - y}{y - x}$；
(2)$\frac{a^2 - 4}{a + 2} + 2$；
(3)$\frac{y^2}{x^2 - xy} + \frac{x}{y - x}$；
(4)$\frac{x^2}{x - 1} - x - 1$.
(1)$\frac{x + y}{y - x} + \frac{y}{x - y} - \frac{2x - y}{y - x}$；
(2)$\frac{a^2 - 4}{a + 2} + 2$；
(3)$\frac{y^2}{x^2 - xy} + \frac{x}{y - x}$；
(4)$\frac{x^2}{x - 1} - x - 1$.
答案
9. (1) 1 (2) $a$ (3) $-\frac{x + y}{x}$ (4) $\frac{1}{x - 1}$
10. 先化简，再求值：$\frac{1}{x - 1} + \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 1}$，其中$x = 2$.
答案
10. 解:原式$=\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x^{2} - 3x}{(x + 1)(x - 1)}=$
$\frac{x + 1 + x^{2} - 3x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 1}{x + 1}$.
当$x = 2$时,
原式$=\frac{2 - 1}{2 + 1}=\frac{1}{3}$.
$\frac{x + 1 + x^{2} - 3x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 1}{x + 1}$.
当$x = 2$时,
原式$=\frac{2 - 1}{2 + 1}=\frac{1}{3}$.
11. (2025·宿豫期末)观察下列等式：
第 1 个等式：$\frac{2}{2^2 - 1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}$，第 2 个等式：$\frac{2}{4^2 - 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$，第 3 个等式：$\frac{2}{6^2 - 1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ··· ···$
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第 4 个等式：
(2)试用含有正整数$n$的式子表示这个规律，并加以证明；
(3)运用规律计算：$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + ··· + \frac{1}{2026^2 - 1}$.
第 1 个等式：$\frac{2}{2^2 - 1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}$，第 2 个等式：$\frac{2}{4^2 - 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$，第 3 个等式：$\frac{2}{6^2 - 1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ··· ···$
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第 4 个等式：
$\frac{2}{8^{2} - 1}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$
；(2)试用含有正整数$n$的式子表示这个规律，并加以证明；
(3)运用规律计算：$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + ··· + \frac{1}{2026^2 - 1}$.
答案
11. (1) $\frac{2}{8^{2} - 1}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$
(2) 解:第$n$个等式为$\frac{2}{(2n)^{2} - 1}=\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1}$.
证明如下:
∵左边$=\frac{2}{4n^{2} - 1}$,右边$=\frac{2n + 1}{(2n - 1)(2n + 1)}-$
$\frac{2n - 1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{2n + 1 - 2n + 1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{2}{4n^{2} - 1}$,
∴左边=右边.
(3) 解:$\frac{1}{2^{2} - 1}+\frac{1}{4^{2} - 1}+\frac{1}{6^{2} - 1}+···+\frac{1}{2026^{2} - 1}$
$=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+···+\frac{1}{2025×2027}$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+···+\frac{1}{2025}-$
$\frac{1}{2027})$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2027})$
$=\frac{1013}{2027}$.
(2) 解:第$n$个等式为$\frac{2}{(2n)^{2} - 1}=\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1}$.
证明如下:
∵左边$=\frac{2}{4n^{2} - 1}$,右边$=\frac{2n + 1}{(2n - 1)(2n + 1)}-$
$\frac{2n - 1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{2n + 1 - 2n + 1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{2}{4n^{2} - 1}$,
∴左边=右边.
(3) 解:$\frac{1}{2^{2} - 1}+\frac{1}{4^{2} - 1}+\frac{1}{6^{2} - 1}+···+\frac{1}{2026^{2} - 1}$
$=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+···+\frac{1}{2025×2027}$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+···+\frac{1}{2025}-$
$\frac{1}{2027})$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2027})$
$=\frac{1013}{2027}$.
