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10.若$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，则$(a+b)^4 - (-cd)^3$的结果为 （
A.$-1$
B.$1$
C.$-1$或$2$
D.$2$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$-1$或$2$
D.$2$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先回忆相反数和倒数的核心性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1。我们先根据这两个性质求出$a+b$和$cd$的值，再代入待求代数式，按照有理数混合运算“先算乘方，再算加减”的顺序计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵$a,b$互为相反数
∴$a+b=0$
∵$c,d$互为倒数
∴$cd=1$
把$a+b=0$、$cd=1$代入$(a+b)^4 - (-cd)^3$得：
$\begin{aligned}原式&=0^4 - (-1)^3\\&=0 - (-1)\\&=0+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质、倒数的性质、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，只要牢记相反数、倒数的基本概念，掌握有理数乘方、加减的运算规则，注意符号计算不出错就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆相反数和倒数的核心性质：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1。我们先根据这两个性质求出$a+b$和$cd$的值，再代入待求代数式，按照有理数混合运算“先算乘方，再算加减”的顺序计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵$a,b$互为相反数
∴$a+b=0$
∵$c,d$互为倒数
∴$cd=1$
把$a+b=0$、$cd=1$代入$(a+b)^4 - (-cd)^3$得：
$\begin{aligned}原式&=0^4 - (-1)^3\\&=0 - (-1)\\&=0+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质、倒数的性质、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，只要牢记相反数、倒数的基本概念，掌握有理数乘方、加减的运算规则，注意符号计算不出错就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
11.(新定义)用“※”定义新运算:对于任意有理数a和b,都有$a※b = b^2 - ab$.例如,$1※3 = 3^2 -1×3=6$.根据新定义计算$(-2)※(-3)$的结果为 (
A.3
B.$-3$
C.6
D.$-6$
A
)A.3
B.$-3$
C.6
D.$-6$
答案
11.A
解析
【分析】
这是一道新定义运算题，解题首先要明确新运算的规则：$a※b$的计算结果等于第二个数$b$的平方减去第一个数$a$与第二个数$b$的乘积。计算$(-2)※(-3)$时，先确定对应参数：$a$对应$-2$，$b$对应$-3$，再将参数代入运算公式，最后按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘法，最后算减法）计算即可，计算时重点注意符号的处理。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b = b^2 - ab$，在$(-2)※(-3)$中，$a=-2$，$b=-3$，代入得：
$\begin{aligned}(-2)※(-3)&=(-3)^2 - (-2)×(-3)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
所以结果为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，有理数乘方运算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用，只要准确匹配新运算中对应的参数，严格遵循有理数运算的顺序和符号法则计算就能得到正确结果，运算时注意不要弄错乘方、乘法的符号。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算题，解题首先要明确新运算的规则：$a※b$的计算结果等于第二个数$b$的平方减去第一个数$a$与第二个数$b$的乘积。计算$(-2)※(-3)$时，先确定对应参数：$a$对应$-2$，$b$对应$-3$，再将参数代入运算公式，最后按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘法，最后算减法）计算即可，计算时重点注意符号的处理。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b = b^2 - ab$，在$(-2)※(-3)$中，$a=-2$，$b=-3$，代入得：
$\begin{aligned}(-2)※(-3)&=(-3)^2 - (-2)×(-3)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
所以结果为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，有理数乘方运算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用，只要准确匹配新运算中对应的参数，严格遵循有理数运算的顺序和符号法则计算就能得到正确结果，运算时注意不要弄错乘方、乘法的符号。
【难度系数】
0.8
12.(程序题)按图所示的程序进行计算，若第一次输入的数是20，而结果不大于100时，应把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到结果大于100为止，则最后输出的结果为
320
。答案
12.320
解析
【分析】
首先理清程序的运算逻辑：输入一个数x后，先计算x与$\left|-\frac{1}{2}\right|$的乘积，再将所得结果除以$-(\frac{1}{2})^2$，判断最终结果是否大于100，若大于则输出，否则将该结果作为新的输入值重复运算，直到结果大于100。我们可以先化简固定的运算部分，得到每次运算的结果为$-2x$，再从初始输入值20开始逐步计算即可。
【解析】
先化简运算公式：
∵ $\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$，$-(\frac{1}{2})^2=-\frac{1}{4}$
∴ 每次运算的结果为：$x × \frac{1}{2} ÷ (-\frac{1}{4}) = x × \frac{1}{2} × (-4) = -2x$
逐步计算：
1. 第一次输入$x=20$，运算结果$=-2×20=-40$，
∵ $-40\le100$，继续运算；
2. 第二次输入$x=-40$，运算结果$=-2×(-40)=80$，
∵ $80\le100$，继续运算；
3. 第三次输入$x=80$，运算结果$=-2×80=-160$，
∵ $-160\le100$，继续运算；
4. 第四次输入$x=-160$，运算结果$=-2×(-160)=320$，
∵ $320＞100$，停止运算。
【答案】
320
【知识点】
有理数混合运算，程序框图计算
【点评】
本题需要先明确程序的运算规则，先化简运算式能简化计算过程，计算时要注意符号的处理，同时要严格按照程序要求重复运算，直到结果满足输出条件，避免中途停算导致错误。
【难度系数】
0.6
首先理清程序的运算逻辑：输入一个数x后，先计算x与$\left|-\frac{1}{2}\right|$的乘积，再将所得结果除以$-(\frac{1}{2})^2$，判断最终结果是否大于100，若大于则输出，否则将该结果作为新的输入值重复运算，直到结果大于100。我们可以先化简固定的运算部分，得到每次运算的结果为$-2x$，再从初始输入值20开始逐步计算即可。
【解析】
先化简运算公式：
∵ $\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$，$-(\frac{1}{2})^2=-\frac{1}{4}$
∴ 每次运算的结果为：$x × \frac{1}{2} ÷ (-\frac{1}{4}) = x × \frac{1}{2} × (-4) = -2x$
逐步计算：
1. 第一次输入$x=20$，运算结果$=-2×20=-40$，
∵ $-40\le100$，继续运算；
2. 第二次输入$x=-40$，运算结果$=-2×(-40)=80$，
∵ $80\le100$，继续运算；
3. 第三次输入$x=80$，运算结果$=-2×80=-160$，
∵ $-160\le100$，继续运算；
4. 第四次输入$x=-160$，运算结果$=-2×(-160)=320$，
∵ $320＞100$，停止运算。
【答案】
320
【知识点】
有理数混合运算，程序框图计算
【点评】
本题需要先明确程序的运算规则，先化简运算式能简化计算过程，计算时要注意符号的处理，同时要严格按照程序要求重复运算，直到结果满足输出条件，避免中途停算导致错误。
【难度系数】
0.6
13.计算:
(1)$-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2];$
(2)$-4^3 ÷ (-32) - [ ( -\frac{2}{3} )^3 × (-3^2) + ( -\frac{11}{3} ) ].$
(1)$-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2];$
(2)$-4^3 ÷ (-32) - [ ( -\frac{2}{3} )^3 × (-3^2) + ( -\frac{11}{3} ) ].$
答案
(1)解:原式$=-1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×(-7)=-1+\frac{7}{6}=\frac{1}{6}.$
(2) 解:原式 $= - 64 ÷ (- 32) - [-\frac{8}{27}×(-9)-\frac{11}{3}]=2-(\frac{8}{3}-\frac{11}{3})=2-(-1)=3.$
(2) 解:原式 $= - 64 ÷ (- 32) - [-\frac{8}{27}×(-9)-\frac{11}{3}]=2-(\frac{8}{3}-\frac{11}{3})=2-(-1)=3.$
解析
【分析】
有理数混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，解题时要格外注意符号判断：负号在乘方外（如$-a^n$）时结果为负，底数带负号的乘方由指数奇偶性决定结果符号。
第(1)问先计算乘方，再依次算括号内运算、乘法，最后算加减即可；第(2)问先计算所有乘方项，再依次算括号内的乘法、加减，接着算除法，最后算括号外的加减即可。
【解析】
(1) 按运算顺序分步计算：
①计算乘方：$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$
②计算括号内运算：$1-0.5=\frac{1}{2}$，$2-9=-7$
③计算乘法：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×(-7)=-\frac{7}{6}$
④计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-1 - (-\frac{7}{6})\\&=-1+\frac{7}{6}\\&=\frac{1}{6}\end{aligned}$
(2) 按运算顺序分步计算：
①计算乘方：$-4^3=-64$，$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，$-3^2=-9$
②计算除法和括号内乘法：$-64÷(-32)=2$，$(-\frac{8}{27})×(-9)=\frac{8}{3}$
③计算括号内加减：$\frac{8}{3}-\frac{11}{3}=-1$
④去括号算加减：
$\begin{aligned}原式&=2 - (-1)\\&=2+1\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{6}$；(2)$3$
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算、去括号法则
【点评】
本题核心考察有理数混合运算的顺序和符号判定能力，易错点是混淆带负号乘方的结果符号、去括号时符号出错，计算时严格按运算顺序逐步推导，先确认符号再计算数值就能降低出错率。
【难度系数】
0.6
有理数混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，解题时要格外注意符号判断：负号在乘方外（如$-a^n$）时结果为负，底数带负号的乘方由指数奇偶性决定结果符号。
第(1)问先计算乘方，再依次算括号内运算、乘法，最后算加减即可；第(2)问先计算所有乘方项，再依次算括号内的乘法、加减，接着算除法，最后算括号外的加减即可。
【解析】
(1) 按运算顺序分步计算：
①计算乘方：$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$
②计算括号内运算：$1-0.5=\frac{1}{2}$，$2-9=-7$
③计算乘法：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×(-7)=-\frac{7}{6}$
④计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-1 - (-\frac{7}{6})\\&=-1+\frac{7}{6}\\&=\frac{1}{6}\end{aligned}$
(2) 按运算顺序分步计算：
①计算乘方：$-4^3=-64$，$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，$-3^2=-9$
②计算除法和括号内乘法：$-64÷(-32)=2$，$(-\frac{8}{27})×(-9)=\frac{8}{3}$
③计算括号内加减：$\frac{8}{3}-\frac{11}{3}=-1$
④去括号算加减：
$\begin{aligned}原式&=2 - (-1)\\&=2+1\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{6}$；(2)$3$
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算、去括号法则
【点评】
本题核心考察有理数混合运算的顺序和符号判定能力，易错点是混淆带负号乘方的结果符号、去括号时符号出错，计算时严格按运算顺序逐步推导，先确认符号再计算数值就能降低出错率。
【难度系数】
0.6
14.(教材第53页例4变式)观察下面三行数.
①$-3,9,-27,81,-243,···;$
②$0,12,-24,84,-240,···;$
③$-1,3,-9,27,-81,···.$
(1)第①行数是按什么规律排列的？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第6个数，求这三个数的和.
①$-3,9,-27,81,-243,···;$
②$0,12,-24,84,-240,···;$
③$-1,3,-9,27,-81,···.$
(1)第①行数是按什么规律排列的？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第6个数，求这三个数的和.
答案
(1)解:第①行数是按$-3,(-3)^2,(-3)^3,(-3)^4,(-3)^5,\dots$排列的.
(2)第②行数是第①行相应的数加3,第③行数是第①行相应的数的$\frac{1}{3}$.
(3)$(-3)^6+[(-3)^6+3]+(-3)^6×\frac{1}{3}=729+732+243=1704.$
(2)第②行数是第①行相应的数加3,第③行数是第①行相应的数的$\frac{1}{3}$.
(3)$(-3)^6+[(-3)^6+3]+(-3)^6×\frac{1}{3}=729+732+243=1704.$
解析
【分析】
（1）探究第①行的排列规律时，先分别观察数字的符号和绝对值特征：符号负、正交替出现，绝对值依次是3、9、27……均为3的正整数次幂，结合符号可推导出每个数是-3的n次方（n为正整数）的规律。
（2）探究第②、③行和第①行的关系时，只需对比每行相同位置的数，计算两数的差或商即可得出对应关系：第②行每个数比第①行同位置数大3，第③行每个数是第①行同位置数的$\frac{1}{3}$。
（3）先根据第①行的规律求出第6个数，再结合第②、③行和第①行的关系，分别求出这两行的第6个数，最后按照有理数混合运算的规则计算三个数的和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：第1个数为$-3=(-3)^1$，第2个数为$9=(-3)^2$，第3个数为$-27=(-3)^3$，第4个数为$81=(-3)^4$……以此类推，可总结出第①行数的排列规律。
(2) 对比相同位置的数：
第②行：$0=-3+3$，$12=9+3$，$-24=-27+3$……可得第②行数是第①行相应的数加3；
第③行：$-1=-3×\frac{1}{3}$，$3=9×\frac{1}{3}$，$-9=-27×\frac{1}{3}$……可得第③行数是第①行相应的数的$\frac{1}{3}$。
(3) 第①行第6个数为$(-3)^6=729$，则第②行第6个数为$729+3=732$，第③行第6个数为$729×\frac{1}{3}=243$，三个数的和为：
$(-3)^6+[(-3)^6+3]+(-3)^6×\frac{1}{3}=729+732+243=1704$
【答案】
(1) 第①行数是按$-3,(-3)^2,(-3)^3,(-3)^4,(-3)^5,\dots$排列的；
(2) 第②行数是第①行相应的数加3，第③行数是第①行相应的数的$\frac{1}{3}$；
(3) $\boxed{1704}$
【知识点】
数字规律探究、有理数乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，核心是先观察已知数列的符号、数值变化规律，再通过横向对比找到不同数列的关联，最后结合有理数运算规则求解，重点考察观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）探究第①行的排列规律时，先分别观察数字的符号和绝对值特征：符号负、正交替出现，绝对值依次是3、9、27……均为3的正整数次幂，结合符号可推导出每个数是-3的n次方（n为正整数）的规律。
（2）探究第②、③行和第①行的关系时，只需对比每行相同位置的数，计算两数的差或商即可得出对应关系：第②行每个数比第①行同位置数大3，第③行每个数是第①行同位置数的$\frac{1}{3}$。
（3）先根据第①行的规律求出第6个数，再结合第②、③行和第①行的关系，分别求出这两行的第6个数，最后按照有理数混合运算的规则计算三个数的和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：第1个数为$-3=(-3)^1$，第2个数为$9=(-3)^2$，第3个数为$-27=(-3)^3$，第4个数为$81=(-3)^4$……以此类推，可总结出第①行数的排列规律。
(2) 对比相同位置的数：
第②行：$0=-3+3$，$12=9+3$，$-24=-27+3$……可得第②行数是第①行相应的数加3；
第③行：$-1=-3×\frac{1}{3}$，$3=9×\frac{1}{3}$，$-9=-27×\frac{1}{3}$……可得第③行数是第①行相应的数的$\frac{1}{3}$。
(3) 第①行第6个数为$(-3)^6=729$，则第②行第6个数为$729+3=732$，第③行第6个数为$729×\frac{1}{3}=243$，三个数的和为：
$(-3)^6+[(-3)^6+3]+(-3)^6×\frac{1}{3}=729+732+243=1704$
【答案】
(1) 第①行数是按$-3,(-3)^2,(-3)^3,(-3)^4,(-3)^5,\dots$排列的；
(2) 第②行数是第①行相应的数加3，第③行数是第①行相应的数的$\frac{1}{3}$；
(3) $\boxed{1704}$
【知识点】
数字规律探究、有理数乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，核心是先观察已知数列的符号、数值变化规律，再通过横向对比找到不同数列的关联，最后结合有理数运算规则求解，重点考察观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
15.(核心素养·创新意识)为了计算$1+2+2^2 +2^3 +2^4 +\dots +2^9 +2^{10}$的值，我们采用如下的方法：
设$S=1+2+2^2 +2^3 +2^4 +\dots +2^9 +2^{10}$，①
则$2S=2+2^2 +2^3 +2^4 +2^5 +\dots +2^{10} +2^{11}$，②
由②－①，得$S=2^{11} -1$。
请你根据上述材料，解答下列问题：
(1)求$1+3+3^2 +3^3 +\dots +3^{2024}$的值；
(2)已知一组按规律排列的数：$-1,5,-5^2,5^3,-5^4,\dots$。
①它的第200个数是
②这列数中前200个数的和为
设$S=1+2+2^2 +2^3 +2^4 +\dots +2^9 +2^{10}$，①
则$2S=2+2^2 +2^3 +2^4 +2^5 +\dots +2^{10} +2^{11}$，②
由②－①，得$S=2^{11} -1$。
请你根据上述材料，解答下列问题：
(1)求$1+3+3^2 +3^3 +\dots +3^{2024}$的值；
(2)已知一组按规律排列的数：$-1,5,-5^2,5^3,-5^4,\dots$。
①它的第200个数是
$5^{199}$
；②这列数中前200个数的和为
$\dfrac{5^{200}-1}{6}$
。答案
(1)解:设 $S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{2024}$，①,则 $3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{2024}+3^{2025}$. ②,由②$-$①,得 $2S=3^{2025}-1$,所以$S=\frac{3^{2025}-1}{2}$,即 $1+3+3^2+3^3+\dots+3^{2024}=\frac{3^{2025}-1}{2}$.
(2)①$5^{199}$ ②$\frac{5^{200}-1}{6}$
(2)①$5^{199}$ ②$\frac{5^{200}-1}{6}$
解析
【分析】
本题考查错位相减法求和及数列规律探究。(1)模仿题干给出的求和方法，先设所求式子的和为S，等式两边同时乘公比3，再将两个等式相减，消去中间相同的项，整理即可求出S的值；(2)①先观察数列规律：符号为奇负偶正，数值部分是5的(n-1)次方（n为项数），代入n=200即可求出第200个数；②同样用错位相减法，设前200个数的和为S，等式两边乘公比-5，再相减消去中间项，整理求出S即可。
【解析】
(1) 设 $ S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024} $ ①，
将①式两边同时乘3，得 $ 3S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024} + 3^{2025} $ ②，
用②-①得：$ 3S - S = 3^{2025} - 1 $，即 $ 2S = 3^{2025} - 1 $，
解得 $ S = \frac{3^{2025} - 1}{2} $。
(2) ① 观察数列可得第n项为 $ (-1)^n · 5^{n-1} $，当n=200时，第200个数为 $ (-1)^{200} × 5^{200-1} = 5^{199} $。
② 设前200个数的和为 $ S = -1 + 5 - 5^2 + 5^3 - \dots + 5^{199} $ ①，
将①式两边同时乘-5，得 $ -5S = 5 - 5^2 + 5^3 - \dots + 5^{199} - 5^{200} $ ②，
用①-②得：$ S - (-5S) = -1 - (-5^{200}) $，即 $ 6S = 5^{200} - 1 $，
解得 $ S = \frac{5^{200} - 1}{6} $。
【答案】
(1) $ \frac{3^{2025}-1}{2} $；(2)① $ 5^{199} $；② $ \frac{5^{200}-1}{6} $
【知识点】
错位相减法求和，数列规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题属于阅读类创新题型，重点考查对新方法的迁移应用能力，需要先读懂题干给出的错位相减法的运算逻辑，再结合数列的特征灵活运用，解题时注意准确处理符号即可。
【难度系数】
0.6
本题考查错位相减法求和及数列规律探究。(1)模仿题干给出的求和方法，先设所求式子的和为S，等式两边同时乘公比3，再将两个等式相减，消去中间相同的项，整理即可求出S的值；(2)①先观察数列规律：符号为奇负偶正，数值部分是5的(n-1)次方（n为项数），代入n=200即可求出第200个数；②同样用错位相减法，设前200个数的和为S，等式两边乘公比-5，再相减消去中间项，整理求出S即可。
【解析】
(1) 设 $ S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024} $ ①，
将①式两边同时乘3，得 $ 3S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024} + 3^{2025} $ ②，
用②-①得：$ 3S - S = 3^{2025} - 1 $，即 $ 2S = 3^{2025} - 1 $，
解得 $ S = \frac{3^{2025} - 1}{2} $。
(2) ① 观察数列可得第n项为 $ (-1)^n · 5^{n-1} $，当n=200时，第200个数为 $ (-1)^{200} × 5^{200-1} = 5^{199} $。
② 设前200个数的和为 $ S = -1 + 5 - 5^2 + 5^3 - \dots + 5^{199} $ ①，
将①式两边同时乘-5，得 $ -5S = 5 - 5^2 + 5^3 - \dots + 5^{199} - 5^{200} $ ②，
用①-②得：$ S - (-5S) = -1 - (-5^{200}) $，即 $ 6S = 5^{200} - 1 $，
解得 $ S = \frac{5^{200} - 1}{6} $。
【答案】
(1) $ \frac{3^{2025}-1}{2} $；(2)① $ 5^{199} $；② $ \frac{5^{200}-1}{6} $
【知识点】
错位相减法求和，数列规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题属于阅读类创新题型，重点考查对新方法的迁移应用能力，需要先读懂题干给出的错位相减法的运算逻辑，再结合数列的特征灵活运用，解题时注意准确处理符号即可。
【难度系数】
0.6
