22. (10分)(1) 如图7-4-14,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB = 90°,BC = m,将斜边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,过点D作DE ⊥ BC交CB的延长线于点E,连结CD.直接写出△BCD的面积: (用含m的代数式表示).

图7-4-14 图7-4-15
(2) 如图7-4-15,在一般的Rt△ABC中,∠ACB = 90°,BC = m,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD,用含m的代数式表示△BCD的面积,并说明理由.
(3) 如图7-4-16,在等腰三角形ABC中,AB = AC,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.
① 如果BC = 8,那么△BCD的面积为.
② 如果BC = m,那么△BCD的面积为(用含m的代数式表示).

图7-4-16

22. 解:(1) $\frac{1}{2}m^2$.
(2) 过点 $D$ 作 $DG ⊥ BC$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$.
$\because ∠ABD = 90°$,
$\therefore ∠ABC + ∠DBG = 90°$.
又 $∠ABC + ∠A = 90°$,
$\therefore ∠A = ∠DBG$.
在 $△ABC$ 和 $△BDG$ 中,
$\begin{cases}∠A = ∠DBG, \\∠ACB = ∠BGD, \\AB = BD,\end{cases}$
$\therefore △ABC ≌ △BDG (\mathrm{AAS})$.
$\therefore BC = DG = m$.
$\therefore S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC × DG = \frac{1}{2}m^2$.
(3) ① 16; ② $\frac{1}{4}m^2$.
提示:作 $AM ⊥ BC$,垂足为点 $M$,$DN ⊥ BC$ 交 $CB$ 的延长线于点 $N$. 仿照(2) 证 $△AMB ≌ △BND$,由此可求得 $△BCD$ 的面积.

23.(10分)在一节数学研究活动课上,老师出示了如下问题:
如图7-4-17,在等边三角形ABC中,点E在AB边上,点D在CB的延长线上,DE=CE,试确定线段AE与BD的大小关系.

图7-4-17
小明与同桌小聪讨论研究后,给出了如下解答过程:
(1)特殊情况,发现结论
如图7-4-18,当点E为AB边的中点时,根据等边三角形的性质,以及DE=CE,可推出线段AE与BD的大小关系是.

图7-4-18
(2)一般情况,探索方法
猜想:AE与BD的大小关系是.

图7-4-19
理由如下:
如图7-4-19,过点E作EF//BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展应用,解决问题
如图7-4-20,在等边三角形ABC中,AB=1,点E在AB的延长线上,AE=3,点D在CB的延长线上,DE=CE,求线段CD的长.

图7-4-20

23. (1) $AE = BD$. (2) $AE = BD$.
证明:在 $△ABC$ 中,$AB = BC = AC$,
$\therefore ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°$.
$\because EF // BC$,
$\therefore ∠CEF = ∠ECD$, $∠AEF = ∠ABC$,
$∠AFE = ∠ACB$.
$\therefore ∠AEF = ∠AFE = ∠BAC = 60°$.
$\therefore AE = AF = EF$.
$\therefore ∠EBD = ∠CFE = 120°$.
$\because DE = CE$,
$\therefore ∠D = ∠ECD = ∠CEF$.
在 $△DBE$ 和 $△EFC$ 中,
$\begin{cases}∠D = ∠CEF, \\∠EBD = ∠CFE, \\DE = CE,\end{cases}$
$\therefore △DBE ≌ △EFC (\mathrm{AAS})$.
$\therefore BD = EF$. $\therefore AE = BD$.
(3) $CD = 4$. 提示:如图所示,过点 $E$ 作 $EF // BC$,交 $AC$ 的延长线于点 $F$.
$\because AB = AC = BC = 1$,
$\therefore ∠A = ∠1 = ∠ACB = 60°$.
$\because EF // BC$,
$\therefore ∠2 = ∠3$, $∠F = ∠ACB = 60°$,
$∠AEF = ∠1 = 60°$.
$\therefore EF = AF = AE = 3$.
$\because DE = CE$, $\therefore ∠D = ∠2 = ∠3$.
在 $△DBE$ 和 $△EFC$ 中,
$\begin{cases}∠D = ∠3, \\∠DBE = ∠F, \\DE = CE,\end{cases}$
$\therefore △DBE ≌ △EFC (\mathrm{AAS})$.
$\therefore BD = EF = 3$.
$\therefore CD = BD + BC = 4$.