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1. 下列计算正确的有 （
①$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-9}=6$；
②$\sqrt{(-4)×(-9)}=-\sqrt{4}×\sqrt{9}=-6$；
③$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{4}×\sqrt{9}=6$；
④$\sqrt{5^2 -4^2}=\sqrt{5+4}×\sqrt{5-4}=3$；
⑤$\sqrt{5^2 -4^2}=\sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}=1$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-9}=6$；
②$\sqrt{(-4)×(-9)}=-\sqrt{4}×\sqrt{9}=-6$；
③$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{4}×\sqrt{9}=6$；
④$\sqrt{5^2 -4^2}=\sqrt{5+4}×\sqrt{5-4}=3$；
⑤$\sqrt{5^2 -4^2}=\sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}=1$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
2. 化简：
(1) $\sqrt{16 × \dfrac{25}{49}}$；
(2) $-\sqrt{(-5)^2 × 3}$；
(3) $\sqrt{(-8)^2 × (-9)^2 × 5}$；
(4) $\sqrt{47^2 × 6^2 - 47^2 × 3^2}$。
(1) $\sqrt{16 × \dfrac{25}{49}}$；
(2) $-\sqrt{(-5)^2 × 3}$；
(3) $\sqrt{(-8)^2 × (-9)^2 × 5}$；
(4) $\sqrt{47^2 × 6^2 - 47^2 × 3^2}$。
答案
【解】(1)原式$=\sqrt{4^2 × (\dfrac{5}{7})^2}=4×\dfrac{5}{7}=\dfrac{20}{7}$.
(2)原式$=-\sqrt{5^2 × 3}=-5\sqrt{3}$.
(3)原式$=\sqrt{8^2 × 9^2 × 5}=72\sqrt{5}$.
(4)原式$=\sqrt{47^2 × (6^2 - 3^2)} = 47 \sqrt{(6+3)×(6-3)} = 47 \sqrt{9×3}=47×3\sqrt{3}=141\sqrt{3}$.
(2)原式$=-\sqrt{5^2 × 3}=-5\sqrt{3}$.
(3)原式$=\sqrt{8^2 × 9^2 × 5}=72\sqrt{5}$.
(4)原式$=\sqrt{47^2 × (6^2 - 3^2)} = 47 \sqrt{(6+3)×(6-3)} = 47 \sqrt{9×3}=47×3\sqrt{3}=141\sqrt{3}$.
3. 母题 教材P₁₂习题T₃ 已知三角形的一边长为$\sqrt{42}$ cm，这边上的高为$\sqrt{30}$ cm，则这个三角形的面积是
$3\sqrt{35}$
cm²。答案
$3\sqrt{35}$
4.若$\sqrt{a}=m,\sqrt{b}=n$,则$\sqrt{100ab}=$
$10mn$
.(用含$m,n$的代数式表示)答案
10mn 【点拨】$\because \sqrt{a}=m,\sqrt{b}=n,\therefore \sqrt{100ab}=10\sqrt{a} · \sqrt{b}=10mn$.
5. 新趋势 学科内综合 已知一次函数$y=ax+b$的图象如图所示，则$\sqrt{-20a^2b}$的值为（
A.$2a\sqrt{5b}$
B.$2a\sqrt{-5b}$
C.$-2a\sqrt{-5b}$
D.$-2a\sqrt{5b}$
C
）A.$2a\sqrt{5b}$
B.$2a\sqrt{-5b}$
C.$-2a\sqrt{-5b}$
D.$-2a\sqrt{5b}$
答案
5.C
6. (1)已知$m$为正整数，若$\sqrt{189m}$是整数，则$m$的最小值为________；
(2)设$n$为正整数，若$y=\sqrt{\frac{200}{n}}$，$y$是大于1的整数，则$y$的最大值与$y$的最小值的差为________。
(2)设$n$为正整数，若$y=\sqrt{\frac{200}{n}}$，$y$是大于1的整数，则$y$的最大值与$y$的最小值的差为________。
答案
(1)21 (2)8 【点拨】(1)$\because \sqrt{189m} = \sqrt{3×3×21m} = 3\sqrt{21m}$,$m$为正整数,$\sqrt{189m}$是整数,$\therefore m$的最小值为21.
(2)$\because y=\sqrt{\dfrac{200}{n}}=10\sqrt{\dfrac{2}{n}}$,$n$为正整数,$y$是大于1的整数
$\therefore$ 当$n=2$时,$y_{\mathrm{max}}=10\sqrt{\dfrac{2}{2}}=10$;当$n=50$时,$y_{\mathrm{min}}=\sqrt{\dfrac{200}{50}}=2$.$\therefore y$的最大值与$y$的最小值的差为$10-2=8$.
(2)$\because y=\sqrt{\dfrac{200}{n}}=10\sqrt{\dfrac{2}{n}}$,$n$为正整数,$y$是大于1的整数
$\therefore$ 当$n=2$时,$y_{\mathrm{max}}=10\sqrt{\dfrac{2}{2}}=10$;当$n=50$时,$y_{\mathrm{min}}=\sqrt{\dfrac{200}{50}}=2$.$\therefore y$的最大值与$y$的最小值的差为$10-2=8$.
7. 新考法 归纳法 观察下列等式：
①$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$；②$\sqrt{4-\frac{4}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
③$\sqrt{9-\frac{9}{4}}=3\sqrt{\frac{3}{4}}$；④$\sqrt{16-\frac{16}{5}}=4\sqrt{\frac{4}{5}}$；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第⑥个等式：$\underline{\hspace{6cm}}$；
(2)计算：$\sqrt{361-\frac{361}{20}} × \sqrt{400-\frac{400}{21}} × \sqrt{42} = \underline{\hspace{6cm}}$；
(3)写出你猜想的第$\textcircled{n}$($n$为正整数)个等式，并证明其正确性(用含$n$的式子表示)。
①$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$；②$\sqrt{4-\frac{4}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
③$\sqrt{9-\frac{9}{4}}=3\sqrt{\frac{3}{4}}$；④$\sqrt{16-\frac{16}{5}}=4\sqrt{\frac{4}{5}}$；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第⑥个等式：$\underline{\hspace{6cm}}$；
(2)计算：$\sqrt{361-\frac{361}{20}} × \sqrt{400-\frac{400}{21}} × \sqrt{42} = \underline{\hspace{6cm}}$；
(3)写出你猜想的第$\textcircled{n}$($n$为正整数)个等式，并证明其正确性(用含$n$的式子表示)。
答案
【解】(1)$\sqrt{36-\dfrac{36}{7}}=6\sqrt{\dfrac{6}{7}}$
(2)$380\sqrt{38}$ 【点拨】原式$=19\sqrt{\dfrac{19}{20}}×20\sqrt{\dfrac{20}{21}}×\sqrt{42}=19×20\sqrt{\dfrac{19}{20}×\dfrac{20}{21}×42}=380\sqrt{38}$.
(3)第$n$个等式为$\sqrt{n^2-\dfrac{n^2}{n+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$($n$为正整数).
证明:$\sqrt{n^2-\dfrac{n^2}{n+1}}=\sqrt{n^2(1-\dfrac{1}{n+1})}=\sqrt{n^2} · \sqrt{\dfrac{n+1-1}{n+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$.
(2)$380\sqrt{38}$ 【点拨】原式$=19\sqrt{\dfrac{19}{20}}×20\sqrt{\dfrac{20}{21}}×\sqrt{42}=19×20\sqrt{\dfrac{19}{20}×\dfrac{20}{21}×42}=380\sqrt{38}$.
(3)第$n$个等式为$\sqrt{n^2-\dfrac{n^2}{n+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$($n$为正整数).
证明:$\sqrt{n^2-\dfrac{n^2}{n+1}}=\sqrt{n^2(1-\dfrac{1}{n+1})}=\sqrt{n^2} · \sqrt{\dfrac{n+1-1}{n+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}$.
8. 我们知道,任意一个二次根式$\sqrt{n}$(n为正整数)都可以进行这样的分解:$\sqrt{n}=\sqrt{p}·\sqrt{q}$(p,q是正整数,且$p≤ q$),在$\sqrt{n}$的所有这种分解中,如果$\sqrt{q}-\sqrt{p}$最小,我们就称$\sqrt{p}·\sqrt{q}$是$\sqrt{n}$的最佳分解,并规定:$F(n)=\frac{p}{q}$.例如$\sqrt{12}$可以分解成$\sqrt{1}×\sqrt{12},\sqrt{2}×\sqrt{6}$或$\sqrt{3}×\sqrt{4}$,显然$\sqrt{3}×\sqrt{4}$是$\sqrt{12}$的最佳分解,此时$F(12)=\frac{3}{4}$.
(1)$\sqrt{24}$的最佳分解为
(2)若正整数m,n满足$F(m)=1,F(n)=\frac{5}{6}$,且$35＜m+n＜40$,求$F(m+n)$的值.
(1)$\sqrt{24}$的最佳分解为
$\sqrt{4}×\sqrt{6}$
,F(24)=$\dfrac{2}{3}$
;(2)若正整数m,n满足$F(m)=1,F(n)=\frac{5}{6}$,且$35＜m+n＜40$,求$F(m+n)$的值.
答案
【解】(1)$\sqrt{4}×\sqrt{6}$ ; $\dfrac{2}{3}$
(2)$\because F(n)=\dfrac{5}{6}$,$\therefore$ 可设$\sqrt{n}=\sqrt{5k} · \sqrt{6k} = \sqrt{30k^2}$,其中$k$为正整数,$\therefore n=30k^2$.
$\because 35＜m+n＜40, \therefore n=30$.
$\because F(m)=1, \therefore m$是一个正整数的平方.
$\because 35＜m+n＜40, \therefore 5＜m＜10$,
$\therefore m=9, \therefore F(m+n)=F(39)=\dfrac{3}{13}$.
(2)$\because F(n)=\dfrac{5}{6}$,$\therefore$ 可设$\sqrt{n}=\sqrt{5k} · \sqrt{6k} = \sqrt{30k^2}$,其中$k$为正整数,$\therefore n=30k^2$.
$\because 35＜m+n＜40, \therefore n=30$.
$\because F(m)=1, \therefore m$是一个正整数的平方.
$\because 35＜m+n＜40, \therefore 5＜m＜10$,
$\therefore m=9, \therefore F(m+n)=F(39)=\dfrac{3}{13}$.
