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7. 匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度$ h $随时间$ t $的变化规律如图所示(图中$ OABC $为一折线).这个容器的形状可能是(
A. B. C. D.
B
).A. B. C. D.
答案
7. B 【点拨】本题考查函数图象的应用,分析图象的变化趋势是解题的关键.
【解析】从函数图象看,OA段上升最快,AB段上升最慢,BC段上升较快,上升越快说明对应容器越细,反之,则容器越粗,$\therefore$ 该容器下面最细,中间最粗,上面其次,B选项符合题意. 故选 B.
【解析】从函数图象看,OA段上升最快,AB段上升最慢,BC段上升较快,上升越快说明对应容器越细,反之,则容器越粗,$\therefore$ 该容器下面最细,中间最粗,上面其次,B选项符合题意. 故选 B.
解析
【分析】要判断容器的形状，需明确：匀速注水时，相同时间注入水的体积相同，水面高度上升的速度（即h-t图像的斜率）与容器横截面积成反比——斜率越大，容器越细；斜率越小，容器越粗。观察图像：OA段斜率最大（上升最快），对应容器最细；AB段斜率最小（上升最慢），对应容器最粗；BC段斜率介于OA和AB之间，对应容器粗细介于两者之间。据此分析选项即可。
【解析】匀速注水时，单位时间注入水的体积固定，因此水面高度上升速度由容器横截面积决定：容器越细，水面上升越快（h-t图像斜率越大）；容器越粗，水面上升越慢（斜率越小）。结合图像：①OA段斜率最大→容器最细；②AB段斜率最小→容器最粗；③BC段斜率介于两者之间→容器粗细介于前两者之间。分析选项：A容器下粗上细，不符合；B容器下方最细、中间最粗、上方圆柱粗细介于中间和下方之间，符合图像规律；C容器下方粗，不符合；D容器上方圆柱与下方圆柱粗细相同，不符合BC段的粗细特征。因此选B。
【答案】B
【知识点】函数图像的应用、圆柱体积与高度的关系
【点评】本题将函数图像与实际容器注水问题结合，核心是理解图像斜率与容器粗细的关联，考查学生的图像解读能力，是中等难度的常见题型。
【难度系数】0.5
【解析】匀速注水时，单位时间注入水的体积固定，因此水面高度上升速度由容器横截面积决定：容器越细，水面上升越快（h-t图像斜率越大）；容器越粗，水面上升越慢（斜率越小）。结合图像：①OA段斜率最大→容器最细；②AB段斜率最小→容器最粗；③BC段斜率介于两者之间→容器粗细介于前两者之间。分析选项：A容器下粗上细，不符合；B容器下方最细、中间最粗、上方圆柱粗细介于中间和下方之间，符合图像规律；C容器下方粗，不符合；D容器上方圆柱与下方圆柱粗细相同，不符合BC段的粗细特征。因此选B。
【答案】B
【知识点】函数图像的应用、圆柱体积与高度的关系
【点评】本题将函数图像与实际容器注水问题结合，核心是理解图像斜率与容器粗细的关联，考查学生的图像解读能力，是中等难度的常见题型。
【难度系数】0.5
8. 甲、乙两车分别从相距480 km的A,B两地相向而行,甲、乙两车离B地的距离y(km)与甲车行驶时间x(h)的关系如图所示,下列说法错误的是(
A.甲车比乙车提前出发1 h
B.甲车的速度为80 km/h
C.当乙车到达A地时,甲车距离B地80 km
D.t的值为5.2
D
).A.甲车比乙车提前出发1 h
B.甲车的速度为80 km/h
C.当乙车到达A地时,甲车距离B地80 km
D.t的值为5.2
答案
8. D 【点拨】本题考查一次函数的应用,正确从函数图象中获取信息是解题的关键.
【解析】由题图知,甲车比乙车早出发1 h,故 A 选项正确,不符合题意;甲车行驶完全程所需时间为6 h,则甲车的速度为 $480 ÷ 6 = 80(\mathrm{km/h})$,故 B 选项正确,不符合题意;甲、乙两车相遇时所行驶的路程都是240 km,$\therefore$ 甲车所用时间为 $240 ÷ 80 = 3(\mathrm{h})$,$\therefore$ 乙车所用时间为 $3 - 1 = 2(\mathrm{h})$,$\therefore$ 乙车的速度为 $240 ÷ 2 = 120(\mathrm{km/h})$,$\therefore$ 乙车到达A地所用时间为 $480 ÷ 120 = 4(\mathrm{h})$,$\therefore t = 4 + 1 = 5$,故 D 选项错误,符合题意;当乙车到达A地时,甲车距离B地 $(6 - 5) × 80 = 80(\mathrm{km})$,故 C 选项正确,不符合题意. 故选 D.
【解析】由题图知,甲车比乙车早出发1 h,故 A 选项正确,不符合题意;甲车行驶完全程所需时间为6 h,则甲车的速度为 $480 ÷ 6 = 80(\mathrm{km/h})$,故 B 选项正确,不符合题意;甲、乙两车相遇时所行驶的路程都是240 km,$\therefore$ 甲车所用时间为 $240 ÷ 80 = 3(\mathrm{h})$,$\therefore$ 乙车所用时间为 $3 - 1 = 2(\mathrm{h})$,$\therefore$ 乙车的速度为 $240 ÷ 2 = 120(\mathrm{km/h})$,$\therefore$ 乙车到达A地所用时间为 $480 ÷ 120 = 4(\mathrm{h})$,$\therefore t = 4 + 1 = 5$,故 D 选项错误,符合题意;当乙车到达A地时,甲车距离B地 $(6 - 5) × 80 = 80(\mathrm{km})$,故 C 选项正确,不符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需从函数图象中提取两车的出发时间、行驶路程等关键信息，结合行程问题的基本公式（速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）逐步推导：先通过出发时间判断选项A，再根据甲车全程行驶数据算速度判断选项B，接着通过相遇时的路程算出乙车速度，进而确定乙车到达A地的总时间判断选项D，最后验证乙到达时甲车距B地的距离判断选项C，最终找出错误选项。
【解析】
1. 分析选项A：由图象可知，甲车在x=0时出发，乙车在x=1时出发，因此甲车比乙车提前出发1h，A选项正确，不符合题意；
2. 分析选项B：甲车行驶全程480km用时6h，根据速度公式，甲车速度为$480÷6=80(\mathrm{km/h})$，B选项正确，不符合题意；
3. 分析选项C：甲、乙两车相遇时，离B地的距离均为240km，即各行驶了240km。甲车行驶240km用时$240÷80=3(\mathrm{h})$，则乙车行驶240km用时$3-1=2(\mathrm{h})$，乙车速度为$240÷2=120(\mathrm{km/h})$。乙车到达A地需行驶480km，用时$480÷120=4(\mathrm{h})$，此时甲车已行驶的总时间为$1+4=5(\mathrm{h})$，甲车距离B地的距离为$(6-5)×80=80(\mathrm{km})$，C选项正确，不符合题意；
4. 分析选项D：由上述计算，乙车到达A地时，甲车行驶的总时间t=5h，并非5.2，D选项错误，符合题意。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用、行程问题
【点评】
本题将一次函数图象与行程问题结合，重点考查从图象中提取信息并运用行程公式解题的能力，易错点在于计算乙车到达A地对应的总时间时，需考虑乙车晚出发1小时，避免直接用乙车行驶时间作为总时间，整体难度中等。
【难度系数】
0.6
要判断各选项的正误，需从函数图象中提取两车的出发时间、行驶路程等关键信息，结合行程问题的基本公式（速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）逐步推导：先通过出发时间判断选项A，再根据甲车全程行驶数据算速度判断选项B，接着通过相遇时的路程算出乙车速度，进而确定乙车到达A地的总时间判断选项D，最后验证乙到达时甲车距B地的距离判断选项C，最终找出错误选项。
【解析】
1. 分析选项A：由图象可知，甲车在x=0时出发，乙车在x=1时出发，因此甲车比乙车提前出发1h，A选项正确，不符合题意；
2. 分析选项B：甲车行驶全程480km用时6h，根据速度公式，甲车速度为$480÷6=80(\mathrm{km/h})$，B选项正确，不符合题意；
3. 分析选项C：甲、乙两车相遇时，离B地的距离均为240km，即各行驶了240km。甲车行驶240km用时$240÷80=3(\mathrm{h})$，则乙车行驶240km用时$3-1=2(\mathrm{h})$，乙车速度为$240÷2=120(\mathrm{km/h})$。乙车到达A地需行驶480km，用时$480÷120=4(\mathrm{h})$，此时甲车已行驶的总时间为$1+4=5(\mathrm{h})$，甲车距离B地的距离为$(6-5)×80=80(\mathrm{km})$，C选项正确，不符合题意；
4. 分析选项D：由上述计算，乙车到达A地时，甲车行驶的总时间t=5h，并非5.2，D选项错误，符合题意。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用、行程问题
【点评】
本题将一次函数图象与行程问题结合，重点考查从图象中提取信息并运用行程公式解题的能力，易错点在于计算乙车到达A地对应的总时间时，需考虑乙车晚出发1小时，避免直接用乙车行驶时间作为总时间，整体难度中等。
【难度系数】
0.6
9. 如图,将四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 $ABCD$ 和 $EFGH$. 连接 $EG,BD$ 交于点 $O,BD$ 与 $HC$ 相交于点 $P$. 若 $GO = GP$,则 $\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ EFG}}$ 的值是(
A.$1 + \sqrt{2}$
B.$2 + \sqrt{2}$
C.$5 - \sqrt{2}$
D.$\dfrac{15}{4}$
B
).A.$1 + \sqrt{2}$
B.$2 + \sqrt{2}$
C.$5 - \sqrt{2}$
D.$\dfrac{15}{4}$
答案
9. B 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理及直角三角形的性质,掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠DBC = 45°, AB = BC$. $\because$ 四边形 $EFGH$ 为正方形,$\therefore ∠EGH = 45°, ∠FGH = 90°, EG = 2OG$. $\because OG = GP, \therefore ∠GOP = ∠OPG = 67.5°, \therefore ∠PBG = 90° - ∠OPG = 22.5°, \therefore ∠GBC = ∠DBC - ∠PBG = 22.5°, \therefore ∠PBG = ∠GBC$. 在$△ BPG$ 和$△ BCG$ 中,$\because ∠PBG = ∠GBC, BG = BG, ∠BGP = ∠BGC = 90°, \therefore △ BPG≌△ BCG(\mathrm{ASA}), \therefore PG = CG$. 设 $OG = PG = CG = x$,则 $EG = 2x, \therefore FG = \sqrt{2}x$. $\because$ 将四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,$\therefore BF = CG = x, \therefore BG = BF + FG = x + \sqrt{2}x, \therefore AB^2 = BC^2 = BG^2 + CG^2 = (x + \sqrt{2}x)^2 + x^2 = (4 + 2\sqrt{2})x^2, \therefore \dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ EFG}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AB^2}{\dfrac{1}{2}FG^2} = \dfrac{(4 + 2\sqrt{2})x^2}{(\sqrt{2}x)^2} = 2 + \sqrt{2}$. 故选 B.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠DBC = 45°, AB = BC$. $\because$ 四边形 $EFGH$ 为正方形,$\therefore ∠EGH = 45°, ∠FGH = 90°, EG = 2OG$. $\because OG = GP, \therefore ∠GOP = ∠OPG = 67.5°, \therefore ∠PBG = 90° - ∠OPG = 22.5°, \therefore ∠GBC = ∠DBC - ∠PBG = 22.5°, \therefore ∠PBG = ∠GBC$. 在$△ BPG$ 和$△ BCG$ 中,$\because ∠PBG = ∠GBC, BG = BG, ∠BGP = ∠BGC = 90°, \therefore △ BPG≌△ BCG(\mathrm{ASA}), \therefore PG = CG$. 设 $OG = PG = CG = x$,则 $EG = 2x, \therefore FG = \sqrt{2}x$. $\because$ 将四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,$\therefore BF = CG = x, \therefore BG = BF + FG = x + \sqrt{2}x, \therefore AB^2 = BC^2 = BG^2 + CG^2 = (x + \sqrt{2}x)^2 + x^2 = (4 + 2\sqrt{2})x^2, \therefore \dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ EFG}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AB^2}{\dfrac{1}{2}FG^2} = \dfrac{(4 + 2\sqrt{2})x^2}{(\sqrt{2}x)^2} = 2 + \sqrt{2}$. 故选 B.
解析
【分析】
本题是赵爽弦图相关的几何计算问题，解题思路为：先利用正方形的性质推导角度关系，结合已知GO=GP的条件，通过等腰三角形性质求出相关角度，再证明三角形全等得到边的等量关系，设未知数表示各边长度，最后根据三角形和正方形的面积公式计算面积比值。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，AB=BC；
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EGH=45°，EG=2OG；
已知GO=GP，
∴△GOP为等腰三角形，∠GOP=∠OPG=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠PBG=90°-∠OPG=22.5°，则∠GBC=∠DBC-∠PBG=45°-22.5°=22.5°，故∠PBG=∠GBC；
在△BPG和△BCG中：
$\{\begin{array}{l}∠PBG=∠GBC \\ BG=BG \\ ∠BGP=∠BGC=90°\end{array} $
∴△BPG≌△BCG（ASA），得PG=CG；
设OG=PG=CG=x，则EG=2x，正方形EFGH的边长$FG=\sqrt{EG^2÷2}=\sqrt{2}x$；
由赵爽弦图性质，BF=CG=x，故BG=BF+FG=x+$\sqrt{2}x$；
在Rt△BCG中，$BC^2=BG^2+CG^2=(x+\sqrt{2}x)^2+x^2=(4+2\sqrt{2})x^2$；
△ABD的面积$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2}BC^2$，△EFG的面积$S_{△EFG}=\frac{1}{2}FG^2$；
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△EFG}}=\frac{\frac{1}{2}(4+2\sqrt{2})x^2}{\frac{1}{2}(\sqrt{2}x)^2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，综合考查多个几何知识点，需要通过角度推导、全等证明和边的关系转化解决问题，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题是赵爽弦图相关的几何计算问题，解题思路为：先利用正方形的性质推导角度关系，结合已知GO=GP的条件，通过等腰三角形性质求出相关角度，再证明三角形全等得到边的等量关系，设未知数表示各边长度，最后根据三角形和正方形的面积公式计算面积比值。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，AB=BC；
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EGH=45°，EG=2OG；
已知GO=GP，
∴△GOP为等腰三角形，∠GOP=∠OPG=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠PBG=90°-∠OPG=22.5°，则∠GBC=∠DBC-∠PBG=45°-22.5°=22.5°，故∠PBG=∠GBC；
在△BPG和△BCG中：
$\{\begin{array}{l}∠PBG=∠GBC \\ BG=BG \\ ∠BGP=∠BGC=90°\end{array} $
∴△BPG≌△BCG（ASA），得PG=CG；
设OG=PG=CG=x，则EG=2x，正方形EFGH的边长$FG=\sqrt{EG^2÷2}=\sqrt{2}x$；
由赵爽弦图性质，BF=CG=x，故BG=BF+FG=x+$\sqrt{2}x$；
在Rt△BCG中，$BC^2=BG^2+CG^2=(x+\sqrt{2}x)^2+x^2=(4+2\sqrt{2})x^2$；
△ABD的面积$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2}BC^2$，△EFG的面积$S_{△EFG}=\frac{1}{2}FG^2$；
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△EFG}}=\frac{\frac{1}{2}(4+2\sqrt{2})x^2}{\frac{1}{2}(\sqrt{2}x)^2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，综合考查多个几何知识点，需要通过角度推导、全等证明和边的关系转化解决问题，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为$A(0,1),B(0,2)$,线段$CD$(点$D$在点$C$右侧)在$x$轴上移动,且$CD=1$,连接$AC,BD$,则$AC+BD$的最小值为(
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{10}$
C.$3$
D.$2\sqrt{2}$
B
).A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{10}$
C.$3$
D.$2\sqrt{2}$
答案
10. B 【点拨】本题考查轴对称的性质、平移的性质及两点之间的距离公式,正确添加辅助线是解题的关键.
【解析】如图,平移 $CD$ 使点 $D$ 落在点 $B$处,点 $C$ 落在点 $B'$处,连接 $B'C$,则 $B' C = BD$. $\because CD = 1, B (0, 2), \therefore B'(-1,2)$. 作点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点$A'$,连接 $A'B',A'C$,则 $AC + BD = A'C + B'C ≥ A'B', \therefore$ 当 $A',C,B'$三点共线时,$AC + BD$ 的值最小,最小值为线段 $A'B'$ 的长. $\because A (0,1), \therefore A'(0,-1), \therefore A'B' = \sqrt{1^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{10}, \therefore AC + BD$ 的最小值为$\sqrt{10}$. 故选 B.
解析
【分析】
要解决AC+BD的最小值问题，需利用平移和轴对称转化线段：由于CD长度固定为1，先通过平移将BD转化为与AC相关的线段，再利用轴对称将AC转化为对称线段，最终将两条线段的和转化为两点间的距离，根据“两点之间线段最短”求最小值。
【解析】
1. 平移转化线段：因为CD=1，将点B向左平移1个单位，得到点B'，则B'(-1,2)，由平移性质可知BD=B'C，因此AC+BD=AC+B'C。
2. 轴对称转化线段：作点A关于x轴的对称点A'，已知A(0,1)，则A'(0,-1)，由轴对称性质可知AC=A'C，因此AC+B'C=A'C+B'C。
3. 求最小值：根据“两点之间线段最短”，当A'、C、B'三点共线时，A'C+B'C的值最小，最小值为线段A'B'的长度。
4. 计算长度：A'(0,-1)，B'(-1,2)，由两点间距离公式得：
A'B' = √[(0 - (-1))² + (-1 - 2)²] = √(1² + (-3)²) = √10，
故AC+BD的最小值为√10。
【答案】
B
【知识点】
轴对称性质、平移性质、两点间距离公式
【点评】
本题属于线段和的最值问题，核心是通过平移和轴对称转化动线段，将两条线段的和转化为固定两点间的距离，关键在于合理添加辅助线实现线段转化，考查学生的几何转化思想。
【难度系数】
0.5
要解决AC+BD的最小值问题，需利用平移和轴对称转化线段：由于CD长度固定为1，先通过平移将BD转化为与AC相关的线段，再利用轴对称将AC转化为对称线段，最终将两条线段的和转化为两点间的距离，根据“两点之间线段最短”求最小值。
【解析】
1. 平移转化线段：因为CD=1，将点B向左平移1个单位，得到点B'，则B'(-1,2)，由平移性质可知BD=B'C，因此AC+BD=AC+B'C。
2. 轴对称转化线段：作点A关于x轴的对称点A'，已知A(0,1)，则A'(0,-1)，由轴对称性质可知AC=A'C，因此AC+B'C=A'C+B'C。
3. 求最小值：根据“两点之间线段最短”，当A'、C、B'三点共线时，A'C+B'C的值最小，最小值为线段A'B'的长度。
4. 计算长度：A'(0,-1)，B'(-1,2)，由两点间距离公式得：
A'B' = √[(0 - (-1))² + (-1 - 2)²] = √(1² + (-3)²) = √10，
故AC+BD的最小值为√10。
【答案】
B
【知识点】
轴对称性质、平移性质、两点间距离公式
【点评】
本题属于线段和的最值问题，核心是通过平移和轴对称转化动线段，将两条线段的和转化为固定两点间的距离，关键在于合理添加辅助线实现线段转化，考查学生的几何转化思想。
【难度系数】
0.5
12. 学校规定,学生的学期体育成绩满分为100分,其中课间操占20%,期中考试占30%,期末考试占50%.小明三项成绩分别是90分、95分、90分.小明这学期的体育成绩是
91.5分
. A E D答案
12. 91.5分 【点拨】本题考查加权平均数,将各项成绩乘对应的权重再求和是解题的关键.
【解析】小明这学期的体育成绩是 $90 × 20\% + 95 × 30\% + 90 × 50\% = 91.5$(分). 故答案为91.5分.
【解析】小明这学期的体育成绩是 $90 × 20\% + 95 × 30\% + 90 × 50\% = 91.5$(分). 故答案为91.5分.
解析
【分析】本题要求计算小明的学期体育成绩，已知各项成绩对应不同的权重（课间操占20%、期中考试占30%、期末考试占50%），属于加权平均数的实际应用。解题思路是：将每一项成绩乘以其对应的权重，再把所得的积相加，即可得到最终的体育成绩。
【解析】根据加权平均数的计算规则，代入各项成绩和对应权重计算：
小明的体育成绩 = 90×20% + 95×30% + 90×50%
= 18 + 28.5 + 45
= 91.5（分）
【答案】91.5分
【知识点】加权平均数
【点评】本题结合校园体育成绩评定的实际场景，考查加权平均数的基本应用，核心是掌握“成绩×权重求和”的计算方法，题目难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】根据加权平均数的计算规则，代入各项成绩和对应权重计算：
小明的体育成绩 = 90×20% + 95×30% + 90×50%
= 18 + 28.5 + 45
= 91.5（分）
【答案】91.5分
【知识点】加权平均数
【点评】本题结合校园体育成绩评定的实际场景，考查加权平均数的基本应用，核心是掌握“成绩×权重求和”的计算方法，题目难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
13. 若函数$y=(k+1)x+k^2 -1$是正比例函数，则$k$的值为________.
答案
13. 1 【点拨】本题考查正比例函数的定义,掌握正比例函数解析式的特点是解题的关键.
【解析】由题意,得 $k^2 - 1 = 0$ 且 $k + 1 ≠ 0$,解得 $k = 1$. 故答案为 1.
【解析】由题意,得 $k^2 - 1 = 0$ 且 $k + 1 ≠ 0$,解得 $k = 1$. 故答案为 1.
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其特点是常数项为0，且一次项系数不为0。因此，对于给定函数$y=(k+1)x +k^2 -1$，需同时满足常数项为0、一次项系数不为0这两个条件，据此求解$k$的值。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得：
1. 常数项为0：$k^2 -1 = 0$，解得$k=1$或$k=-1$；
2. 一次项系数不为0：$k +1 ≠0$，即$k≠-1$。
结合两个条件，舍去$k=-1$，因此$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题考查正比例函数的定义，属于基础题，解题关键是牢记正比例函数解析式的特点，尤其要注意一次项系数不能为0，避免因忽略该条件而出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其特点是常数项为0，且一次项系数不为0。因此，对于给定函数$y=(k+1)x +k^2 -1$，需同时满足常数项为0、一次项系数不为0这两个条件，据此求解$k$的值。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得：
1. 常数项为0：$k^2 -1 = 0$，解得$k=1$或$k=-1$；
2. 一次项系数不为0：$k +1 ≠0$，即$k≠-1$。
结合两个条件，舍去$k=-1$，因此$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题考查正比例函数的定义，属于基础题，解题关键是牢记正比例函数解析式的特点，尤其要注意一次项系数不能为0，避免因忽略该条件而出错。
【难度系数】
0.8
14. 如图,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将正方形ABCD沿BE翻折,使得点A落于点F处,延长EF交CD于点G,正方形ABCD的边长为12,E是AD的中点,则$CG=\underline{\hspace{3em}}$.
答案
14. 4 【点拨】本题考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理,掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB = BC = AD = CD = 12, ∠A = ∠ABC = ∠C = ∠D = 90°$. $\because E$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AE = DE = 6$. 由折叠的性质,得 $BF = AB = BC = 12, EF = AE = 6, ∠BFE = ∠A = 90°$. $\because ∠BFE + ∠BFG = 180°, \therefore ∠BFG = 90°, \therefore ∠C = ∠BFG = 90°$. 在Rt$△ BFG$ 和 Rt$△ BCG$ 中,$\because BG = BG, BF = BC, \therefore \mathrm{Rt}△ BFG ≌ \mathrm{Rt}△ BCG(\mathrm{HL}), \therefore FG = CG$. 设 $FG = CG = x$,则 $DG = 12 - x, EG = 6 + x$. 在 Rt$△ DEG$ 中,由勾股定理,得 $EG^2 = DE^2 + DG^2$,即$(6 + x)^2 = 6^2 + (12 - x)^2$,解得 $x = 4, \therefore CG = 4$. 故答案为 4.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB = BC = AD = CD = 12, ∠A = ∠ABC = ∠C = ∠D = 90°$. $\because E$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AE = DE = 6$. 由折叠的性质,得 $BF = AB = BC = 12, EF = AE = 6, ∠BFE = ∠A = 90°$. $\because ∠BFE + ∠BFG = 180°, \therefore ∠BFG = 90°, \therefore ∠C = ∠BFG = 90°$. 在Rt$△ BFG$ 和 Rt$△ BCG$ 中,$\because BG = BG, BF = BC, \therefore \mathrm{Rt}△ BFG ≌ \mathrm{Rt}△ BCG(\mathrm{HL}), \therefore FG = CG$. 设 $FG = CG = x$,则 $DG = 12 - x, EG = 6 + x$. 在 Rt$△ DEG$ 中,由勾股定理,得 $EG^2 = DE^2 + DG^2$,即$(6 + x)^2 = 6^2 + (12 - x)^2$,解得 $x = 4, \therefore CG = 4$. 故答案为 4.
解析
【分析】
本题为正方形折叠类几何计算题，解题思路如下：首先利用正方形的性质得到边和角的基本关系；再根据折叠的性质，得到对应边、对应角相等，进而证明两个直角三角形全等，推导出线段相等的关系；最后通过设未知数，在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解得到CG的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=CD=12，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°。
∵E是AD的中点，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=6。
由折叠的性质可知：BF=AB=12，EF=AE=6，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=180°-∠BFE=90°，即∠BFG=∠C=90°。
在Rt△BFG和Rt△BCG中，
$\{\begin{array}{l} BG=BG \\ BF=BC \end{array} $
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG=CG。
设FG=CG=x，则DG=CD-CG=12-x，EG=EF+FG=6+x。
在Rt△DEG中，由勾股定理得：
EG²=DE²+DG²，
即$(6+x)^2=6^2+(12-x)^2$，
展开得：$36+12x+x^2=36+144-24x+x^2$，
消去同类项后解得：$36x=144$，即$x=4$，
∴CG=4。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题综合运用正方形、折叠的性质，结合全等三角形判定与勾股定理求解，关键是通过折叠和全等得到线段相等关系，再列方程计算，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题为正方形折叠类几何计算题，解题思路如下：首先利用正方形的性质得到边和角的基本关系；再根据折叠的性质，得到对应边、对应角相等，进而证明两个直角三角形全等，推导出线段相等的关系；最后通过设未知数，在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解得到CG的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=CD=12，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°。
∵E是AD的中点，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=6。
由折叠的性质可知：BF=AB=12，EF=AE=6，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=180°-∠BFE=90°，即∠BFG=∠C=90°。
在Rt△BFG和Rt△BCG中，
$\{\begin{array}{l} BG=BG \\ BF=BC \end{array} $
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG=CG。
设FG=CG=x，则DG=CD-CG=12-x，EG=EF+FG=6+x。
在Rt△DEG中，由勾股定理得：
EG²=DE²+DG²，
即$(6+x)^2=6^2+(12-x)^2$，
展开得：$36+12x+x^2=36+144-24x+x^2$，
消去同类项后解得：$36x=144$，即$x=4$，
∴CG=4。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题综合运用正方形、折叠的性质，结合全等三角形判定与勾股定理求解，关键是通过折叠和全等得到线段相等关系，再列方程计算，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5
