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趋势一 项目化学习
★温馨提示:题号前带有
| 项目主题 | 设计躺椅 |
| --- | --- |
| 设计背景 | 如图1,某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅,可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托,使舒适感得到最大化,且该椅子的椅面始终与地面保持平行。
图1 |
| 素材 | 如图2,已知在初始状态下,椅面BC平行于地面GH,腿托CD垂直于椅面BC,椅面BC与椅背AB所构成的$∠ ABC=100°$,此椅子可以通过开关分别调整椅背AB与腿托CD的角度,以达到舒适程度。已知在调整过程中,椅背AB以每秒$2°$顺时针转动,腿托CD以每秒$4°$顺时针转动。
图2 |
| 任务一 | 如图3,在初始状态下仅调整腿托,使得腿托CD与椅背AB平行,请你在图3中画出此时腿托CD所在的直线,并求出腿托CD与椅面BC所形成的$∠ BCD$的度数。
|
| 任务二 | 如图4,在初始状态下仅调整椅背,将椅背AB转动6s,连结AH,此时测得$∠ BAH=18°$,求$∠ AHG$的度数。
|
| 任务三 | 如图5,在初始状态下同时调整腿托与椅背,根据人体工学原理,当腿托CD与椅背AB平行时,舒适度更佳,则将椅子调整到该状态下,需要多长时间?
备用图 |
拆解剖析
浙江期末·七年级数学(下册)·浙教版 10 — 1
解:任务一:画图如图1,因为$CD// AB$,所以$∠ BCD=∠ ABC=100°$。
任务二:如图2,过点A作$AM// BC$,因为$BC// HG$,所以$AM// BC// HG$,所以$∠ BAM=∠ ABC$,$∠ AHG=∠ MAH$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH$,由题意,得$∠ ABC=100°+6×2°=112°$,因为$∠ BAH=18°$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH=112°-18°=94°$。
任务三:设需要$t\ \mathrm{s}$,当$CD// AB$时,$∠ ABC=∠ BCD$,所以$100°+2° t=90°+4° t$,解得$t=5$。答:需要$5\ \mathrm{s}$。
练习
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| 项目主题 | 设计躺椅 |
| --- | --- |
| 设计背景 | 如图1,某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅,可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托,使舒适感得到最大化,且该椅子的椅面始终与地面保持平行。
图1 |
| 素材 | 如图2,已知在初始状态下,椅面BC平行于地面GH,腿托CD垂直于椅面BC,椅面BC与椅背AB所构成的$∠ ABC=100°$,此椅子可以通过开关分别调整椅背AB与腿托CD的角度,以达到舒适程度。已知在调整过程中,椅背AB以每秒$2°$顺时针转动,腿托CD以每秒$4°$顺时针转动。
图2 |
| 任务一 | 如图3,在初始状态下仅调整腿托,使得腿托CD与椅背AB平行,请你在图3中画出此时腿托CD所在的直线,并求出腿托CD与椅面BC所形成的$∠ BCD$的度数。
|| 任务二 | 如图4,在初始状态下仅调整椅背,将椅背AB转动6s,连结AH,此时测得$∠ BAH=18°$,求$∠ AHG$的度数。
|| 任务三 | 如图5,在初始状态下同时调整腿托与椅背,根据人体工学原理,当腿托CD与椅背AB平行时,舒适度更佳,则将椅子调整到该状态下,需要多长时间?
备用图 |
拆解剖析
浙江期末·七年级数学(下册)·浙教版 10 — 1
解:任务一:画图如图1,因为$CD// AB$,所以$∠ BCD=∠ ABC=100°$。
任务二:如图2,过点A作$AM// BC$,因为$BC// HG$,所以$AM// BC// HG$,所以$∠ BAM=∠ ABC$,$∠ AHG=∠ MAH$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH$,由题意,得$∠ ABC=100°+6×2°=112°$,因为$∠ BAH=18°$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH=112°-18°=94°$。
任务三:设需要$t\ \mathrm{s}$,当$CD// AB$时,$∠ ABC=∠ BCD$,所以$100°+2° t=90°+4° t$,解得$t=5$。答:需要$5\ \mathrm{s}$。
练习
答案
任务一:画图如图1,因为$CD// AB$,所以$∠ BCD=100°$。
任务二:如图2,过点A作$AM// BC$,因为$BC// HG$,所以$AM// BC// HG$,所以$∠ BAM=∠ ABC$,$∠ AHG=∠ MAH$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH$,由题意,得$∠ ABC=100°+6×2°=112°$,因为$∠ BAH=18°$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH=112°-18°=94°$。
任务三:设需要$t\ \mathrm{s}$,当$CD// AB$时,$∠ ABC=∠ BCD$,所以$100°+2° t=90°+4° t$,解得$t=5$。答:需要$5\ \mathrm{s}$。
任务二:如图2,过点A作$AM// BC$,因为$BC// HG$,所以$AM// BC// HG$,所以$∠ BAM=∠ ABC$,$∠ AHG=∠ MAH$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH$,由题意,得$∠ ABC=100°+6×2°=112°$,因为$∠ BAH=18°$,所以$∠ AHG=∠ ABC-∠ BAH=112°-18°=94°$。
任务三:设需要$t\ \mathrm{s}$,当$CD// AB$时,$∠ ABC=∠ BCD$,所以$100°+2° t=90°+4° t$,解得$t=5$。答:需要$5\ \mathrm{s}$。
解析
【分析】
本题是结合智能躺椅设计的几何角度计算问题，分三个任务逐步解决：
1. 任务一：利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等），结合CD与AB平行的条件，推导∠BCD与∠ABC的关系，同时画出符合平行要求的腿托直线。
2. 任务二：通过作辅助线AM平行于BC，利用平行线的传递性得到多组平行关系，再结合平行线内错角相等的性质，先计算椅背转动后的角度，再推导∠AHG的度数。
3. 任务三：设调整时间为t秒，根据CD与AB平行时的角度相等关系，结合两者的转动速度，建立一元一次方程求解时间。
【解析】
任务一：画图（按要求画出使CD//AB的直线即可）。因为CD//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠BCD=∠ABC=100°。
任务二：过点A作AM//BC，已知BC//HG，由平行线的传递性得AM//BC//HG。根据平行线内错角相等，得∠BAM=∠ABC，∠AHG=∠MAH，因此∠AHG=∠ABC - ∠BAH。椅背每秒转动2°，转动6s后，∠ABC=100°+6×2°=112°，又∠BAH=18°，所以∠AHG=112°-18°=94°。
任务三：设需要t秒。当CD//AB时，根据平行线性质得∠ABC=∠BCD。椅背转动t秒后，∠ABC=100°+2t；腿托初始垂直于BC，转动t秒后∠BCD=90°+4t。列方程：100+2t=90+4t，解得t=5。
【答案】
任务一：∠BCD=100°；任务二：∠AHG=94°；任务三：需要5s。
【知识点】
平行线的性质、一元一次方程的应用、角度计算
【点评】
本题以智能躺椅设计为背景，将几何知识与实际生活结合，考察平行线性质的应用及一元一次方程的建立，需要学生结合题意分析角度关系，合理运用定理解决问题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是结合智能躺椅设计的几何角度计算问题，分三个任务逐步解决：
1. 任务一：利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等），结合CD与AB平行的条件，推导∠BCD与∠ABC的关系，同时画出符合平行要求的腿托直线。
2. 任务二：通过作辅助线AM平行于BC，利用平行线的传递性得到多组平行关系，再结合平行线内错角相等的性质，先计算椅背转动后的角度，再推导∠AHG的度数。
3. 任务三：设调整时间为t秒，根据CD与AB平行时的角度相等关系，结合两者的转动速度，建立一元一次方程求解时间。
【解析】
任务一：画图（按要求画出使CD//AB的直线即可）。因为CD//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠BCD=∠ABC=100°。
任务二：过点A作AM//BC，已知BC//HG，由平行线的传递性得AM//BC//HG。根据平行线内错角相等，得∠BAM=∠ABC，∠AHG=∠MAH，因此∠AHG=∠ABC - ∠BAH。椅背每秒转动2°，转动6s后，∠ABC=100°+6×2°=112°，又∠BAH=18°，所以∠AHG=112°-18°=94°。
任务三：设需要t秒。当CD//AB时，根据平行线性质得∠ABC=∠BCD。椅背转动t秒后，∠ABC=100°+2t；腿托初始垂直于BC，转动t秒后∠BCD=90°+4t。列方程：100+2t=90+4t，解得t=5。
【答案】
任务一：∠BCD=100°；任务二：∠AHG=94°；任务三：需要5s。
【知识点】
平行线的性质、一元一次方程的应用、角度计算
【点评】
本题以智能躺椅设计为背景，将几何知识与实际生活结合，考察平行线性质的应用及一元一次方程的建立，需要学生结合题意分析角度关系，合理运用定理解决问题，难度适中。
【难度系数】
0.6
