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【学以致用3】填空：
多项式 $2a-1$ $-x+5x^4+8$ $-x^2y+3xy^4-2$
项
最高次项
次数
几次几项式
多项式 $2a-1$ $-x+5x^4+8$ $-x^2y+3xy^4-2$
项
最高次项
次数
几次几项式
答案
$2a,-1$ $-x,5x^4,8$ $-x^2y,3xy^4,-2$
$2a$ $5x^4$ $3xy^4$ $1$ $4$ $5$ 一次二项式 四次三项式 五次三项式(横排)
$2a$ $5x^4$ $3xy^4$ $1$ $4$ $5$ 一次二项式 四次三项式 五次三项式(横排)
解析
【分析】
解题前先明确多项式相关基础概念：①项：组成多项式的每个单项式，注意要保留单项式前面的正负号；②最高次项：多项式里次数最高的项，其中单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，常数项次数为0；③多项式的次数：就是最高次项的次数；④几次几项式：先看多项式的次数是几就是“几次”，再数有几个项就是“几项式”。我们依次对三个多项式按概念分析填写即可。
【解析】
我们逐个分析三个多项式：
1. 多项式$2a-1$：
组成的单项式是$2a$、$-1$，即项为$2a,-1$；最高次项是$2a$，它的次数是1，因此多项式次数是1，共2个项，是一次二项式。
2. 多项式$-x+5x^4+8$：
组成的单项式是$-x$、$5x^4$、$8$，即项为$-x,5x^4,8$；最高次项是$5x^4$，它的次数是4，因此多项式次数是4，共3个项，是四次三项式。
3. 多项式$-x^2y+3xy^4-2$：
组成的单项式是$-x^2y$、$3xy^4$、$-2$，即项为$-x^2y,3xy^4,-2$；计算各单项式次数：$-x^2y$次数为$2+1=3$，$3xy^4$次数为$1+4=5$，因此最高次项是$3xy^4$，多项式次数是5，共3个项，是五次三项式。
【答案】
横排依次为：$2a,-1$；$-x,5x^4,8$；$-x^2y,3xy^4,-2$；$2a$；$5x^4$；$3xy^4$；$1$；$4$；$5$；一次二项式；四次三项式；五次三项式
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；多项式的命名
【点评】
本题属于整式部分的基础概念题，解题的关键是牢记多项式相关定义，尤其要注意写多项式的项时不要遗漏前面的正负号，计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，避免错算次数。
【难度系数】
0.8
解题前先明确多项式相关基础概念：①项：组成多项式的每个单项式，注意要保留单项式前面的正负号；②最高次项：多项式里次数最高的项，其中单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，常数项次数为0；③多项式的次数：就是最高次项的次数；④几次几项式：先看多项式的次数是几就是“几次”，再数有几个项就是“几项式”。我们依次对三个多项式按概念分析填写即可。
【解析】
我们逐个分析三个多项式：
1. 多项式$2a-1$：
组成的单项式是$2a$、$-1$，即项为$2a,-1$；最高次项是$2a$，它的次数是1，因此多项式次数是1，共2个项，是一次二项式。
2. 多项式$-x+5x^4+8$：
组成的单项式是$-x$、$5x^4$、$8$，即项为$-x,5x^4,8$；最高次项是$5x^4$，它的次数是4，因此多项式次数是4，共3个项，是四次三项式。
3. 多项式$-x^2y+3xy^4-2$：
组成的单项式是$-x^2y$、$3xy^4$、$-2$，即项为$-x^2y,3xy^4,-2$；计算各单项式次数：$-x^2y$次数为$2+1=3$，$3xy^4$次数为$1+4=5$，因此最高次项是$3xy^4$，多项式次数是5，共3个项，是五次三项式。
【答案】
横排依次为：$2a,-1$；$-x,5x^4,8$；$-x^2y,3xy^4,-2$；$2a$；$5x^4$；$3xy^4$；$1$；$4$；$5$；一次二项式；四次三项式；五次三项式
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；多项式的命名
【点评】
本题属于整式部分的基础概念题，解题的关键是牢记多项式相关定义，尤其要注意写多项式的项时不要遗漏前面的正负号，计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，避免错算次数。
【难度系数】
0.8
【学以致用4】下列式子中,哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式?
$2x,\frac{3}{a},-2x+x^2,-\frac{5}{3}x^2y,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3},0,\frac{1}{a-b}.$
$2x,\frac{3}{a},-2x+x^2,-\frac{5}{3}x^2y,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3},0,\frac{1}{a-b}.$
答案
解:整式有$2x,-2x+x^2,-\frac{5}{3}x^2y,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3},0$；
单项式有$2x,-\frac{5}{3}x^2y,0$；
多项式有$-2x+x^2,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3}$.
单项式有$2x,-\frac{5}{3}x^2y,0$；
多项式有$-2x+x^2,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3}$.
解析
【分析】
要解决这道分类题，我们先要牢记3个核心定义：①整式是单项式和多项式的统称，分母里含有字母的式子一定不是整式；②单项式是数和字母的乘积，单独的一个数或者一个字母也属于单项式；③多项式是几个单项式的和。解题时先按“分母不含字母”的标准筛选出所有整式，再从整式里区分出只有乘积形式的单项式、由多个单项式相加组成的多项式即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $2x$：是数字2和字母x的乘积，属于单项式，也是整式；
2. $\frac{3}{a}$：分母含有字母a，不属于整式；
3. $-2x+x^2$：是单项式$-2x$和$x^2$的和，属于多项式，也是整式；
4. $-\frac{5}{3}x^2y$：是数字$-\frac{5}{3}$和字母$x^2y$的乘积，属于单项式，也是整式；
5. $a^2+ab+b^2$：是单项式$a^2$、$ab$、$b^2$的和，属于多项式，也是整式；
6. $\frac{x+2y}{3}$：可变形为$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y$，是两个单项式的和，分母是数字3不含字母，属于多项式，也是整式；
7. $0$：单独的数字，属于单项式，也是整式；
8. $\frac{1}{a-b}$：分母含有字母a、b，不属于整式。
按照分类要求整理结果即可。
【答案】
整式有$2x,-2x+x^2,-\frac{5}{3}x^2y,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3},0$；
单项式有$2x,-\frac{5}{3}x^2y,0$；
多项式有$-2x+x^2,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3}$。
【知识点】
整式的定义，单项式的定义，多项式的定义
【点评】
本题是整式概念的基础考察题，解题关键是牢记整式的判断前提是分母不含字母，同时要注意区分单项式和多项式的特征，不要误将分母为常数的分数形式多项式判定为非整式。
【难度系数】
0.7
要解决这道分类题，我们先要牢记3个核心定义：①整式是单项式和多项式的统称，分母里含有字母的式子一定不是整式；②单项式是数和字母的乘积，单独的一个数或者一个字母也属于单项式；③多项式是几个单项式的和。解题时先按“分母不含字母”的标准筛选出所有整式，再从整式里区分出只有乘积形式的单项式、由多个单项式相加组成的多项式即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $2x$：是数字2和字母x的乘积，属于单项式，也是整式；
2. $\frac{3}{a}$：分母含有字母a，不属于整式；
3. $-2x+x^2$：是单项式$-2x$和$x^2$的和，属于多项式，也是整式；
4. $-\frac{5}{3}x^2y$：是数字$-\frac{5}{3}$和字母$x^2y$的乘积，属于单项式，也是整式；
5. $a^2+ab+b^2$：是单项式$a^2$、$ab$、$b^2$的和，属于多项式，也是整式；
6. $\frac{x+2y}{3}$：可变形为$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y$，是两个单项式的和，分母是数字3不含字母，属于多项式，也是整式；
7. $0$：单独的数字，属于单项式，也是整式；
8. $\frac{1}{a-b}$：分母含有字母a、b，不属于整式。
按照分类要求整理结果即可。
【答案】
整式有$2x,-2x+x^2,-\frac{5}{3}x^2y,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3},0$；
单项式有$2x,-\frac{5}{3}x^2y,0$；
多项式有$-2x+x^2,a^2+ab+b^2,\frac{x+2y}{3}$。
【知识点】
整式的定义，单项式的定义，多项式的定义
【点评】
本题是整式概念的基础考察题，解题关键是牢记整式的判断前提是分母不含字母，同时要注意区分单项式和多项式的特征，不要误将分母为常数的分数形式多项式判定为非整式。
【难度系数】
0.7
【学以致用5】某古城墙及门洞的示意图如图所示，门洞的下部是长方形，长方形的长为2r，宽为h，上部是半圆形，半圆形的直径为2r，求它的面积（用含r，h的整式表示），并写出整式的次数及各项的系数。
答案
解:由题意可得,它的面积为$\frac{πr^2}{2}+2rh$,其中次数为2,各项的系数分别为$\frac{π}{2},2$.
解析
【分析】
解题时我们可以把门洞的面积拆分为两部分计算：①下部长方形的面积，②上部半圆形的面积，再将两部分面积相加得到总面积。之后结合整式的相关概念：整式的次数是整式中最高次项的次数，单项式的系数是单项式中的数字因数，分别确定整式的次数和各项系数即可。
【解析】
1. 计算各部分面积：
（1）下部是长方形，长方形面积=长×宽，已知长为2r，宽为h，所以长方形面积为：$2r × h = 2rh$
（2）上部是半圆形，半圆直径为2r，可得半径为r，半圆面积是整圆面积的$\frac{1}{2}$，圆面积公式为$π r^2$，所以半圆面积为：$\frac{1}{2} × π r^2 = \frac{π r^2}{2}$
2. 计算总面积：
门洞总面积 = 半圆面积 + 长方形面积，即$\frac{π r^2}{2} + 2rh$
3. 确定整式的次数和各项系数：
这个整式的两项分别为$\frac{π r^2}{2}$和$2rh$，两项的次数都是2，因此整式的次数为2；
其中$\frac{π r^2}{2}$的数字因数为$\frac{π}{2}$，即系数为$\frac{π}{2}$；$2rh$的数字因数为2，即系数为2。
【答案】
它的面积为$\frac{πr^2}{2}+2rh$，其中次数为2，各项的系数分别为$\frac{π}{2},2$。
【知识点】
组合图形面积计算；整式的次数；单项式的系数
【点评】
本题将几何图形面积计算与整式的基础概念相结合，既考查了长方形、圆形的面积公式应用，又考查了整式次数、系数的辨析，解题时需要注意π是常数，计算系数时需将π计入数字因数中。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以把门洞的面积拆分为两部分计算：①下部长方形的面积，②上部半圆形的面积，再将两部分面积相加得到总面积。之后结合整式的相关概念：整式的次数是整式中最高次项的次数，单项式的系数是单项式中的数字因数，分别确定整式的次数和各项系数即可。
【解析】
1. 计算各部分面积：
（1）下部是长方形，长方形面积=长×宽，已知长为2r，宽为h，所以长方形面积为：$2r × h = 2rh$
（2）上部是半圆形，半圆直径为2r，可得半径为r，半圆面积是整圆面积的$\frac{1}{2}$，圆面积公式为$π r^2$，所以半圆面积为：$\frac{1}{2} × π r^2 = \frac{π r^2}{2}$
2. 计算总面积：
门洞总面积 = 半圆面积 + 长方形面积，即$\frac{π r^2}{2} + 2rh$
3. 确定整式的次数和各项系数：
这个整式的两项分别为$\frac{π r^2}{2}$和$2rh$，两项的次数都是2，因此整式的次数为2；
其中$\frac{π r^2}{2}$的数字因数为$\frac{π}{2}$，即系数为$\frac{π}{2}$；$2rh$的数字因数为2，即系数为2。
【答案】
它的面积为$\frac{πr^2}{2}+2rh$，其中次数为2，各项的系数分别为$\frac{π}{2},2$。
【知识点】
组合图形面积计算；整式的次数；单项式的系数
【点评】
本题将几何图形面积计算与整式的基础概念相结合，既考查了长方形、圆形的面积公式应用，又考查了整式次数、系数的辨析，解题时需要注意π是常数，计算系数时需将π计入数字因数中。
【难度系数】
0.7
