1. 如图,每一幅图中都有若干个等边三角形，第1幅图中有1个等边三角形,第2幅图中有3个等边三角形,第3幅图中有5个等边三角形……按此规律,若第$n$幅图中有199个等边三角形,则$n$的值为（）




A.49
B.50
C.99
D.100

1. D 提示:由所给图形可知,第 1 幅图中,等边三角形的个数为 $1=1×2-1$;第 2 幅图中,等边三角形的个数为 $3=2×2-1$;第 3 幅图中,等边三角形的个数为 $5=3×2-1······$ 所以第 $n$ 幅图中,等边三角形的个数为$(2n-1)$,令 $2n-1=199$,解得 $n=100$,即第 100 幅图中,等边三角形的个数为 199.

【分析】
我们先整理题目给出的已知条件：第1幅图有1个等边三角形，第2幅有3个，第3幅有5个。首先观察这组数值的变化规律，相邻两幅图的等边三角形数量差都是2，属于连续的正奇数序列。接下来尝试用图的序号n表示对应的三角形数量：当n=1时，数量是1=2×1-1；n=2时，数量是3=2×2-1；n=3时，数量是5=2×3-1，由此就能归纳出第n幅图等边三角形总数的通用表达式。最后把总数199代入表达式，解一元一次方程就能求出n的值。
【解析】
解：
1. 归纳规律：
第1幅图等边三角形个数：$1 = 2×1 -1$
第2幅图等边三角形个数：$3 = 2×2 -1$
第3幅图等边三角形个数：$5 = 2×3 -1$
……
由此可得，第$n$幅图中等边三角形的个数为$2n-1$。
2. 列方程求解：
已知第$n$幅图共有199个等边三角形，代入通项公式得：
$2n -1 = 199$
移项计算：$2n = 199+1 = 200$
解得：$n=100$
因此n的值为100。
【答案】D
【知识点】图形规律探究，一元一次方程求解
【点评】本题是基础的图形规律类题目，核心思路是通过前几组已知数据归纳出数量和序号的对应通项公式，代入已知总数后解方程即可得到结果。推导完通项公式后可以代入前几个序号验证正确性，能有效避免通项写错的低级失误。
【难度系数】0.9

2. 小明对全班同学说：“请每位同学任意想一个数，把这个数乘$k$后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的$\dfrac{1}{2}.$”若大家计算的结果是一样的，则 $k$ 的值为
.

2. 2 提示:设所想的数为 $x$,则操作后的结果为
$\dfrac{kx+8}{4}-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{kx+8-2x}{4}=\dfrac{(k-2)x+8}{4}$. 因为大家的计算结果是一样的,所以 $k-2=0$,解得 $k=2$.

【分析】
我们的解题思路是这样的：题目说明不管同学想的是什么数，最终计算结果都完全相同，这意味着最终的运算结果和大家所想的任意数没有关联，也就是代表所想数的变量的系数必须为0。首先我们先设每位同学所想的任意数为x，严格按照题目描述的运算顺序列出对应的代数式，再对代数式进行通分化简，要让化简后的式子不含变量x，就需要x的系数等于0，据此建立关于k的方程，就能解出k的取值。
【解析】
解：设每位同学所想的任意数为$x$，
根据题目给出的运算规则，可得到运算后的结果表达式：
$\frac{kx + 8}{4} - \frac{1}{2}x$
对该代数式进行化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{kx + 8}{4} - \frac{2x}{4}\\&=\frac{kx + 8 - 2x}{4}\\&=\frac{(k-2)x + 8}{4}\end{aligned}$
由于所有同学的计算结果完全相同，说明最终结果与$x$的取值无关，因此含$x$的项的系数必须为0，即：
$k - 2 = 0$
解得$k=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 整式的化简
2. 代数式与变量无关条件
【点评】
本题属于趣味代数题型，核心考察学生对“代数式的值与指定变量无关”这一条件的理解，这类问题的通用解法就是将代数式化简后，令无关变量的系数为0即可求解，题目计算量小，能很好地锻炼学生用代数建模解决实际趣味问题的思维。
【难度系数】
0.7

3. 若 $∠ MON$ 内部的一条射线 $OP$, 将$∠ MON$ 分成两个角,且其中一个角是另一个角的 2 倍,则称 $OP$ 是 $∠ MON$ 的“倍分角线”.
(1) 已知 $OP$ 是 $∠ MON$ 内部的一条射线,下列情况中, $OP$ 是 $∠ MON$ 的“倍分角线”的为(填序号).
①$∠ MOP=20°,∠ PON=40°$;
②$∠ MON=120°,∠ MOP=90°$;
③$∠ MON=150°,∠ PON=50°$.
(2) 已知$∠ AOB=180°$.
① 如图 1, $∠ COB=60°$,$OD$ 平分$∠ AOC,OE$ 平分 $∠ COB$. 判断 $OC$是否为 $∠ DOE$ 的“倍分角线”,并说明理由.
②如图 2,射线 $OD$ 从 $OA$ 出发,绕点$O$ 以每秒 $2°$ 的速度顺时针旋转,同时,射线 $OE$ 从 $OB$ 出发,绕点 $O$以每秒 $1°$ 的速度逆时针旋转. 当$OD$ 第一次到达 $OB$ 时,两条射线停止旋转,设旋转时间为 $t$ s. 若$OC$ 是 $∠ DOE$ 的“倍分角线”,且$∠ COE=30°$,则 $t$ 的值为.

3. （1）① ③ 提示: 因为 $∠ MOP = 20°$,
$∠ PON=40°$,所以 $∠ PON=2∠ MOP$,故①符合题意;
因为 $∠ MON = 120°$,$∠ MOP = 90°$, 所以 $∠ PON = 120°-90°=30°$,所以 $∠ MOP=3∠ PON$,故②不符合题意;因为 $∠ MON = 150°$,$∠ PON = 50°$,所以 $∠ MOP = 150°-50°=100°$,所以 $∠ MOP=2∠ PON$,故③符合题意.
(2) 解:①OC 是 $∠ DOE$ 的“倍分角线”.
理由如下：
因为 $∠ AOB = 180°$,$∠ COB = 60°$,所以 $∠ AOC=120°$. 因为 $OD$ 平分 $∠ AOC$,$OE$ 平分$∠ COB$,所以 $∠ DOC=60°$,$∠ COE=30°$,所以 $∠ DOC=2∠ COE$,所以 $OC$ 为 $∠ DOE$ 的“倍分角线”.
②30 或 45 或 75 或 90 提示:根据题意,得总的运动时间 $t=\dfrac{180°}{2°}=90(\mathrm{s})$,$∠ AOD=2t°$,$∠ BOE=t°$. 当 $OD$ 与 $OE$ 重合时,$2t+t=180$,解得 $t=60$. 当 $0＜t≤60$ 时,$∠ DOE=180°-∠ AOD-∠ BOE=180°-2t°-t°=180°-3t°$,因为 $∠ COE=30°$,所以 $∠ DOC=∠ DOE-∠ COE=150°-3t°$,当 $∠ DOC=2∠ COE$ 时,$150-3t=2×30$,解得 $t=30$;当 $∠ COE=2∠ DOC$ 时,$2×(150-3t)=30$,解得 $t=45$. 当 $60＜t≤90$ 时,如图所示. $∠ DOE=∠ AOD+∠ BOE-180°=2t°+t°-180°=3t°-180°$,因为 $∠ COE=30°$,所以 $∠ DOC=∠ DOE-∠ COE=3t°-210°$,当 $∠ DOC=2∠ COE$ 时,$3t-210=2×30$,解得 $t=90$;当 $∠ COE=2∠ DOC$ 时,$2×(3t-210)=30$,解得 $t=75$. 综上,$t$ 的值为 30 或 45 或 75 或 90.

【分析】
1. 第(1)问紧扣“倍分角线”的定义：射线在角内部，将原角分成两个角，其中一个角的度数是另一个的2倍，逐个验证三个选项的两个小角的倍数关系，选出符合条件的结果即可。
2. 第(2)①问先根据平角∠AOB=180°和已知∠COB=60°算出∠AOC的度数，再利用角平分线的性质分别求出∠DOC和∠COE的度数，验证二者是否满足2倍关系，即可判断OC是否为倍分角线。
3. 第(2)②问首先确定运动总时长为90s，先求出OD、OE相遇时的t=60s，以此为分界点分两类讨论：相遇前0＜t≤60时，推导∠DOE的表达式，结合∠COE=30°得到∠DOC的表达式，再根据倍分角线的两种2倍关系分别列方程求解；相遇后60＜t≤90时，同理推导∠DOE和∠DOC的表达式，分两种子情况列方程求解，最终汇总所有符合条件的t值即可。
【解析】
(1) 逐个验证三个情况：
① 已知∠MOP=20°，∠PON=40°，满足∠PON=2∠MOP，符合倍分角线定义；
② 已知∠MON=120°，∠MOP=90°，则∠PON=120°-90°=30°，∠MOP=3∠PON，不满足2倍关系，不符合要求；
③ 已知∠MON=150°，∠PON=50°，则∠MOP=150°-50°=100°，满足∠MOP=2∠PON，符合倍分角线定义；
因此符合条件的是①③。
(2) ① OC是∠DOE的“倍分角线”，理由如下：
∵ ∠AOB=180°，∠COB=60°
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠COB = 180° - 60° = 120°
∵ OD平分∠AOC，OE平分∠COB
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 60°，∠COE = $\frac{1}{2}$∠COB = 30°
∴ ∠DOC = 2∠COE，满足倍分角线的定义，因此OC是∠DOE的“倍分角线”。
② 由题意，OD从OA旋转到OB总时长为$180°÷2°/s=90s$，运动过程中∠AOD=2t°，∠BOE=t°。
先求OD与OE重合的时刻：此时∠AOD + ∠BOE = 180°，即$2t + t = 180$，解得$t=60s$。
分两类讨论：
第一类：$0 ＜ t ≤ 60$，OD、OE未相遇，此时∠DOE = $180° - ∠AOD - ∠BOE = 180° - 3t°$
已知∠COE=30°，因此∠DOC = ∠DOE - ∠COE = $150° - 3t°$
子情况1：∠DOC = 2∠COE，代入得$150 - 3t = 2×30$，解得$t=30$，符合取值范围；
子情况2：∠COE = 2∠DOC，代入得$30 = 2×(150 - 3t)$，解得$t=45$，符合取值范围；
第二类：$60 ＜ t ≤ 90$，OD、OE已经相遇，此时∠DOE = $∠AOD + ∠BOE - 180° = 3t° - 180°$
已知∠COE=30°，因此∠DOC = ∠DOE - ∠COE = $3t° - 210°$
子情况1：∠DOC = 2∠COE，代入得$3t - 210 = 2×30$，解得$t=90$，符合取值范围；
子情况2：∠COE = 2∠DOC，代入得$30 = 2×(3t - 210)$，解得$t=75$，符合取值范围；
综上t的取值为30或45或75或90。
【答案】
(1) ①③
(2) ① OC是∠DOE的“倍分角线”，理由见解析；② 30或45或75或90

【知识点】
角的和差计算，角平分线定义，新定义题型
【点评】
本题是新定义结合角的动点综合题，核心考察分类讨论的数学思想，解题关键是先准确理解“倍分角线”的定义，处理动点旋转问题时，以两射线重合的时刻为分界点分相遇前、相遇后两类讨论，同时每类下还要考虑两种2倍关系的情况，避免漏解，对学生的逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.4