1. (2026·南京期末)如图,在底面周长约为6米的华表柱上,有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处,华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米,则雕刻在华表柱上的巨龙至少长米.

1. 20 解析:根据题意得,把圆柱的侧面展开后是长方形,如图,雕龙把大长方形均分为2个小长方形,则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和.
∵底面周长约为6米,柱身高约16米,
∴$AD = 6$米,$BD=\dfrac{1}{2}DF=\dfrac{1}{2}×16 = 8$(米),
∴$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$(米),故雕刻在华表柱上的巨龙至少长$10×2 = 20$(米).

2.(广安中考)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为 16 cm,在杯内壁离杯底4 cm 的点 A 处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿 1 cm,且与蜂蜜相对的点 B 处,则蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A处所走的最短路程为cm.(杯壁厚度不计)

2. 10 解析:把圆柱形玻璃杯的侧面展开,部分展开图如图所示.作点B关于EF的对称点$B'$,作$B'D⊥ AE$交AE的延长线于点D,连接$B'A$,则$B'A$即为最短路程.$\because B'A^{2}=B'D^{2}+AD^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}$,$\therefore B'A = 10\ \mathrm{cm}$.

3. (2025·西安模拟)如图是某校运动会的颁奖台,3个长方体颁奖台的长均为80 cm,宽均为60 cm,1,2,3号台的高度分别是40 cm,30 cm,20 cm.若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处,则蚂蚁爬行的最短距离为.

3. $60\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$ 解析:展开图如图所示,$80 + 20 + 80 = 180\ (\mathrm{cm})$,$\therefore AB=\sqrt{180^{2}+60^{2}}=60\sqrt{10}\ (\mathrm{cm})$.

4. 如图,一块长方体砖的宽$AN=5$,长$ND=10$,
$CD$上的点$B$距地面的高$BD=8$,地面上$A$处
的一只蚂蚁到$B$处吃食,那么它需要爬行的
最短路程是.

4. 17 解析:根据题意,画出示意图如图所示,可能的路径有三种情况.连接AB,则AB的长即为A处到B处的最短路程.①如图①,$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=(5 + 10)^{2}+8^{2}=289$;②如图②,$AB^{2}=AN^{2}+NB^{2}=5^{2}+(10 + 8)^{2}=349$;③如图③,$AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}=10^{2}+(5 + 8)^{2}=269$.由于砖放地面上时图②,图③的路线不可到达,所以A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路程是17.

5. (1) 探究: 如图①, 点 $P, Q$ 为 $△ ABC$ 的边 $AB$, $AC$ 上的两定点, 在边 $BC$ 上求作一点 $M$, 使 $△ PQM$ 的周长最短.
(2) 应用: 如图②, 在长方形 $ABCD$ 中, $AB=6$, $AD=8$, 点 $E, F$ 分别为边 $AB, AD$ 的中点, 点 $M, N$ 分别为边 $BC, CD$ 上的动点, 求四边形 $EFNM$ 的周长的最小值.
(3) 拓展: 如图③, 在 $△ ABC$ 中, $AC=BC$, $∠ ACB=90°$, 点 $D$ 在边 $BC$ 上, $BD=3, DC=1$, 点 $P$ 是边 $AB$ 上的动点, 试求 $PC+PD$ 的最小值.

5. (1)如图①所示,作点P关于BC的对称点$P'$,连接$P'Q$,交BC于点M,连接PQ,PM,则$PM = P'M$,此时$△ PQM$的周长最短为$PQ + PM + QM = PQ + P'M + QM = PQ + P'Q$,$\therefore$点M即为所求.

(2)如图②所示,作点E关于BC的对称点$E'$,作点F关于CD的对称点$F'$,连接$E'F'$,交BC于点M,交CD于点N,连接EM,FN,则$EM = E'M$,$FN = F'N$,$\therefore EF + EM + MN + FN = EF + E'M + MN + F'N = EF + E'F'$,$\therefore$此时四边形EFNM的周长的最小值为$EF + E'F'$的长.$\because AB = 6$,$AD = 8$,点E,F分别为边AB,AD的中点,$\therefore AE' = 6 + 3 = 9$,$AF' = 8 + 4 = 12$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AE'F'$中,由勾股定理得$E'F' = 15$.又$\because$在$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$EF = 5$,$\therefore$四边形EFNM的周长的最小值$= EF + E'F' = 5 + 15 = 20$.
(3)如图③,过点C作$CO⊥ AB$于点O,延长CO到点$C'$,使$OC' = OC$,则$C'$是C关于AB的对称点,连接$DC'$,交AB于点P,连接CP.此时$PD + PC = PD + PC' = DC'$的值最小.$\because BD = 3$,$DC = 1$,$\therefore BC = 4$.连接$BC'$,由对称性可知$∠ C'BA=∠ CBA = 45°$,$\therefore∠ CBC' = 90°$,$\therefore BC'⊥ BC$,$∠ BCC'=∠ BC'C = 45°$,$\therefore BC = BC' = 4$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ C'BD$中,由勾股定理得$DC' = 5$,$\therefore PC + PD$的最小值为5.